椭圆定义的应用及其标准方程的求法

1、椭圆定义的应用及其标准方程的求法说课稿（一）说教材本节课是文科选修1-1第二章第一节，理科选修2-1第二章第二节，圆锥曲线方程的第一节课的复习课，主要学习椭圆的定义的应用和标准方程的求法。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完直线和圆的方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重要作用。本课时是概念性教学的复习课，而椭圆的概念是教材的一个重点，且是圆锥曲线这一章重点中的重点。这是因为：1、它的概念对学生来讲，相对于圆来说，是全新的，但它是对曲线概念的补充和深化；求椭圆的

2、方程的过程是对求轨迹方程的步骤和方法的巩固和加深。2、它是后继课程的一个出发点（转折点）。前一节的圆，是学生非常熟悉的，而从椭圆开始，到双曲线、抛物线，对学生来说，都是不很熟悉的，对椭圆概念的掌握好坏，不光会影响对它本身的性质的掌握，而且直接影响对双曲线、抛物线的学习效果。因为对双曲线、抛物线的学习过程，都可以仿照学习椭圆的过程进行。3、后继课程中的双曲线、抛物线概念，都可以椭圆概念来类比，椭圆方程的标准形式与后继课程中的双曲线的方程的标准形式有混淆的地方，对它的特点不清，会影响对双曲线的掌握。（二）学生现状分析、本课的背景随着普高的不断深入，大多数的初中毕业生进入高中学习，各地一、二、三流学

3、校早已形成高、中、差分层筛选学生的模式；而一流学校毕竟是少数，较多普高学校的生源情况较差，在初中阶段就带了帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清楚是怎样一个情况。而我们面对的就是差生或中等生，在此就以这样的学生作为背景来设计这堂课，使之成为一节很有必要的研究性课。这类学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性。本课是学生学习了直线和圆的方程及其性质、曲线与方程的关系，椭圆的定义和标准方程，学生对解析几何有一定的了解的基础上，已具有一定的观察、分析问题、

4、解决问题的能力之后，开始学习圆锥曲线方程的第一课时的复习课。学生在学习上一章的过程中就已经感到掌握比较困难，对解析几何的问题生疏。而根据新高中数学教学大纲要求加强创新能力的培养，使学生在学科领域或在现实生活情境中，通过发现问题、调查研究、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能。故本课时在设计上也依据这一指导思想，力求做得更好。（三）说目标根据数学教学大纲和学生的实际情况制定教学目标和教学重、难点。1教学目标根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：知识目标：理解椭圆的定义及有关概念及其应用；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标

5、准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。情感目标：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。2教学重点、难点重点：椭圆的定义和标准方程的的形式、特点; 焦点坐标的对应关系。难点：（1）椭圆定义的应用的各种不同形式，椭圆方程的各种不同求法 （四）说教学方法为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，以及为了实现本课的教学目标，本课采

6、用自主探究法。即“创设问题启发讨论探索结果”及“直接观察归纳抽象总结规律”的一种研究性教学方法。通过引导学生观察和对比分析、启发学生思考和概括问题等教学互动活动，突出体现以学生为主体的探索性学习和因材施教的原则。提高学生的学习兴趣，加大一节课的信息容量，提高教学效果和教学质量。（五）学法指导改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。我采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和

7、发展。通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥。激发学生的学习兴趣和创新能力，帮助学生养成独立思考积极探索的习惯。（六）说教学程序教学环节教学程序及设计设计意图复习铺垫1椭圆的定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在2椭圆的标准方程 (1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 ) (2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满

8、足： 3常数， 最大，的关 系4图像通过回忆定义，标准方程的提问，明示这节课所要学的内容，并为后面椭圆的定义的应用和椭圆方程的求法作好准备。范例教学一椭圆定义的应用1求轨迹方程例1，已知点（x,y）满足方程，求点（x,y）的轨迹方程例2已知圆C：(x3)2y2100及点A(3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程练、解方程 1 解：由原方程可得 解得2已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线一支D. 抛物线 解：因为，所以 由椭圆第一定义得，故，即Q点轨迹是以

9、F1为圆心，以2a为半径的圆，选A。2、求焦点三角形的边长1、若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离是（ ）A、2 B、4 C、6 D、83、求焦点三角形的面积例 已知点P是椭圆上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF2，求F1PF2的面积S。 解：PF1F2中，由余弦定理，得 所以 故练、已知椭圆+=1的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上一点，满足F1PF2=，则F1PF2的面积为_.4、求参数的取值范围例3（2004年高考·全国卷III）设椭圆的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂

10、直，求m的取值范围。 解：由题意知m>0，且 2得： 练、若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围为（ ）A、a>3 B、a<-2 C、a>3 或a<-2 D、a>3或-6<a<-2二椭圆方程的求法1、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程分析：动圆满足的条件为：与圆C1相内切；与圆C2相外切依据两圆相切的充要条件建立关系式解：设动圆圆心（，），半径为，如图所示，由题意动圆内切于圆C1，圆外切于圆C2，C2，动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，故所求轨迹方程

11、为：评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键练1、ABC的两个顶点坐标A（-4,0），B（4,0），ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程。2、已知圆O1：(x+3)2+y2=1,圆O2：（x-3）2+y2=81,动圆圆O与圆O1外切，与圆O2内切，则动圆圆心的轨迹方程。3、过点A（2,0）且与圆x2+4x+y2-32=0相内切的圆的圆心的轨迹方程。2、待定系数法例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆

12、的方程分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：（，进行求解，避免讨论。解：设所求的椭圆方程为（椭圆经过两点，解得，故所求的椭圆标准方程为 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程注：还有其它方法吗练1、 已知椭圆的长轴是短轴长的3倍，且过点A（3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。2、 已知点P在以坐标轴为 对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程。3、 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点（-,-2），

13、( -2,1 )的椭圆标准方程。3、直接法例设动直线垂直于轴，且交椭圆于、两点，是上线段AB外一点，且满足，求点的轨迹方程分析：如何利用点的坐标与椭圆上，两点坐标的关系，是求点的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以、三点的横坐标相同，由、在椭圆上，所以、两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解解：设（，），（，），（，），由题意：， ,，在椭圆外，与同号，=（）（） ，即为所求评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换练 在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设则即得所求椭圆方程为

14、4、 相关点法例 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹解：设点的坐标为，点的坐标为，则，因为在圆上，所以将，代入方程得所以点的轨迹是一个椭圆说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为，设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握 从基础入手，让学生掌握好基础知识。即掌握四种类型的椭圆定义的应用。

15、加深对定义的理解。通过四个例题的教学，让学生明白，在求椭圆标准方程时，可以从哪些方面去思考。练习，充分让学生动手、动脑。及时反馈，强化知识点的学习。通过变式训练来强化概念，掌握方法，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。深化知识点的掌握，突出重点、难点 。反馈练习 1、若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离是（ ）A、2 B、4 C、6 D、82、若F1，F2是两定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=8，则点M的轨迹是（ ）A、椭圆 、直线 C、圆 D、线段3、若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围为（ ）A、a>3 B、a&

16、lt;-2 C、a>3 或a<-2 D、a>3或-6<a<-24、已知AC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则AC的周长是（ ）A、2 B、6 C、4 D、125、已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）A、 B、3 C、 D、6、设F1、F2是椭圆C：+=1的焦点，在曲线C上满足=0的点P的个数为（ ） A、0 B、2 C、3 D、47、已知椭圆+=1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|

17、是|PF2|的_倍。8、已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=_.9、已知椭圆+=1上的点到直线l:x+y-9=0的距离的最小值为_.10、已知椭圆+=1的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上一点，满足F1PF2=，则F1PF2的面积为_.利用练习，及时反馈，强化知识点的学习。归纳小结1两类问题（1）椭圆定义的应用，四种题型，今后还有其它应用（2）椭圆方程的求法，四种题型，今后学了椭圆的几何性质也还有其它方法通过小结，使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本方法的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。布置作业1方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_2椭圆1(m<n<0)的焦点坐标是_3已知椭圆的标准方程是1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，则ABF2的周长为_4过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程是_5已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(