南昌大学第四届高等数学竞赛理工类试题及答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上 南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题 序号： 姓名： 学院: 第 考场专业： 学号： 考试日期： 2007年9月16日 题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人 签名题分15156677877787 100得分注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:3011:30.一、 填空题(每空3分，共15分) 得分评阅人 1、 . 2、设是平面被圆柱面所截的有限部分,则曲面积分= .3、设由方程确定,则= . 4、直线与直线的夹角为 .5、设曲线弧的方程为椭圆，其周长为，则 .专心-专注-专业二、 单项选择题(每题3分，共15分) 得分评阅人 1、 设和在内可导

2、，且，则必有（ ）(A). (B). (C). (D) .2、 设是微分方程的一个解，若，则函数在点( ) (A) 取得极大值.(B) 某邻域内单调增加.(C) 取得极小值.(D) 某邻域内单调减少.3、 已知是某函数的全微分，则（ ）(A) . (B) .(C) . (D) .4、 已知曲面上点处的切平面平行于平面，则点的坐标为（ ）(A) . (B) . (C) . (D) .5、 设正项级数收敛,则级数的敛散性为( )(A) 无法判断,与有关. (B)发散. (C) 条件收敛. (D) 绝对收敛.得分评阅人 三、（本题满分6分） 设为连续函数,讨论当时的极限是否存在. 得分评阅人 四、（

3、本题满分6分） 设为连续函数,满足方程,求. 得分评阅人 五、（本题满分7分） 求，其中均为常数，为从点沿曲线到点的一段弧.得分评阅人 六、（本题满分7分） 设在上连续，且，求. 得分评阅人 七、（本题满分8分） 已知正项级数收敛，试判断数列的敛散性.得分评阅人 八、（本题满分7分） 计算曲面积分，其中是锥面被平面和所截出部分的外侧.得分评阅人 九、（本题满分7分） 设，其中函数具有二阶连续导数，求. 得分评阅人 十、（本题满分7分） 设函数满足方程,且由曲线、直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小，求. 得分评阅人 十一、（本题满分8分） 求级数的和函数. 得分评阅人 十二、（

4、本题满分7分） 设对任意，有，试证. 南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、 填空题(每空3分，共15分) 1、 . 2、0 . 3、. 4、 . 5、12.二、选择题(每题3分，共15分)1、 C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、D.得分评阅人 三、（本题满分6分） 设为连续函数,讨论当时的极限是否存在.当时，则积分中令则 2当时，则. 4（1） 当时，的极限存在，（2） 当时，的极限不存在 6得分评阅人 四、（本题满分6分） 设为连续函数,满足方程,求. 1 2 3求得 4通解 5特解 6得分评阅人 五、（本题满分7分） 设，其中均为常数，为从点沿曲线到点的一段弧.利用格林公

5、式.添加从点沿直线到点的有向直线段,则. 1对于,因为为封闭曲线,由格林公式知 3对于,直接计算 5所以,. 7得分评阅人 六、（本题满分7分） 设在上连续，且，求.解：令，则，.于是,原式=解法二：= 1= 4= 6= 7 七、（本题满分8分） 已知正项级数收敛，试判断数列的敛散性.证 设级数的前项的部分和由正项级数收敛知存在使得， 1 3由于当时，因此 6 又由于是单调递增数列， 7因此数列收敛. 8得分评阅人 八、（本题满分7分） 计算曲面积分，其中是锥面被平面和所截出部分的外侧.利用高斯公式.补充有向曲面:下侧；有向曲面:上侧.利用高斯公式,有 2 4其中为:.又由于, 5, 6故 7九、（本题满分7分） 设，其中函数具有二阶连续导数，求.令，则 2 4 6=0 7得分评阅人 十、（本题满分7分） 设函数满足方程,且由曲线、直线与轴围成的平面图形绕轴一周所得旋转体体积最小，求.方程通解 2旋转体体积 4 = 5令 7十一、（本题满分8分） 求级数的和函数.令， 1当时， 3 5=， 7当