毕业论文浅谈分块矩阵的运算合理性及其在求逆矩阵中的运用

1、分类号 0151.2 论文编号201040432023本 科 生 毕 业 论 文 浅谈分块矩阵的运算合理性及其在求逆矩阵中的运用姓 名： 院 系： 数学科学学院 年级专业：2010级数学与应用数学 指导教师： 张裕波 2014年5月目 录摘 要IIAbstractIII第一章 绪论1第二章 分块矩阵的概念及其运算合理性12.1 分块矩阵的概念12.2 分块矩阵的运算合理性22.2.1 分块矩阵乘法的合理性22.2.2分块矩阵的初等变换及其合理性3第三章 分块矩阵的运算在求逆矩阵中的运用53.1 利用分块矩阵的思想探讨逆矩阵的计算问题53.2 求分块矩阵的逆矩阵8第四章 结论9参考文献10致 谢

2、11摘 要分块矩阵乘法的合理性是指,在作矩阵乘法时,对矩阵的块可以像对矩阵的元素一样对待.分块矩阵的初等变换与矩阵乘法有十分密切的关系,直接依赖于所涉及到的矩阵乘法是否能进行.分块矩阵的三类初等变换,其实就是对不分块的原矩阵进行若干次初等变换.有趣的是,分块矩阵的初等变换,比普通的初等变换,其“规模”要大得多,是一种“成批量”的初等变换.探讨逆矩阵的求法问题,是分块矩阵运算的典型运用.求逆矩阵的典型例子,反映了分块矩阵的乘法运算与初等变换之间的深刻联系.关键词:分块矩阵 初等变换 合理性 矩阵求逆AbstractBlock matrix multiplication rationality r

3、efers to, in the matrix multiplication, the block matrix can be treated as the matrix elements. There is very close relationship between the elementary transformation of block matrix and matrix multiplication, matrix multiplication directly depends on whether the can. Three kinds of elementary trans

4、formation of block matrix, is actually to the original matrix does not block are several elementary transformation. Interestingly, the elementary transformation of block matrix, elementary transformation than ordinary, its "size" is much greater, is a kind of "elementary transformatio

5、n into the bulk". To explore the method of inverse matrix, is a typical using block matrix operations. A typical example of the inverse matrix, reflects the profound relation between the multiplication and the elementary transformation of block matrix.Keywords: Block matrix Elementary transform

6、ation rationality Matrix inversion 第一章 绪论矩阵是数学中一个重要的基本概念,是代数学中重要的研究对象之一,是数学研究和应用的重要工具,矩阵的性质依赖于矩阵中元素的性质,矩阵由最初的一种工具经过近两个世纪的发展,形成了一门较为完善的学科矩阵论.矩阵理论应用于许多领域,其中在数学和工程学中应用最为广泛.在数学上,矩阵是求解线性方程组,研究线性空间,线性变换等问题的最要工具,而在一些阶数较高的矩阵中，计算量却是相当复杂，此时引出分块矩阵，分块矩阵也是矩阵论中一个重要的概念,在线性代数及高等代数中扮演着不可缺少的角色,分块矩阵在进行行列式的计算,求解线性方程组,特

7、别是在求逆矩阵的问题上,有非常重要的作用.矩阵分块,就是将一个高阶数的矩阵看成是由一些低阶数的矩阵组成的,从而将这些低阶数的矩阵看成是高阶数的矩阵的元素,特别是在矩阵的相关运算中,把这些小矩阵看成是数来处理,为矩阵的运算带来了许多方便,将矩阵分块之后,矩阵之间的相互关系,可以看得十分清楚,能够在解决实际问题中,使问题变得简单化.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结和探究分块矩阵的运算的合理性以及分块矩阵在求逆矩阵方面的应用.通过对分块矩阵的运算合理性及分块矩阵的初等变换的研究,总结和探究分块矩阵在求逆矩阵方面的应用,从而得出分块矩阵在处理很多问题上带来方便.第二章 分块矩阵的概念及其运

8、算合理性2.1 分块矩阵的概念定义1 在矩阵的行或列之间划上横线或竖线将其分为若干部分，称为对矩阵进行分块,分了块的矩阵称为分块矩阵.显然,对于一个的矩阵,最多可以分成块（一个元素一块）,最少可以分成一块（它本身）.注：1、在对矩阵进行分块的过程中,必须注意分块的“线”必须穿过整个矩阵且必须是直线，如果在行或列之间所划直线没有穿过矩阵，或者所划的线不是直线而是“折线”，这种分块分法均是错误的.错误的分块方法如： （线条未穿过）2、矩阵的分块要根据需要选择正确的分法，应有利于认识矩阵的结构，便于矩阵的运算和讨论有关矩阵的性质.2.2 分块矩阵的运算合理性普通矩阵可以进行加（含减）乘（含除和乘方）

9、以及数乘等运算.因为矩阵的转置、矩阵的初等变换与矩阵的运算有密切联系,所以本文也将转置、初等变换视为矩阵的运算,分块矩阵同样可以进行加、乘、数乘、转置及初等变换等运算，并且限于矩阵的运算结果而言，在对矩阵进行正确分块的基础上，通过“块”运算得出的结果与不分块直接运算得出的结果是一致的.对此,我们仅就分块矩阵的乘法和初等变换加以说明.2.2.1 分块矩阵乘法的合理性分块矩阵乘法的合理性是指,在作矩阵乘法时,对矩阵的块可以像对矩阵的元素一样对待.即先对相乘的两个矩阵作正确的分块（后一个矩阵的行的分法与前一个矩阵的列的分法一致）,然后把“块”看成元素,把分块矩阵的乘法按照普通矩阵的乘法进行（但要严格

10、遵守块的前后顺序）,得到的积是由一些“乘积块”构成的新的分块矩阵,再将每一“乘积块”按照普通矩阵乘法乘出来,“安放”在相应的位置,从而得到原来两个矩阵的乘积.这种分了块再行计算与不分块直接计算,其结果是一致的.设，则有:其中；下面说明分块矩阵乘法的合理性.计算中元.设，其中,，其中,即是设中元素位于中位置.矩阵的第行属于第个行组,矩阵的第列属于的第个列组.则有以下式子成立 = .2.2.2分块矩阵的初等变换及其合理性我们知道,分块矩阵的初等变换与普通矩阵的初等变换类似,包含三类:(1)互换分块矩阵的两块行或两块列；(2)以某个可逆矩阵左乘以分块矩阵的某一块行，或右乘以某一块列；(3)以某个矩阵

11、左乘以分块矩阵的某一块行后加到另一块行上去，或以某个矩阵右乘以分块矩阵的某一块列后加到另一块列上去.（这里假定上面提到的运算都是可以进行的）与普通矩阵一样,对于分块矩阵,也有分块初等矩阵的概念.显然,分块矩阵的初等变换与矩阵乘法有十分密切的关系,直接依赖于所涉及到的矩阵乘法是否能进行,即是说,不是任意矩阵（即使可逆）都可以乘到分块矩阵的某一块行或块列上.即使可以乘,左乘与右乘也有严格的要求.对于分块矩阵的初等变换的合理性,我们主要说明:将一个矩阵分了块以后进行块的初等变换,其结果就是对原矩阵进行若干次普通初等变换.对此,设(1)互换的两块行（列），显然相当于多次互换原矩阵的行（列）(2)设可逆

12、，则可以分解成初等矩阵的乘积:，在乘法可以进行的情况下,将左乘以的第一块行: 容易看出,其结果相当于对的前行作次初等行变换.（列的情况的说明与此类似）(3)设，我们来考察，通过计算，得： 一般情况的证明与此完全类似,只是符号较多而已,（列变换的证明也与此类似）.由此看来,分块矩阵的三类初等变换,其实就是对不分块的原矩阵进行若干次初等变换.第一类分块初等变换就是互换矩阵的行（列）,第二类分块初等变换限于对所乘可逆矩阵的那些块行（块列）内作初等变换,第三类分块初等变换涉及到其它块行（块列）.有趣的是,分块矩阵的初等变换,比普通的初等变换,其“规模”要大得多,是一种“成批量”的初等变换.因此,分块初

13、等矩阵、分块矩阵的初等变换与普通的初等矩阵、初等变换具有类似的性质.分块初等矩阵是可逆矩阵,其逆矩阵仍是初等分块矩阵；矩阵的分块行（列）初等变换相当于同类分块初等矩阵左（右）乘以被变换的矩阵；进行分块初等变换不改变矩阵的秩,如果是方阵,则不改变它的行列式是否为零的属性（第一类分块矩阵初等变换不改变行列式的绝对值,第二类分块矩阵初等变换不改变行列式的值）.第三章 分块矩阵的运算在求逆矩阵中的运用分块矩阵的运算在数学中有广泛的运用，这里只揭示分块矩阵的运算在求逆矩阵方面的运用.3.1 利用分块矩阵的思想探讨逆矩阵的计算问题设可逆,则可用初等行变换求的逆,也可用初等列变换求的逆,还可以同时使用行、列

14、初等变换来求.1、行变换的一般方法为：把用初等行变换化为单位矩阵,同时对用相同的行变换即可化得.事实上，设可逆,则有初等矩阵,使得,由此可得, 格式为：用等式表示为: （这里，设,则当式中时,.）2、列变换的一般方法为:把用初等列变换化为单位矩阵,同时对用相同的列变换即可化得.事实上，设可逆,则有初等矩阵,使得,此时,格式为:用等式表示为: （这里，设,则当式中时,.）3、可以把行变换和列变换结合在一起,同时使用行变换和列变换求.即:取,其中均为初等矩阵,构造分块矩阵并作运算: 从式可以看出,可以对进行一系列的初等变换,当块的位置即时,.例1 设,用初等变换求矩阵的逆.解:(I)初等行变换的方

15、法：(II)初等列变换的方法：.(III)同时使用行变换和列变换的方法：.3.2 求分块矩阵的逆矩阵例2 设是一个分块矩阵,其中为阶方阵,为阶方阵,当与都是可逆矩阵时,求证可逆,并求.解法一：因为与都是可逆矩阵,且所以可逆.解法二：第四章 结论分块矩阵是高等代数的基本工具,分块矩阵的运算（包括初等变换）是高等代数的基本语言.但是分块矩阵的运算（特别是分块矩阵的乘法和初等变换）的合理性并不是一目了然.通过本文的讨论,我们看到,求逆矩阵的问题集中反映了分块矩阵的深刻思想内涵.分块矩阵的乘法与初等变换之间有着深刻的内在联系.参考文献1.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.第三版.北

16、京:高等教育出版社,2003.7.2.姚慕生.高等代数学M.复旦大学出版社,2005.3.3.智婕.分块矩阵的初等变换J.甘肃联合大学学报(自然科学版),2011,25(9):22-23.4.张新育,周世国.矩阵的分块初等变换与分块初等矩阵及其应用J.数学的实践与认识,2011,41(19):245-248.5.陈文华.分块矩阵的初等变换及其应用J.大理学院院报,2009,8(8):7.6.严坤妹.分块矩阵的应用J.福建广播电视大学学报,2006,5:71-72.7.高百俊.分块矩阵的初等变换及应用J.伊犁师范学院学报(自然科学版),2007,4:16-17.8.王秀芳.分块矩阵的应用讨论J.连云港师范高等专科学校学报,2008,3:97-98.9.丘维声.高等代数(上)M.北京:清华大学出版社,2010.6,194-211.10.王萼芳,石生明.高等代数M.第三版.北京:高等教育出版社,2003.9(2010重印),181-186.致 谢值此毕业论文完成之际,特感谢我的论文指导老师张裕波老师,他是一位认真负责,热情的老师,在整个毕业论文的撰写过程中,他都对我进行了认真的指导和详细的修改,从他的身上我也学到了很多,比如说严谨认真、一丝不苟的工作作风.我将