平面向量知识点与考点精

1、平面向量知识点与2013考点精讲知识网络第1讲 向量的概念与线性运算知识梳理1 .平面向量的有关概念:(1)向量的定义：既有大小又有方向(2)表示方法：用有向线段来表示向量 .有向线段的的量叫做向量.长度 表示向量的大小，用箭头所1)2)3)4)5)2.指的方向表示向量的方向.用字母a, b,或用AB, BC ,表示.特别提醒:模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或| AB|.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0;零向量的方向不确定.单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量 .共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相

2、等的向量向量的线性运算1 .向量的加法：(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法如图，已知向量ab, *在平面内任取一点uuuA,作 ABuuirBCb,则向量AC叫做a与b的和，记uuu作 a+b,即 a+b ABuurBCuuir AC特殊情况:a bCA(3)a平行四边形法则(a+b) +c=a+ (b+c).a b ABC(2 )对于零向量与任一向量 a,有a 0 0(2)法则： 三角形法则(3)运算律：a +b=b+a；2 .向量的减法：(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 减法的三角形法则作法：在平面内取一点Q作OA= a, OB = b,则 BA= a ? b即a

3、 ? b可以表示为从向量b的终点指向向量 a的终点的向量.B注思1） AB表示a ? b.强调：差向量“箭头”指向被减数2）用相反向量”定义法作差向量，a ? b = a +（-b）显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.a/b/c a ? b = a + （?b） a ? b3.实数与向量的积：（1）定义：实数 入与向量a的积是一个向量，记作入a,规定：|入a|二|入| a|.当人0时，入a的方向与a的方向相同；当 入0时，入a的方向与a的方向相反；当 入=0时，入a=0.（2）运算律： （w a）=（入 ） ）a, （入 + w ） a=入 a+ - a,（a+b）=入 a+ 入 b.特别提

4、醒：1）向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2） 重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=入a,即b / a b=入 a （ aw 0）.向量重难点突破1 .重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角 形法则、平行四边形法则.2 .难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.3 .重难点：.问题1：相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

5、。问题3:对于两个向量平行的充要条件：a / b a= b,只有bw 0才是正确的.而当b=0时，a / b zl a= X b的必要不充分条件.问题4;向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段若a M，则a b向量就是有向线段（5）两相等向量若共起点，则终点也相同（6）若 a b,b c,则 a c；r(7)若 a/b , bc ,则 ac(8)(9) a b的充要条件是| a | |b |且a b ；若四边形AB

6、C比平行四边形，则ABCD,BC DA解题思路:正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：（1）不正确，零向量方向任意，（2） 不正确，说明模相等，还有方向 量的模为1,方向很多 （4）不正确，有向线段是向量的一种表示形式（5）（3） 不正确，单位向正确， （6）正确,（7）不正确，因若b 0,则不共线的向量a,c也有a0 , 0c。（8）不正确，如向量相等有传递性AB CD,BC DA（9）不正确，当a/b ,且方向相反时，即使|a | |b | ,也不能得到a b ；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相

7、关命题。考点一：向量及与向量相关的基本概念1.12012高考浙江文7】设a, b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a bB.若 a，b,则 |a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数入，使得 b=X aD.若存在实数入,使得 b=X a,则|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。【解析】利用排除法可得选项C是正确的，|a + b| =| a| | b| ,则a, b共线，即存在实数人,使得a=入b.如选项A： | a+ b| = | a| | b|时，a, b可为

8、异向的共线向量；选项 B：若a，b,由正方形得| a+b| = | a| | b|不成立；选项 D：若存在实数 入，使得a=Xb, a, b可为同向的共线向量,此时显然| a+ b| = | a| | b|不成立.2.12012高考四川文r r7】设a、b都是非零向量,r r r r rrA |a|b| 且 a/b b 、ab卜列四个条件中,r ra/b Dr ra b使早 早成立的充分条件是（|a| |b|r r、a 2b【新题导练】题型1.概念判析例1判断下列各命题是否正确（1）零向量没有方向（2）（3）单位向量都相等（4）r r解析若使-a- 2成立，则a与b方向相同，选项中只有D能保证

9、，故选D.|a| |b|点评本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.考点二：向量的加、减法【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.在求解时需将杂乱的向量运算式 有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律. 题型2:结合图型考查向量加、减法3. (2009)在 ABC所在的平面上有一点P,满足uuPAuurPBuur uurPC AB,则PBC与ABC的面积之比是()A. 1 3解题思路: 求解.B. 12C.本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施【解析】由uur uuu

10、uurPA PB PCuuu uuu uuu uuu uuinAB,得 PA PB BA PC 0,uur 即PCuuu2AP,所以点P是CA边上的第二个三等分点，如图所示.故 S pbc BC PC 2S ABC BC AC 3【名师指引】三角形中两边对应向量已知， 可求第三边所对应的向量. 值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.4.如图，在A ABC中，D E为边AB的两个三等分点， CA=3 a, CB=2 b,求CD , CE .解析：AB =Ac +Cb = 3a+2b,因D、E为AB的两个三等分点，故AD= 1 Ab=

11、 -a+ - b =DE , 33CD =CA + AD=3 a a+ -b =2 a+ - b, 33CE=CD + DE=2 a+ b- a+ b=a+ b.333考点三：向量数乘运算及其几何意义 题型1:三点共线问题例4设e1，e2是不共线的向量，已知向量AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,CD 2e1 e2,若 a,b,d 三点共线，求k的值 解题思路:证明存在实数 ，使得AB BD解析：BD CD CB e 4e2 ,使 AB BD 2G ke2得 2,k4 k 8【指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便, 个向量的和，一定要强化目标意识.2、这

12、是一个重要结论，要牢记。(e 4e2)值得一提的是，一个向量拆成两题型2:用向量法解决几何问题由海威迪R同声.我附可以与咫川向崎的敷心根.W求蝶究过个阿密|成川解fhL何中的M点列和，公所以同理可 id町:电四中W咱中T讳 感M向城彳的班.力得到111工用:(1)(2)(3)向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线。(4)向量a与b共线，则a/ b(5)向量AB/CD ,则 AB /CD 。(6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。2.在四边形ABCD43,“AB= 2无是“四边形ABC阴梯形”A充分不必要条件 条件B、必要不充分条件C充要条件D、既不充分也不必要3.已知向量1i 0,R

13、, a1iI2, b21i,若向量a和b共线,则下列关系一定成立的是（）A、r、l1r/ l2 D4. . H E、F 分别是 ABC的 BCCAAB上的中点，且BC aCAb ,给出下列命题，其中正确命基础巩固训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由:共线向量一定在同一条直线上o 所有的单位向量都相等。题的个数是（）ADCFA、 11 - - a21 -a2Blb25.已知:AB 3(e1 e2),6.若BEADBCeiBEe2,uuu |OAB, C三点共线A, D三点共线uuu uuuuuiruuuOB| |OA OB |则向量 OA,A.平行7.如图，已知uuuABr uuura, A

14、Cr uuir b, BDrA. a3b4B.-b C.答案:uuur解析：ADuurABuurBDuurAB8.已知 a + b =e 3e2 , a -答案：e1i -e229.已知a(k21)e2,b答案:k21 2k210.如图,OAB 中,OC1b2CFCDB,C,2ei e2D三点共线D三点共线uurOB的关系是不确定uuu3DC3 uur -BC4b = e12e2则下列关系一定成立的是(综合拔高训练-buuuABr r uuur a,b表示ADD.3r a43 uuur (AC4，用向、e2表不 a =-*(2t 1)e1 3e21八一 一Loa, od4r4ouuinAB)1

15、bC，且a/b ,试求t关于k的函数。1OB , AD与BC交于M点，设OA 2a, OB b,(1)试用a和b表示向量OM (2)在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点，设OEOF OB。求证：1 O第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示知识梳理1.平面向量基本定理：如果 e , &是同一平面内的两个不共线 不共线向量，那么对于这一平面内的任向量a ,有且只有_一对实数入1,入2使2=入10)+入2e2特别提醒：M 皿(i)我们把不共线向量 e、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；rur uu(3)由定理可将任一向量 a在给出基底0、e2的

16、条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式推入1,入2是被a, 0 , e2唯一确定的数量2 .平面向量的坐标表不如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个r rr单位向量_ i、j作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理r知，有且只有一对实数 x、y ,使得a xi yj O1 ,r我们把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作ra (x, y)C2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，。2式叫做向量的坐标表示. r与a相等的向量的坐标也为(x,y).rrr特别地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0)，特别提醒：设OA xi yj ,则向量

17、OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点 A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3 .平面向量的坐标运算rrr r(1)若a (为，必)，b 卜小)，则 a b=(x1 x2,y y),r ra b= (x1 x2,y y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差uuu若 A(x1，y1), B(x2,y2),则 AB % x1，y2 y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标rr(3)若 a (x, y)和实数，则 a ( x, y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量

18、的相应坐标4 .向量平行的充要条件的坐标表示：设 a=(xi, y 1), b =(X2, y 2)其中b ?aa / b ( b?0)的充要条件是x1y2x2yl 0重难点突破1 .重点：(1) 了解平面向量基本定理及其意义，了解基底和两个非零向量夹角的概念，会进行向量的分解及正交分解；(2)理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；2 .难点：用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线3 .重难点：(1)平行的情况有方向相同和方向相反两种r问题1：和a = (3, 4)平行的单位向量是 ；错解：因为a的模等于

19、5,所以与a平行的单位向量就是1 a,即(3,9)555错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为a的模等于5,所以与a平行的单位向量是1 a,即(、，一4)或(一、，：)55555热点考点题型探析考点一：平面向量的坐标表示与运算uuruuinuuir1.12012高考广东文3】若向量AB (1,2), BC (3,4),则ACA. (4,6) B. ( 4, 6) C.(2, 2) D. (2,2)【答案】A【解析】选Auur uur uurAC AB BC (4,6)第3讲平面向量的数量积知识梳理1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA = a, OB = b

20、 ,则一/ ao b= e （ow e w汽）叫a与b的夹角.特别提醒：向量a与向量b要共起点。2 .平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b ,它们的夹角是0 ,则数量| a| b |cos?_叫a与b的数量积，记作 a?b ,即有a?b = | a| b |cos?特别提醒：（1） （ow e wn）.并规定0与任何向量的数量积为 0.（2） 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1） e ? a = a? e =| a |cos?；2） a?b ? a?b = 03） 当 a与 b 同向时，a?b = | a| b | ；当 a与b 反向时，

21、a?b = ?| a| b |.特别的 a?a = | a |2或| a |a a4)cos? = a b ;|a|b|5)| a?b | a w。却不能推出b=c.因若a、b夹角为。i, a、c夹角为。2,则由p*p-a b = a c得 |a| | b |cos0 i=|a |- | c|cos。2 及 a |w 0,只能得到| b |cos 0 i=| c|cos 0 2,即b、c在a方向上投影相等，而不能得出 b=c (见 图）. 若 a、b、cC R,贝U a(bc)=(ab)c( 结合律)成立，但对于向量 a、b、c”U(a - b) c与 a ( b - c)都是无意义的，这是因

22、为 a 6与6 c是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的.同时，(a - b) c w a( b - c),这是因为数量a - b与向量c相乘是与c共线的向量，而数量b - c与向量a相乘则是与a共线的向量，所以一般二者是不等的.这就是说，向量的数量积是不满足结合律的.(4)若a、bC R则|a-b|=|a| |b| ,但对于向量a、b,却有 a b w ai b ,等号当且仅当a / b 时成立.这是因为 | a b |=| a | | b | |cos 0 | 而 |cos 0 | 1.热点考点题型探析考点一：平面向量数量积的运算【名师指引】a b a b 0是一个常用的结论

23、。例1.12012高考全国文9】uuuABC中，AB边的高为CD,若CBr uuu r r r r r a,CA b, a b 0,|a| 1,|b| 2,uuur则AD/、1r1 r/、2r2r/、3 r3r(A) -ab(B) -a-b(0 -ab333355【答案】DG 4r 4,r (D a b 55考点二利用数量积处理夹角的范围 题型1:求夹角及其范围 例212012高考湖北文13】已知向量a= (1,0), b= (1,1),则(I )与2a+b同向的单位向量的坐标表示为 ;(n)向量b-3a与向量a夹角的余弦值为 。【答案】(I)巫晅；(n)空10105【解析】(I)由a = 1

24、,0 ,b= 1,1，得2a b = 3,1 .设与2a b同向的单位向量为 c= x,y，则y 1, 且 x,y3y x 0,3 10,10 故c = :10.10近叵.即与2a1010b同向的单位向量的坐标为3而 10, 1010(n )由 a= 1,0 ,b= 1,1 ,得 b 3a =2,1 .设向量b 3a与向量a的夹角为cosb 3a ga b 3a|a|2,1 g1,0、5 12.5【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等 .与某向量同向的单位向量一 般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有 2个，它包含同向与反向两种 .不要把两个概念弄混淆了 今年需

25、注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查 第4讲平面向量的应用知识梳理1.利用向量处理几何问题的步骤为：(1) 建立平面直角坐标系；(2) 设点的坐标；(3) 求出有关向量的坐标；(4) 利用向量的运算计算结果；(5) 得到Z论.2 .平面向量在物理中的应用如图5-4-3所示，一物体在力 F的作用下产生位移 S,(6) 那么力F所做的功：W= |F| |S| cos a .r r r r r r3 .重要不等式： |a|b| ago |a|b|特别提醒：常用于求参数的范围重难点突破1 .重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题，如确定力或速度的大小以及方向2 .难点：加

26、强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力3 .重难点：.1.熟悉向量的性质及运算律；2能根据向量性质特点构造向量；3 .熟练平面几何性质在解题中应用；4 .熟练向量求解的坐标化思路.5,认识事物之间的内在联系；6.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识，热点考点题型探析考点一：平面向量在平面几何 题型1.用向量证明几何题例1已知：如图所示，ABC比菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AdBD 解题思路：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于 这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.解析：证法一：AC = AB + AD ,BD

27、= AD AB ,AC - BD = ( AB + AD ) ( AD AB )=| AD | 2 | AB | 2=0AC BD证法二：以OO在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系， 设B(O, O), A(a, b) , C(c, O)则由| AB| = | BCM导 a2+b2 = c2AC = BC - BA = (c, Q (a, b) = ( ca, b),BD = BA + BC = ( a, b) + ( c, O) = ( c+a, b)AC BD =c2-a2-b2=OAC BD 即 AC! BD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算,则将给解题带来一定的方便.通过向

28、量的坐标表示，可以【新题导练】1.证明:解析设 AC= bCB= a,则 AD =AC +CD = b+1 a, EB2ECCB = b+a2A,GG E共线 .可设 AG=X ADEG =则 AG =入 AD =入(b+1 a)=2 1、入b+一入a,2EG = EB = (i( b+ a)= wb+a, 22 AE EGAG 即：一b + ( (1 b+a)=入b+1入a2入)+ ( 1 ?X+-)b = 0a,b不平行,uiurAG2 uur -AD32.已知M(4,0),N(1,0),若动点P(x,y)满足uuuu MNuur uuuMP 6|NP|,求动点P的轨迹方程.解析MP (x

29、 4,y),MN(3.0), PN(1x, y)由已知得 3(x 4)6而 x)2 ( y)2 ,把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍化简得3x2 4y222一 x y ,12,即 1 ,这就是动点P的轨迹方程.考点二：平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用 题型1:与函数综合题例312012高考陕西文71设向量(1. cosr）与 b =（-1 , 2 cos ）垂直，则 cos2 等于 （）A工r2C .0C.【解析】向量 a与b垂直，.2,1 cos 2cos 0, 2cos 1.2-cos2 2cos0

30、 .故选C.考点三：平面向量在物理中的应用 题型1：用向量解决物理问题例4设炮弹被以初速V。和仰角 大时，炮弹飞行的距离最远 .抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度V0的大小一定时，发射角 多解题思路:上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解V0分解解析：将V0分解为水平方向和竖直方向两个分速度V1和V2,则| V 1|=| V 01cos| V2|=| V0| sin ,由物理学知识可知，炮弹在水平方向飞行的距离S =| v 1| - t =| v 01cos - t （t

31、是飞行时间）炮弹在垂直方向的位移是0=| V 2| t - gt2 （g是重力加速度）22由得t=2|v0|sin ,代入得S = 2|v0| sin cos2v0 sin 2由于| V0|一定，所以当二45。时，S有最大值.故发射角=45。时，炮弹飞行的距离最远 .例5某人骑车以每小时 a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为 东北方向吹来，试求实际风速和方向.2 a时，感到风从解题思路:利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”解析： 设a表示此人以每小时 a公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为 ？a,设实际风速为v,那么此时人感到的风速为 v ? a,设OA=? a , OB=?2 a PO + OA = PA . . PA = v ? a ,这就是感到由正北方向吹来的风速, PO + OB =PB PB = v ?2a ,于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB ,由题意：？PBO= 45?,PA?BO BA= AO从而， POB等腰直角三角形， PO= PB= J2 a 即：|v | = J2 a.实际风速是 J2 a的西北风【名师指引】 加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力第八章 综合运用用解题思