泰勒公式与极值问题

1、§4泰勒公式与极值问题教学计划：课时教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式教学方法：讲授法教学步骤：一高阶偏导数由于的偏导函数仍然是自变量与的函数，如果它们关于与的偏导数也存在，则说函数具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形： 注意 从上面两个例子看到，这些函数关于x和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数），即 但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数 它的

2、一阶偏导数为 进而求f在（0，0）处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得 由此看到，这里的在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把表示成极限形式由于 因此有 类似地有 为使成立，必须使这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序.下述定理给出了使极限相等的一个充分条件定理17.7若都在点连续，则 证令于是有 由于函数存在关于的偏导数，所以函数可导。应用一元函数的中值定理，有又由存在关于的偏导数，故对以为自变量的函数应用一元函数中值定理，又使上式化为 由则有 (5)如果令 则有 用前面相同的方法，又可得到 （0） （6）

3、当不为零时，由（5），（6）两式得到 （） （7）由定理假设在点连续，故当时，(7)式两边极限都存在而且相等，这就得到所要证明的(3)式这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成立。如三元函数，若下述六个三阶混合偏导数 在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数在点存在直到阶的连续混合偏导数，则在这一点阶混合偏导数都与顺序无关今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关下面讨论复合函数的高阶偏导数设是通过中间变量而成为的函数，即其中，若函数都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的对同样存在二阶连续偏导数。具体计算如下：显然与仍是的复合函数，其

4、中是的函数，是的函数。继续求关于的二阶偏导数同理可得例3设，求，解这里是以和为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式： 由复合函数求导公式有 注意，这里仍是以为中间变量为自变量的复合函数所以 二中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于元函数也有同样的公式，只是形式上更复杂一些在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域（图176）这就是说，若D为凸区域,则对任意两点和一切，恒有 定理17.8（中值定理）设二元函数在凸开域上连续，在D的所有点内都可微，则对D内任意两点，存在某，使得(8)证令 它是定义

5、在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在内可微于是根据一元函数中值定理，存在使得 （9）由复合函数的求导法则（10）由于D为凸区域，所以，故由（9），（10）即得所要证明的（8）式注意若D是闭凸域，且对D上任意两点及任意，都有则对D上连续，内可微的函数，只要，也存在使（8）式成立例如D是圆域，在D上连续，在内可微，则必有（8）式成立，倘若D是矩形区域，那就不能保证对D上任意两点都有（8）式成立（为什么？）公式（8）也称为二元函数（在凸区域上）的中值公式它与定理17.3中值公式(12)相比较,差别在于这里的中值点是在的连线上,而在定理17.3中与可以不相等推论若函数在区域D上存在偏导数，且

6、则在区域D上为常量函数请同学们作为练习自行证明（注意本推论与§1习题16(2)两者证明的差别）定理17.9（泰勒定理）若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得 (11)(11)式称二元函数在点的阶泰勒公式，其中 证与定理17.8的证明一样作函数由定理的假设,一元函数在上满足一元函数泰列定理条件,于是有 (12)应用复合函数求导法则,可求得的各阶导数： 当时,则有 (13)及 (14)将(13), (14)式代入(12)式就得到所求之泰勒公式(11)易见，中值公式(8)正是泰勒公式(11)在时的特殊情形若在公式(11)中只要求余项，则仅需在内存在直到阶连

7、续偏导数，便有(15)例求在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止），并用它计算(1.08)3.96解由于，因此有 将它们代入泰勒公式(15)，即得 若略去余项，并让，则有与§1例7的结果相比较，这是更接近于真值(1.356307)的近似值因为微分近似式相当于现在的一阶泰勒公式三极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进行讨论定义设函数在点的某邻域内有定义若对于任何点，成立不等式 则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点极大值、极小值统称极值极大值点、极小值点统称极值点注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点例5设由定义直接知道，坐

8、标原点是的极小值点，是的极大值点，但不是的极值点这是因为对任何点，恒有；对函数，恒有;而对于函数,在原点的任意小邻域内，既含有使的、象限中的点，又含有使的、象限中的点，所以既不是极大值又不是极小值 由定义可见，若在点取得极值，则当固定时，一元函数必定在取相同的极值上同理，一元函数在也取相同的极值于是得到二元函数取极值的必要条件如下：定理17.10（极值必要条件）若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有 (16)反之，若函数在点满足(16)，则称点为的稳定点定理17.10指出：若存在偏导数，则其极值点必是稳定点。但稳定点并不都是极值点，如例5中的函数，原点为为其稳定点，但它在原点并不取得极值与一

9、元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如在原点没有偏导数，但是的极小值为了讨论二元函数在点取得极值的充分条件，我们假定具有二阶连续偏导数，并记 (17)它称为在的黑赛（）矩阵定理17.11（极值充分条件）设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值证由在的二阶泰勒公式，并注意到条件，有由于正定，所以对任何，恒使二次型因此存在一个与无关的正数，使得 从而对于充分小的，只要就有即在点取得极小值同理可证为负定矩阵时，在取得极大值最后，当不定时，在不取极值这是因为倘若取极值（例如

10、取极大值），则沿任何过的直线，在亦取极大值由一元函数取极值的充分条件是不可能的（否则在将取极小值），故而 这表明必须是负半定的。同理，倘若取极小值，则将导致必须是正半定的。也就是说，当在取极值时，必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设相矛盾 根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成如下比较实用的形式：若函数如定理17.11所设。是的稳定点，则有：()当时，在点取得极小值；()当时，在点取得极大值；()当时，在点不能取得极值；()当时，不能肯定在点是否取得极值例6求的极值解由方程组得的稳定点，由于因为在点取得极小值又因处处存在偏导数，故为的惟一极值点例7讨论是否存在

11、极值解由方程组得稳定点为原点因，故原点不是的极值点。又因处处可微，所以没有极值点。例8讨论在原点是否取得极值解容易验证原点是的稳定点，且在原点故由定理17.11无法判定在原点是否取到极值但由于当时而当时，（图177），所以函数不可能在原点取得极值 由极值的定义还知道，极值只是函数在某一点的局部性概念要获得函数在区域地D上的最大值和最小值（由上一章知道在有界区域上的连续函数一定能取得最大值与最小值），与一元函数的问题一样，必须考察函数在所有稳定点、无偏导点以及属于区域的界点上的函数值比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在D上的最大（小）值例9证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小证设圆的半径为任一外切三角形为，三切点处的半径两两相夹的中心角分别为其中（图178）。容易得出的面积表达式为其中为求得稳定点，令在定义域内上述关于的方程组仅有惟一解：为了应用定理17.11，求得在稳定点处的二阶偏导数为由于，因此S在此稳定点上取得极小值因为面积函数S在定义域中处处存在偏导数，又因此时，而具体问题存在最小值，故外三角形中以正三角形的面积为最小例10（最小二乘法问题）设通过观测或实验得到一列点。它们大体上在一条直线上，即大体上可用直