山东省2019届高三上学期期末考试(一模)文科数学试题Word版含解析

1、2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题(本题共 12个小题)1.若集合 A= x|x23x+2>0 , B= x| x1|v2,则 An B=()A.( 1,1)B.(2, 3)C.( 1,3)D.( 1, 1)U (2,3)2 .若复数z满足z (1+2i ) = 4+3i ,则七=A. 2+iB. 2 - i3 .命题“ ？ x<0, x2-x>0”的否定是(A. ? x>0, x2-x<0C. ? x>0, x2-x<04.已知抛物线 C: y2=2px (p>0)的焦点为 点，若 |PT =2| PF ,贝U/ P

2、TF ()A. 30°B, 45°5.如图所示函数图象经过何种变换可以得到C.向左平移三个单位66.已知变量x, y满足不等式组，XA. - 4B. - 2【 )C. 1+2iD. 1 - 2i)B. ? x< 0, x2 - x< 0D. ? x<0, x2- x< 0F,对称轴与准线的交点为T, P为C上任意C. 60°D, 75°y= sin2 x的图象()B.向右平移个单位D.向右平移二个单位6则2x - y的最小值为（）C. 0D. 47. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（之例图A. 48+12 

3、9;二B. 60+12 '二C. 72+12；D. 84> a-h/兀8.已知 cos (4A.-25R M8 . 一259 .某设备使用年限兀)，贝U sin a cos a =x （年）与所支出的维修费用 y （万元）的统计数据（D. - 1 - '5:x, y)分别为(2,1.5） , （3, 4.5） , （4, 5.5） , （ 5, 6.5 ）,由最小二乘法得到回归直线方程为1.6 x,若计划维修费用超过 15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（A. 8年B. 9年C. 10 年D. 11 年10 .公比为2的等比数列an中存在两项am.an, ?两JU

4、am3n= 32a1的最小值为A.B.D.131011 .函数 f (x) =2x3-ax2+1 在(0, +8)则 a的值为（A. .二内有且只有一个零点,A. 3b2的切线与双曲线的左支交于点右焦点，过点 F1作圆12.设 F1,D. - 2x +y =B.'：P,若| PF2| =2| PF| ,则双曲线的离心率为（D.'I.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分13 .记$为等比数列an的前n项和，已知a5=- 2, &=a2+3a1,则 日=14 .已知半径为R的圆周上有一定点 A,在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与«

5、R之间的概率为15 .如图所示梯子结构的点数依次构成数列an,则a100=16 .在 ABC4 / BAG= 60。，AD为/ BACW角平分线，且 菽=，薮+|圭，若 AB= 2,贝U BO.三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .在ABC4角A,B,C的对边分别是a,b,c,3sin(A+B)=4$1rl卷.(I)求 cosC;(n)若b=7, D是BC边上的点，且 ACD勺面积为 丽,求sin / ADB18 .改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通

6、安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各 50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.(I)求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；(n)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4: 1,完成下列2X2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；(出)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取 6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率.安全意识强安全意识不强合计男性女性n(ad-bc)2,其中 n=a+b+c+d.合计(a +

7、b) (c+d) fa+c) (fc+d)P (K2>k)0.0100.0050.001k6.6357.87910.82819 .在以ABCDE的顶点的五面体中， 底面ABC西菱形，Z ABC= 120° , AB= AE= ED= 2EF,EF/ AB点G为CD中点，平面 EAD_平面 ABCD(I )证明：BDL EG(n)若三棱锥 Ve-fbc=,求菱形ABCD勺边长.2220.已知抛物线 y2 = 4x的准线过椭圆 C：%+%=1 (a>b>0)的左焦点F,且点F到直2线l : x=- (c为椭圆焦距的一半)的距离为4.C(I)求椭圆C的标准方程；(n)过点

8、F做直线与椭圆C交于A, B两点，P是AB的中点，线段 AB的中垂线交直线l于点Q若| PQ = 2| AB ,求直线 AB的方程.21 .设函数 f (x) = ex - ax - 1 (aCR).(I)讨论函数f (x)的单调性；(n)若关于x的方程ln (ax+a+1) - x= 1有唯一的实数解，求 a的取值范围.四、解答题(共2小题，满分10分)22 .在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为= 10cos 0 .(I)设直线l与曲线C交于M N两点，求| MN;(n)若点P (x, y)为曲线C

9、上任意一点，求|x+后y-10|的取值范围.23 .已知函数 f (x) = |2x a|+| x1| (aCR).(I)当a=1时，求不等式f (x) >1的解集；(n)若存在xCR满足不等式f (x) <4,求实数a的取值范围.一、选择题(本题共 12个小题)1.若集合 A= x|x23x+2>0 , B= x| x1|v2,则 An B=()A.( 1,1)B.(2, 3)C.( - 1,3)D.(- 1, 1)U (2, 3)【分析】可以求出集合 A, B,然后进行交集的运算即可.解：A= x|xv1 或 x> 2 , B= x|1vxv3,.An B= (-

10、1, 1) u ( 2, 3).故选：D.2.若复数z满足z (1+2i) =4+3i,则1=()A. 2+iB. 2 - iC. 1+2iD. 1 - 2i【分析】等号两边同时除以 1+2i,再进行化简，整理.铲 _4+3i_g+3i)Cl-2i).斛z-1叨 *2i)(募故选：B.3.命题“ ？ x<0, x2-x>0”的否定是()A. ? x>0, x2- x< 0B.?x< 0,x2 -x< 0C. ? x>0, x2- x< 0D.?x< 0,x2 -x< 0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.解：因为特称

11、命题的否定是全称命题，所以，命题«? x<0, x2-x>0”的否定是：？ xw 0, x - xw 0 .故选：B.4.已知抛物线 C： y2=2px (p>0)的焦点为F,对称轴与准线的交点为T, P为C上任意点，若 |PT =2| PF ,则/ PTF=()A. 30°B, 45°C. 60°IFHI 1【分析】由抛物线的定义可得| PF = | PM , sin / PTM=-py-p=即有则/ PTF=?即可.D. 75°7T,可得/ PTM=-7-,解：设P在准线l上的射影为 M由抛物线的定义可得| PF = |

12、PM,.若 | PT| = 2| PF ,则 sin /PTM=同I J|PT| 一2,可得/ PT阵即有则/ PTF=故选：C.5.如图所示函数图象经过何种变换可以得到y= sin2 x的图象（）A.向左平移丁个单位C.向左平移二二个单位B.向右平移个单位D.向右平移二个单位【分析】本题关键是画出函数 y=sin2x的图象，然后与题干中图象进行比较，即可得到 结果.解：由题意，函数 y=sin2 x的图象如下:根据图，由y=sin2 x的图象向左平移 二-；=二二个单位即可得到题中图象， 2 3bITJTTT则反过来，题中图象向右平移彳-个单位即可得到 y=sin2x的图象.L36故选：D.

13、6.已知变量x, y满足不等式组，工-y<l,则2x-y的最小值为、工A. - 4B. - 2C. 0【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可.解：变量x, y满足不等式组,丁代1,目标函数z = 2x-y,画出图形：点 A (1,1), B (0, 2),)D. 4z = 2x - y 表示直线在 yz在点B处有最小值：z=2X0-2=-2, 故选：B.7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(故选：B.8.已知cos (7T兀)，贝U sin a cos a =7B一丁D.【分析】由a e（ 兀兀4）,

14、所以（口） J3JI 兀lTV),又因为cos A. 48+12 '二B. 60+12 '=C. 72+12.二：D. 84【分析】首先把三视图准换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果(4+2) X 2+2拆X 6+2X 6+4X 6+2X 6= 60+12/2 .qaJTT4歹0,所以角（-a）是第四象限角，所以sin再利用TT解：a （ 兀），两角和与差的三角函数公式即可算出结果.兀厂 厂3几 兀、兀3一口） Lt，），又丁烟（=“）=y>0,sinsin兀.角（-G）是第四象限角,s = sinTVV兀-(兀 兀兀 兀=sin="cos 口

15、)- cos-sin口亚10，TV7Tcos a = cos (a44=co7T丁cos - Q ) +sin sin ( - Cl )=444. sin a cos a =故选：C.9.某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用 y （万元）的统计数据（x, y）分别为（2,1.5） , （3, 4.5） , （4, 5.5） , （ 5, 6.5 ）,由最小二乘法得到回归直线方程为1.6 x,若计划维修费用超过 15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（A. 8年B. 9年C. 10 年D. 11 年【分析】由已知表格中的数据，我们易计算出变量x, y的平均数，根据回归直线一定经过样本数

16、据中心点，求出.后，代入y=15可得答案.解：由表中数据可得: 归直线一定经过样本数据中心点,= 4.5 ,故广y- 1.23 工=4.5 1.6 X 3.5 = - 1.1 ；故=1.6 x-1.1 ; y当 y=15 时，x= 10.625该设备的使用年限为 10年.故选：C.10.公比为2的等比数列an中存在两项2二满足 aman= 32a1，贝U-k-的最小值为（）A.B.【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解m n的方程，利用基本不等式求解表达式的最小值即可.解：公比为2的等比数列an中存在两项am, an,满足aman = 32a12,可得：a? 2m1? a1? 2n 1=32

17、a12,可得 n+n-2=5,所以m+n= 7,1414(一 )m nm. n117xy (n+n) =yX当且仅当n=2n并且n+n=7时，取等号所以m= 2, n=4时，表达式的值为:,m= 3, n=4时，表达式的值为:m= 2, n=5时，表达式的值为： .10113表达式的最小值：益.故选：D.11.函数f (x) =2x3-ax2+1在(0, +8)内有且只有一个零点，则 a的值为()A. 3B. - 3C. 2D. - 2【分析】先对函数求导，然后结合导数的符号判断函数的单调性，结合零点判定定理即可求解.解：.函数f (x) =2x3-ax2+1 (aC R)在(0, +8)内有

18、且只有一个零点，f' (x) =2x (3x-a) , xC (0, +8),当 aw 0 时，f ' ( x) = 2x (3x a) >0,函数f (x)在(0, +8)上单调递增，f (0) =1,f (x)在(0, +8)上没有零点，舍去；当 a>0 时，f' ( x) = 2x (3x - a) > 0 的解为 x>Ja ,1 f (x)在(0, H上递减，在(，皆,+°°)递增，3IJ又f (x)只有一个零点， ' f (4)=-反一+1 = 0,解得 a = 3.327故选：A2212.设E, F2分别为

19、双曲线 孑-工5=1 (a>0, b>0)的左、右焦点，过点 E作圆x2+y2 = a bb2的切线与双曲线的左支交于点P,若| PE| =2| PF| ,则双曲线的离心率为()A. . ?B. , ：C.亍D. 'i,【分析】由双曲线的定义可得，| PF| - | PF| =2a,则|PE| =4a, | PF| =2a,设切点为M 则 |OM=b, |OF| =c,又| MF| =a, | PF| =2b,即有 4a=2b,即可.解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，| PR| - | PF| =2a,由| PE| =2|PF| ,贝U | PE| =4a,

20、 |PF|=2a,设切点为 M 则 |OM=b, |OF| =c, . | MF| =a,.OMPF。的中位线,则 |PE|=2b即有4a = 2b1314填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分记&为等比数列an的前n项和，已知a5=- 2, S3=a2+3ai,则ai= -77 .2 -【分析】根据题意，设等比数列an的公比为q,由S3=a2+3ai变形可得1+q+q2=q+3,即q2=2,结合等比数列的通项公式分析可得答案.解：根据题意，设等比数列 an的公比为q,若 $=a2+3ai,则 ai+a2+& = a2+3ai,即 ai+a2+a3= az+3ai,变形

21、可得：i+q+q2=q+3,即 q2= 2,又由 a5= - 2,贝U ai = 7=-= zrjQ4 42故答案为：-5" .已知半径为R的圆周上有一定点人在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与d&R之间的概率为【分析】先找出满足条件弦的长度介于R与距R之间的图形测度，再代入几何概型计算公式求解.解：本题利用几何概型求解.测度是弧长.根据题意可得，满足条件："弦长介于R与矣R之间”，其构成的区域是2（4-）圆的周长，360 360则弦长介于 R与小R之间的概率P=,故答案为：15 .如图所示梯子结构的点数依次构成数列an,则aioo= 5252【分

22、析】由题意知第 n个图形，通过等差数列前 n项和公式求其通项，代入100可求结果.解：由题意知 an=2+3+4+n+ (n+1) + (n+2)= 由(:卅/101乂114 a100"2= 5252.故答案为：5252.16 .在 ABC4 / BAG= 60。，AD为/ BACW角平分线，且 而=彳菽+|屈，若AB= 2, 贝U BC= 2折 .【分析】因为 AD为/ BAC的角平分线，所以吟喏，设AOx,则察=2, 而= 十菽+而十而=牛而+7忌，菽="7正七不菰,结合条件得x=6,禾1J用余 弦定理就可解出 BC解：因为AD为/ BAC勺角平分线,由,皿皿 所以一一

23、Rn p设 AC= X,则丁：或=屈十而，AD= AC+CD所以 215= AB + AC+BD+CD,2 AD= AB左+自而一.正，2 AD=羸+豆+（逢-4）就，2AD=凝+菽+（号-金）（AC-AB）2x 4 -*2划=杷+T万A。,所以4 x+23 K,解得 x=6,即 AC= 6,4 m+2在 ABC43,cos / BA<C=2ABXAC-cos60 °22+62-BC22X2X6解得 BC= 2a/7，故答案为：2.7Vsin (A+B) = 4sin2-y.三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在 ABC4角A,

24、 B, C的对边分别是a, b, c,(I)求 cosC;(n)若b=7, D是BC边上的点，且 ACD勺面积为6/3,求sin / ADB【分析】(I)由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求cosC,(II )结合三角形的面积可求 CD然后由余弦定理可求 AD再由正弦定理及诱导公式求解：(I)/3sin (A+B) = 4sin 1.VsinC=4XL-cosC即 JsinC+2cosC= 2,7cos2C- 8cos C+1 = 0,1 C (0,兀),cosC= 1 (舍)或 cos(II ) b=7, AACD勺面积为 6值,舍 CD= mj结合(1)可得sin C=y X 7 X m

25、X6方,mi= CD= 3,由余弦定理可得， AD= 9+O-2X3 X 7X =52,AD= 2代，2西一7由正弦定理可得，啦 嚏in/ADC ,| 72 .sin /ADB= sin Z ADC=-J-1318 .改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各 50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.(I)求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；(n)已知交通安全意

26、识强的样本中男女比例为4: 1,完成下列2X2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；(出)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取 6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计附.R2 苴中 n=a+b+c+dP (/>k)0.0100.0050.0016.6357.87910.828【分析】(I)根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在 80分以上的频率即可;(n)根据题意填写列联表，计算K2,对照临界值得出结论;(m)用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基

27、本事件数，计算所求的概率值.a+0.004 ） x 10= 1,解：（I ）根据频率和为1,得（0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+解得 a =0.016 ；计算得分在 80分以上的频率为(0.016+0.004 ) x 10=0.20所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为0.20 ;(n)根据题意知，安全意识强的人数有100X0.2 = 20,其中男性为20 X44+116 (人)，女性为 4人,填写列联表如下;计算K220X80X 50X50=9>7.879 ,安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100所以有超过99.5%的

28、把握认为“交通安全意识与性别有关”(m)用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中3040)内有2人,记为A、B,40 , 50)内有4人，分别记为 c、d、e、f ；从这6人中随机选取2人，基本事件为:AB Ac、Ad、Aa Af、Bc、Bek Ba Bf、cd、ce、cf、de、df、ef 共 15 种不同取法;则至少有1人得分低于40分的基本事件为AB Ac、Ad、Aa Af、Bc、Bd Be Bf 共 9 种不同取法；I Q故所求的概率为 P,=.15 519 .在以ABCDE的顶点的五面体中， 底面ABC西菱形，Z ABC= 120° , AB= AE= ED=

29、2EF,EF/ AB点G为CD中点，平面 EAD_平面 ABCD(I )证明：BDL EG(n)若三棱锥 VEFBC=一,求菱形 ABCD勺边长.【分析】(I)取 AD中点Q连结EO GO AC推导出 OGLBD EOLAQ从而EOL平面ABCD进而EOL BQ BDL平面EOG由此能证明 BDL EG(n)设菱形 ABCD勺边长为a,则AB= AE= ED= 2EF= a,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD勺边长.解：(I )证明：取 AD中点O,连结EO GO AG底面 ABC西菱形，/ ABC= 120 , AB= AE= E

30、D= 2EF, EF/ AB点G为CD43点，平面 EADL平面 ABCD. OGL BD EOL AD . . EOL平面 ABCD. BD?平面 ABCD EOL BD. OEH O© Q . . BD，平面 EOG. EG 平面 EOG BDL EG(n)解：设菱形 ABCD勺边长为a,则AB= AE= ED= 2EF= a,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则 E (0, 0,华) , F 咛,空",空), B (0,号,0) , C( 2a,与",0), 而=盘，华，0)，血=(0,华，-华)，前=2a, 华，-雪)，

31、设平面EFB的法向量；=(x, v, z),辰.C到平面EFB的距离d =c0s而，EB> =回!|eb Isin <曲位>=小_(亨/=孚,ixleF I x |eEI Xsin<£F，eB>Sx BEF=15,解得a=弧.菱形ABCD勺边长为 弧.2220.已知抛物线 y线I : x=旦一(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.C(I)求椭圆C的标准方程；(n)过点F做直线与椭圆C交于A, B两点，P是AB的中点，线段 AB的中垂线交直线I于点Q若| PQ = 2| AB ,求直线 AB的方程. = 4x的准线过椭圆 C： 7r+-r= 1 (a>b

32、>0)的左焦点F,且点F到直2【分析】（I）由题意知椭圆的c,点F到直线l : x=旦（c为椭圆焦距的一半）的距C离为4知，a, c的关系，再由a, b, c之间的关系求出椭圆方程；AB及中（n）神州行 AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长点坐标，再由椭圆求出Q的坐标，进而求出 PQ勺长，再由题意求出参数 m的值,即求出直线AB的方程.解：（I）由题意得2且+c=4, b = a2 - c2,解得：a2= 3, b2= 2,c22所以椭圆C的标准方程： + 之一 =1 ；(n )由(I )得 F ( 1, 0)x=3,显然直线 AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x

33、= myr 1, A (x, y),(x' , y'),联立与椭圆的方程：（3+2n2）y2- 4my- 4= 0y+y'=yy'=-4.3+2 in',x+x' = m(y+y' ) 2=- 63+2 K所以中点P的坐标（2m3+2 in*）,所以AB的中垂线方程：y- 2m3+2 m(x+ 歹)即：y= mx-3+2 6与直线x=3联立得：所以 Q的坐标（3,，I PQ3 ：）3+3+2 m2)2+3+2 m2)2=36?(1+m2)储)2(3+2 m2) 2| y- y'| 2= (1+ni) ?41n(3+2m2163+2

34、 m17 = 48?(11+n?3+2由题意 | PQ = 2| AB ,，36 -(1 十m")2(3+2 m2 ) 2=4?48?1十皿2 (3+2m2）2,整理得：3n4-4m2- 4 = 0,解得：M=2,所以 m=所以直线AB方程：x=±J2y-1.21.设函数 f (x) = ex - ax - 1 (aC R).（I）讨论函数f （x）的单调性;(n)若关于x的方程ln (ax+a+1) - x= 1有唯一的实数解，求 a的取值范围.【分析】(1)对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断，(2)结合(1)的讨论及零点判定定理即可求解.解：(I) f (x

35、) = ex - ax- 1,f(x) = e，- a,当aw。时，(x) >0恒成立，f (x)在R上单调递增，a>0 时，若 xC (lna , +8),(x) >0, f (x)单调递增，若 xC (-巴 lna), f' ( x) v 0, f (x)单调递减，综上可得，当 aw。时，f (x)在R上单调递增；a>0时，f (x)在(lna , +8)上单调递增，(-8，lna)上单调递减，(n)若关于x的方程ln (ax+a+1) - x= 1有唯一的实数解，即 ex+1= ax-a+1= a (x+1) +1 有唯一的实数根，令t = x+1,则et

36、 = at +1即et - at - 1 = 0有唯一的实数根，结合(1)的讨论可知，当aw 0时，f' (t) >0恒成立，f (t)在R上单调递增，f (0) =0,结合零点判 定定理可知，只有一个零点0, a>0 时，若，t (lna, +8), f' (x) >0, f (t)单调递增，若 t e (-巴 lna ), f' ( t) v 0, f (t)单调递减，若只有1个零点，则f (lna) = a- alna -1 = 0,令 g (x) = x- xlnx 1,贝U g' ( x) = lnx ,则g (x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +°°)上单调递减，x= 1时，g (x)取得最