极化恒等式在向量问题中的应用

1、极化恒等式在向量问题中的应用学习目标1. 掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；2. 掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；3. 分析题目形式，理解使用极化恒等式的缘由.² 典型考题（2014年高考全国II卷文（理）科第4（3）题）设向量，满足，则等于 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5² 背景展现普通高中课程标准实验教科书数学·必修4·A版（人民教育出版社，2007年2月第2版）第108页习题2.4中的A组第3题：已知，=-3，求，.【课堂练习·高考再现】1、 求数量积的值1.（2016年高考江苏卷第13题）如图1，在中，是的

2、中点，是的两个三等分点，=4，=-1，则= .2.（2012年高考浙江卷理科第15题）在中，是的中点，=3，=10，则= .3.（2011年高考上海卷理科第11题）在正中，是上的点，=3，=1，则= .4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形中，=3，=4，为矩形所在平面上一点，满足=2，=，则= .2、 界定数量积的取值范围5.（2015年郑州市高三第一次质量检测理科第11题）在Rt中，,是斜边上的两个动点，且,则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 3、 探求数量积的最值6.（2017年高考全国II卷理科第12题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小

3、值是 （ ）A.-2 B. C. D.-1 7.（2016年高考浙江卷理科第9题）已知向量，=1，=2，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 .4、 处理长度问题8.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 （ ）A.1 B.2 C. D.9.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，,若,则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 10.（2017年高考浙江卷第15题）已知向量，满足：=1，=2，则的最小值是 ，最大值是 .11. （1999年上海市理科实验班招生试题第6题）如图2，在中，是上的点，,如果,则= .12.（2013

4、年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形中，=1，为的中点.若,则= .5、 解决综合性问题13.（2012年高考江西卷理科第7题）在中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则等于 （ ）A.2 B.4 C.5 D.1014.（2013年高考浙江卷理科第7题）已知在中，是上一定点，满足,且对于边上任一点，恒有,则 （ ）A. B. C. D.15.（2014年高考浙江卷理科第8题）记，设，为平面向量，则 （ ） A. B. C. D. 16.（浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图3，在等腰梯形中，=2，=4，=，点分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且

5、只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【反馈训练·课后模拟】1.（2015年全国高中数学联赛安徽赛区预赛第3题）设平面向量 ，满足1，3，则的取值范围是 .2.（2012年高考安徽卷理科第14题）若平面向量，满足：，则的最小值是 .3.（2004年高考全国II卷文科第9题）已知向量，满足：=1，=2，=2，则等于 （ ）A.1 B.2 C. D.4.（2014年高考高考江苏卷第12题）如图，在平行四边形中，已知=8，=5，,=2，则的值是 .5.（2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形沿对角线折成平面角大小为的二面角，则边的中点与点的距离为 .6.（2011年“北约”自主招生试题第1题）已知平行四边形的两边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长度.7.（2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线与抛物线交于点，点为的中点，为抛物线上的一个动点，若点满足，则下列一定成立的是（其中是抛物线过点的切线） （ ）A. B. C. D.8.（2005年高考湖北卷理科第18题）在中，已知，边