新课标高考数学题型全归纳正余弦定理在实际生活中的应用典型例题

1、正、余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答1 .测量中正、余弦定理的应用例1某观测站C在目标南偏西25方向，从出发有一条南偏东 35走向的公路，在C

2、处 测得公路上与 C相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得CD距离为21千米，求此人所在处距还有多少千米？分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解 CBD ,求角.再解 ABC ,求出AC ,再求出AB ,从而求出AD （即为所求）解：由图知， CAD 6022222_2c BD2BC2CD231220221223cosB2BC BD2 31 203125sin B12 331在ABC中，ACBC sin Bsin A24.由余弦定理，得 BC2 AC2 AB2 2AC AB cosA.即 312 AB2 242 2 AB 24 cos60整理，得AB224AB

3、385 0 ,解得 AB 35或 AB11 （舍）故 AD AB BD 15 （千米）答：此人所在处距还有 15千米.“形”可为“数”指引方向，因评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用, 此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理2 .航海中正、余弦定理的应用例2在海岸处，发现北偏东 45方向，距为J3 1海里的处有一艘走私船，在处北偏西75方向，距为2海里的C处的缉私船奉命以10%，3海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，

4、可画出示意图，需求 CD的方位角及由C到所需的 航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有CD 1043t, BD 10t.在 zABC 中，. AB 73 1 , AC 2 ,BAC 45 75120 ,根据余弦定理可得 BC ( 3 1)2 22 2 2 ( 3 1)cos1206.232 根据正弦定理可得sin ABC ACSin12022 .BC62ABC 45 ,易知CB方向与正北方向垂直，从而 CBD 9030120在 BCD中，根据正弦定理可得：sin BCD BDsin CBD10t sin120CD10 3t BCD 30 ,BDC 30 , BD BC 、6 ,则

5、有10t 娓,t0.245小时 14.7分钟.10所以缉私船沿北偏东600方向，需14.7分钟才能追上走私船.明确20250 m,速度为评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据 方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用3 .航测中正、余弦定理的应用例3飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 18 30 ,经过120秒后又看到山顶的俯角为 81 ,求山顶的海拔高度（精确到 mD .分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM和Rt BMD中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高

6、度求得山顶的海拔高度解：设飞行员的两次观测点依次为和，山顶为 M ,山顶到直线的距离为MD .如图，在 4ABM中，由已知，得A 18 30ABM 99 , AMB 62 30.又 AB 1800 6 (km),60 60根据正弦定理,进而求得MD6sin18 30可得 BM ,sin 62 306sin18 30sin 81, MD 2120sin 62 30 ，一(m),可得山顶的海拔高度为 20250 2120 18130 （项.余弦定理有序地解相关的评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、 三角形，从而得到问题的答案4 .炮兵观测中正、余弦定理的应用例4我炮兵阵地位于地面

7、处，两观察所分别位于地面点C和处，已知CD 6000 米,ACD 45 , ADC 75 ,目标出现于地面点处时， 测得 BCD 30BDC 15（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、C、可构成四个三角形.要求AB的长,由于 ADB 75 15 90 ,只需知道AD和BD的长，这样可选择在 ACD和BCD中应用定理求解.解：在 ZXACD 中，CAD 180 ACDADC 60 ,CD 6000,ACD 45 ,根据正弦定理有e CDsin45 AD sin603CD BCDCBD 180BCD BDC 135CD 6000, BCD 30

8、,根据正弦定理有BDCD sin 30sin1352 CD2又在 ABD 中， ADB ADC BDC 90 ,根据勾股定理有:AB JAD2 BD22- 1CD3 2442 CD 1000 42.6所以炮兵阵地到目标的距离为 1000%Z2米.评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解5 .下料中正余弦定理的应用例5已知扇形铁板的半径为，圆心角为60 ,要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的 内接矩形，如图所

9、示.解：在图（1）中，在Ab上取一点，过作 PN OA于N ,过作PQ PN交OB于Q, 再过Q作QM OA于M .设 AOP x , PN Rsinx .在 POQ 中， 由正弦定理，得OPsin(180 60 )PQ- 2 3. PQ Rsin(60 x). sin(60 x)3于是S PN PQ2 3 o3 oR sin x sin(60 x) R cos(2x 60 ) cos 60 33fR2(i J3 R2R .6当 cos(2x 60 )1即x 30时，S取得最大值，3R2.6在图（2）中，取Ab中点c ,连结oc ,在Ab上取一点，过作pqoc交ob于q 过作PN PQ交Ab于N ,过Q作QM PQ交CA于M ,连结MN得矩形MNPQ ,设POC x,则 PD Rsinx.RR在 POQ中，由正弦定理得： R R，sin(180 30) sin(30 x) . PQ 2Rsin(30 x).22S 2PD PQ 4R sin x sin(30 x) 2R cos(2x 30 ) cos302R2（1 cos30 ） （2 J3）R2 （当 x 15 时取“”）.当x 15时，S取得最大值（2 % 3）R2. R2 （2 3） R2 , 6作 AOP 30，按图（1）划线所截得的矩形面积最大 .评注：此