人教A版高中数学必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理习题(2)

1、精品文档正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1.在ABB, a=15, b=10, A= 60 ,则 cosB=()A.乎B呼 C .一半333D"2. 在 ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2b2=3bc, sin C= 2 3sin B,则 A=()A. 30B. 60 C . 120D. 1503. E, F是等腰直角AABCM边AB上的三等分点，则tan / ECF=()16A. 272B.3C.3D.44. ABC4 若 lg alg c=lgsin B= lg /且 B6 0,：,则AABC的形状是（）A.等边三角形 B .直角三角形 C .等腰

2、三角形 D .等腰直 角三角形5. AABC, a、b、c 分别为/A、/R /C 的对边，如果 a、b、c成等差数列，/ B= 30° , /人88勺面积为0.5,那么b为（）A. 1+ 3 B. 3+ 3C.33 D . 2 + 3 36.已知锐角A是 ABC勺一个内角，a、b、c是三角形中各内角 。1 一的对应边，右sin A- cosA=万，则()A. b+c = 2a B . b+c<2aC . b+ c<2a D . b+ cn 2a7、若ABC的内角A满足sin 2A -,则sin A cosA 3A.姮 B5c .-3338、如果ABiCi的三个内角的余弦

3、值分别等于A2B2c2的三个内角的正弦值，则A. ABiCi和A2B2c2都是锐角三角形B . ABiCi和A2B2c2都是钝角三角形C. ABiCi是钝角三角形，AB2C2是锐角三角形D. ABiCi是锐角三角形，A2B2c2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量 irrur r t ., . .p (a c,b), q (b a,c a),右 p/q,则角 C 的大小为(A) 6(B)-(C)-(D)气i0、已知等腰 ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是()T5811、 ABC的内角A B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比B. 3数列,且

4、c 2a ,则cosBA. 112、在AB3 角 A、R C的对边分别为 a、b、c, A=_,a=, b=1, 则c=(A)1(B) 2(Q <31(D)3二、填空题：13、在 ABC 中，若 sinA:sin B:sinC 5:7:8 ，贝UB 的大小是14、在 ABC+,已知 a ®3,b = 4, A= 30 .则 sinB =415、在ABCt 已知 BC= 12, A= 60 , B= 45 ,则 AC=16、已知ABC勺三个内角 A B、C成等差数列，且 AB= 1, BC= 4, 则边BC上的中线AD的长为.三、解答题:乙，一一 一一一1117。、已知 ABC勺

5、内角A B及其对边a,b满足a+b=丐十厚0百求内角C18、在AABC, a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asin A= (2b+ c)sin B+ (2c + b)sin C.(1)求 A的大小；(2)若 sin B+ sin C= 1, 试判断 ABC勺形状.19、如图，在ABC已知B= 45° , D是BC边上的一点，AD= 10,AG= 14, DC= 6,求 AB的长.未20、已知 ABC的周长为 "1,且sin A sin B /sinC. (I)求边AB的长；(II )若ABC的面积为1sinC ,求角C的度数.621、AB8,内角A, B,

6、 C的对边分别为a, b, c,已知a, b, c 成等比数列，cosB -.4(I)求 cot A+cot C 的值；(H)设 BABC 求 a + c 的值.222、某海轮以30海里/小时的速度航行，在 A点测得海面上油井P 在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30 , 海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距 离.答案1.解析：依题意得0 氏60° ,由正弦定理得a b /7 = 导 sin B= sin A sin Bbsin A3cosB= >/l sin 2B=粤,选 D.2.解析：由 sinC= 23sinB 可得 c

7、=2/b,由余弦定理得cosA=b2+c2a一3bc+ c 32bc2bc故选A.一、一1=2 一、一 ,一3.解析：设AC= 1,则AE= EF= FB= -AB=-5由余弦定理得CE= CF33= aE+AC 2AC AEos45 =,所以 cos/ECMcE+ cFeF2CE- CF4=5,crnr /ci- sin / ECF所以 tan z ECF= cosTECF己45-I23 =4.答案:4.解析：lg alg c = lgsin B= lg/2 . lg a= IgsincB= lg*= sinB=半. B6 0,. .B=；,由 c = V2a，得 cosB= a +2上 b

8、3a2b2 二2y12a2一2 . a2=b2, .a=b.答案：Di i i5.解析：2b=a+ c, 2ac - 2 = 2? ac= 2,a2+c2 = 4b24, b2=a2+c22ac 色 14+2色3+233答案：C6.解析:sin 2A cos2A= 2,得 cos2A=i2，又A是锐角，所以A= 60于是 B+ C= 120所以b+c sin B+ sin C2a2sin AB+ C2sin 2cos3B- CTB- C=cos-2< i, b+cw 2a.答案:7.解:由 sin2A = 2sinAcosA 0,可知 A这锐角,所以sinA+cosA 0,又(sin A

9、 cosA)2 1 sin2A 一，故选 A8 .解：ABG的三个内角的余弦值均大于0,则ABiCi是锐角三角形,sin A，cosA若 A2B2c2是锐角三角形，由sinB2cosB1sin(-A)sin(- Bi),得A2B2sinC2cosC1sin(-Ci)C2Ci那么，A2B2C23,所以A2B2c2是钝角三角形。故选D9 .【解析】ir rp/q(a c)(c a) b(b a)b2 a2 c2 ab ,利用余弦定理可得2cosc1,即cosC ； C三,故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和 三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。i0.解：

10、依题意,结合图形可得*尊，tan A -1“A1152tan2 215_tan211 （4）2半，选D11.解:ABC 中，a、b、c成等比数歹U,c 2a ,贝U b= J2 a,cosB2222a c b _a 2ac4a2 2a2 la"B.12.解：由正弦定理得sinB =-2b,所以A B,故B= 30 ,所215以上90 ,故c = 2,选 二、填空13 .解：sinA:sin B:sin C 5:7:8 a b c = 5 7 8 设 a= 5k, b=7k, c =8k由余弦定理可解得 B的大小为-.14 .解：由正弦定理易得结论sinB =。215 .【正确解答】由

11、正弦定理得，解得AC 4娓sin 45 sin 60【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理16 .解析：由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得 b 3AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD 73。本题主要考察等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难 度中等。三、解答题：（17-21题12分，22题14分，写出证明过程或推演步骤.）乙，一 一一 4 一一1亿、已知 AB。勺内角A，B及其对边a, b满足a + b=+，一 1 tan Bsin A+ sin B= cosA一 ，11 一一解：由a+

12、b=atan铲btan/正弦二里得 + cosB,即 sin A cosA= cosB sin B, 从而 sin AcoscosAsin 7= 兀 兀cosBsin sin E3cos-,一兀万.兀 兀即 sin A7=sin 亍一B. 又 0<A+ 氏兀， 故 A7= 兀一兀B, A+ B=5,所以 C=-2，18、在ABC, a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asin A = (2b+ c)sin B+ (2c+b)sin C.(1)求 A的大小；(2)若 sin B+ sin C= 1,试判断 ABC勺形状.解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+ c)b

13、+ (2c+b)c,即 a2=b2+c2 + bc.由余弦定理得 a2= b2 + c22bccosA,故 cosA=),又 AS (0 ,兀)，故 A= 120 .(2)由(1)得 sin 2A= sin 2B+ sin 2C+ sin Bsin C 又 sin B+ sin C="入11，得 sin B= sin C=.因为0° <生90° , 0 <C<90° ,故B= C所以 ABB等腰的钝角三角形.19、如图，在ABOt已知B= 45° , D是BC边上的一点，AD = 10, AC= 14, DC= 6,求 AB的

14、长.解：在人口外，AD= 10, AC= 14, DC= 6,定c AD+ DC AC 100 + 36196 1 10 ccos/ADC= 2AD- DC = 2X10X6 = - 2'./ADC= 120 ,/ADB= 60在 AAB阴，AD= 10,B= 45 ,ZADB= 60 ,t 、一 /口 AB由正弦7H理信sin ZADB=AD sinB? 'AB=AD sin /ADBsin B1310sin6010X 2sin45 =2- = 56.万20、已知 ABC的周长为应1,且sin A sin B V2sinC. （I）求边AB的长；（II ）若ABC的面积为1s

15、inC ,求角C的度数.6解：（I）由题意及正弦定理，得AB BC AC 72 1 , BC AC &AB ,两式相减，得AB 1. 键是用好正弦定理、余弦定理等.(II )由 4ABC 的面积 1BCgACgsinC-sinC , 6得 BCgAC理，得cosC_ 2 _ 22AC BC AB2ACgBC 2 _ _2(AC BC) 2ACgBC AB2ACgBC21、AB8,内角 A,B, C的对边分别为a, b, c,已知a, b, c成等比数列，cosB -.4 uuu uuur 3(I )求 cot A+cotC 的值；(II)设BABC e,求 a + c 的值.2分析：本

16、题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关解：(I)由cosB 3,得sin B ：1弓)2 字由b2=ac及正弦定理 得 sin 2 B sin Asin C.11cos A cosC sinCcosA cosCsin A sin(A C)cot A cotC -tan A tanC sin A sin Csin AsinCsin B更£，4：sin B sin B 7t uuu umr 33,3(H)由 BA BC > 得 ca?cosB=-,由 *5 B=-,可得 ac= 2, 224即 b2=2.由余 弦定理 b2=a2+c2 2ac+cosB, 得 a2+c2=b2+2ac - cosB=5. ,、222(a c) a c 2ac 5 4 9, a c 322、某海轮以30海里/小时的速度航行，在 A点测得海面上油井P 在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30 , 海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距 离.解：如图，在 ABP中，AB =