沪教版9年级数学知识点整理

1、第二十四章 相似三角形第一节 相似形24.1 放缩与相似形1形状相同的两个图形叫做相似的图形，简称相似形2相似的图形，他们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形是全等形3如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例4图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，通过放缩运动，两个相似的图形可以相互重合（即成为全等形）第二节 比例线段24.2 比例线段1两条线段长度的比叫做两条线段的比2在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3比例线段有以下性质： （1）基本性质 （2）合比性质 （3）等比性质4黄金分割：如果点P把线

2、段AB分割成AP和PB（APPB）两段，其中，AP是AB和AP的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点，AP与AB的比值称为黄金分割数，它的近似值为0.61824.3 三角形一边的平行线1定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例 推论1：平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例2三角形三条中线的焦点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍3定理2：如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 推论2：如果一条直线截三角形两边

3、的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例 两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等第三节 相似三角形24.4相似三角形的判定1如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（或相似系数），当相似比等于1时，这两个相似三角形是全等三角形2相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似3相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角

4、对应相等，那么这两个三角形相似4相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似5相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似6直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似7两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例24.5相似三角形的性质相似三角形具有以下性质（1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2） 相似三角形对应高的比、对应中线之比和对应角平分线的比等于相似比；（3） 相似

5、三角形周长之比等于相似比；（4） 相似三角形面积之比等于相似比的平方第四节 平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘1实数与向量相乘的运算 若k0且0，那么k的长度k=k;k的方向 若k0时，k与同方向 若k0时，k与反方向 若k = 0或=0，那么k=02实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则（1） m(n )=(mn) （2） (m+n) =m+n（3） m(+b)=m+mb 向量加法、减法、实数与向量相乘等运算，与多项式的运算类似，但向量运算的结果仍是向量，是一个有长度与方向的量3平行向量定理：如果向量b与非零向量平行（包括b、在同一直线上）那么存在唯一确定的实数m，使b=k*24

6、.7 平面向量的分解1向量的加法、减法、实数与向量相乘，以及他们的混合运算，叫做向量的线性运算。如果、b是两个不平行的向量，x、y是实数，那么向量x+yb叫做向量、b的线性组合2 给定两个不平行的向量、b，对于任一个向量c，都可以确定它关于、b的分解式，也可作图法作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。第二十五章 锐角三角比第一节 锐角的三角比25.1锐角三角比1.理解锐角的三角比的定义及其表示方法和读法 sinA=对边/斜边 cosA=邻边/斜边 tanA=对边/邻边 cotA=邻边/对边2能正确地运用定义并借助直角三角形边·角之间的关系解决有关问题3.定义的前提是个直

7、角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角4.若角A为锐角，则sinA cosA tanA cotA 的取值范围分别是： 0<sinA <1; 0< cosA<1; tanA>0 ; cotA>05.同一个锐角的正切和余切互为倒数，即tanA · cotA=125.2特殊锐角的三角比的值1.三角函数角角度sincostan30°45°160°2.理解同角，互余的两角的三角比之间的关系 倒数关系 tanA=1/cotA平方关系 sin²A+cos²A=1积商关系 tanA=sinA/cosA；c

8、otA=cosA/sinA余角和余函数的关系：如果=90°，那么sinA=cosB；tanA=cotB (正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系)3使用计算器求锐角的三角比的值第二节 解直角三角形253 解直角三角形1在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两元素（其中至少有一条边），求出其他所有位置元素的过程，叫做解直角三角形2当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当的做高，化斜三角形为直角三角形，再求解3解直角三角形的类型有两种情况： 已知两条边 已知一条边和一个锐角254 解直角三角形的应用1、仰角和俯角 视线与水平线所成的角中

9、，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角2坡角、坡度： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i表示，即i=h:l，通常坡度要写成i:m的形式；坡角的正切是坡面的坡度3方向角：一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角4解直角三角形应用题应注意的问题： 认清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义； 认真分析题意，画出并找出要求解得直角三角形，有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形） 选择合适的边角关系式，使运算简便，并且不易出错 按

10、照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按照题目中要求的精确度确定答案并注明单位第二十六章 二次函数1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相

11、同.平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

12、(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

13、(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为() (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

14、，则横坐标是的两个实数根.(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次

15、函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等第二十七章 圆与正多边形27 圆的确定1 圆是到定点的

16、距离等于定长的点的集合。2 圆的两要素是圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。3 圆心相同的圆叫做同心圆。半径相等的圆叫做等圆。4 经过一点A可以做无数个圆。经过A、B可以作无数个圆。经过不在同一直线上的三个点A、B、C可以做1个圆。5 三角形的外接圆的圆心叫做外心。6 一个三角形有1个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。7 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。8 经过四边形四个顶点的圆叫做四边形的外接圆。经过多边形每个顶点的圆叫做多边形的外接圆。27 2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）1 联接圆上任意两点间的线段叫做弦

17、。过圆心的弦就是直径。2 直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。3 从圆心到弦的距离叫做弦心距。27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）1. 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的劣弧或优弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优劣弧、两条弦、或两条弦心距，这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也相等。27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。27.3垂径定理（1）1. 垂径定理：如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且

18、平分这条弦所对的弧。（推论：弦心距平分弦）27.3垂径定理（2）1. 如果圆的直径平分炫（这条弦不是直径），那么这条直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对弧。2. 如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直平分这条弧所 对的弦。3. 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线过圆心，并且平分这条弦所对的弧。4. 如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且垂直这条弦。5. 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且平分这条弦。27.3垂径定理（3）1. 应用垂径定理，就可以把弦半径弦心距等的计算问题，归结为解直角三角形的问题。27.4 直线与圆的位置关系1.根

19、据定义（交点的个数）判断直线与圆的位置关系： 直线L与圆相离<=> 直线L与圆没有公共点； 直线L与圆相切<=> 直线L与圆只有一个公共点； 直线L与圆相交<=> 直线L与圆有两个公共点。2. 根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系：如果O的半径为r，圆心到直线L的距离为d,那么直线L与圆相离<=>d>r直线L与圆相切<=>d=r直线L与圆相交<=>d<r27.5 圆与圆的位置关系(1)1.根据定义（公共点的个数）判断圆与圆的位置关系：两圆相离<=>两圆没有公共点；两圆相切<=>两圆只有一个公共点；两圆相交<=>两圆有两个公共点；2两圆相离包括外离和内含两种情况； 两圆相切包括外切和内切两种情况。3. 根据圆心距d与两圆的半径R、r(R>r)判断圆与圆的位置关系：两圆