高中数学平面向量知识点总结及常见题型65690

1、16平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终uuruuu点的大写字母表示，如：Ab .几何表示法 Ab , a ；坐标表示法a xi yj （x, y）.向uuu量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，记作I a I .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行.零向量a=0 rrI a | =0由于0的方向是任意的，且规定 0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区

2、别）单位向量：模为1个单位长度的向量.向量a0为单位向量I a0 1 = 1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.任意一组平行向量都可以移到同一直线上.方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b .由于向量可以进行任意的平移 （即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b.大小相等，方向相同（x1,y1） （x2,y2）x1x2必y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuu r uuir r r uuu uuir uuu 设 AB a, BC b,则 a + b=AB

3、 BC = AC（1） 0 a a 0 a；（2）向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的 有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.向 量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuruuuruuur uuiruuuuuuABBCC

4、DL PQQRAR，但这时必须“首尾相连”.3向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作 a,零向量的相反向量仍是零向量 *关于相反向量有：(i)( a)=a； (ii) a+( a)=(a)+a = 0;(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a= b,b= a, a + b =0,向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ,作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入 a,它的长度与方向规定如下：(I) a a ;

5、(n)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意的.数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数，使得b = a6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 1, 2使：a 1己2e2,其中不共线的向量 3,62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算 .(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件.(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合) ，

6、而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表不1 .平面向量的坐标表下:一 r r在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j作为基底，由平面向r ，、rrr ，一 r 一量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表不成axiyj ,由于a与数对(x,y)是对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y),其中x叫作自在x轴上的坐标，y 叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关

7、，只与其相对位 置有关2平面向量的坐标运算:xix2,必y2X, y24 rrrr(1)右 ax1, y1,bx2,y2，则 abuur(2)若 A xi, yi ,B x2, y2 ,则 ABx2,r 一若a =(x,y),则rr若 ax1，yi ,b(5)若 ar”,丫1 ,bra =( x, y)r rx2,y2 ,贝U a/bnt r rx2,y2 ，则 a bx2y1 y2 0xy2x2y1x x2y y23向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质运算 回几何方法坐标方法运算性质向1 1平行四边形法则r：、abba量2.三角形法则a b (

8、x x2,y 必)的(a b) c a (b c)加uuuuuuruur法AB BC AC向三角形法则r r量a b (x 泡 v ya b a ( b)uuu uurr的AB BA减uur uuiruur法OB OA AB向a个向量，a ( x, y)(a) ( )a量满足：()a a a的>0时，a与a同乘向；(a b) a b法<0时，a与a异向；a / b a b=0 时，a = 0 .向rj量a?b是一个数a?b x& vy2a?b b ?a的数a 0或b 0,(a)?b a?( b) (a?b)量积a?b=0(a b)?c a?c b?ca 0且b 0时，2.2

9、.122a | a| , |a| vx ya?b |a|b|cos a,b|a?b| |a|b|.平面向量的数量积1两个向量的数量积:rr已知两个非零向量 a与b ,它们的夹角为，则 a b = a b cos 叫做 a 与 b 的r r数量积（或内积）,规定0 a 0 nrr rr r2向量的投影：I b I cos narbCR,称为向量b在方向上的投影 投影的绝对值 |a|称为射影rr3.数量积的几何意乂：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：a a a24I2.5乘法公式成立：ra r ara2ra2ra2ra6平面向量数量积的运算律:r r r r交换律

10、成立：a b b a对实数的结合律成立:分配律成立:r r rcab，、一 一 ，、 r r r r r r 特别注意：(1)结合律不成立：a b c a b c；一r r(2)消去律不成立a br rr r r r(3) a b =0 不能彳至1 a = 0或 b=0.7两个向量的数量积的坐标运算:rrir ,r已知两个向重 a (x1,y1),b (x2, y2),则 a b = xjx2 y1y2,uuu rOB = b ,则/ AOB=r r uuu r8向量的夹角:已知两个非零向量a与b ,作OA = a ,r , I 一 一(0°180°)叫做向量a与b的夹角.

11、rrr ra?bX1X2 y.cos =cos a,b-rr = tjal?|b| Jx： y： yX22 y当且仅当两个非零向量a与b同方向时，9 =0。，当且仅当a与b反方向时° =180。，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a,b.10.两个非零向量垂直的充要条件a X b a - b = O x1x2 y1y20,平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量.(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的uur uur(4)四边形A

12、BC皿平行四边形的条件是 AB CD.uuu uur(5)若AB CD ,则A、B、C D四点构成平行四边形.(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.r r r rr r(7)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.r r r r(8)若 ma mb ,则 a b.r r(9)若 ma na ,贝U m n.(10)若a与b不共线，则a与b都不是零向量r r r r r r(11)若 a b |a| |b|,则 a/b.r r r r rr(12)若 |a b| |a b| ,则 a b.题型2.向量的加减运算rrr r1 .设a表示“向东走8km“，b表示“向北走6km“，则|a b |

13、uuu uuruur uuruur2 .化简(AB MB) (BO BC) OMuuu uuu uuu3 .已知|OA | 5, |OB| 3 ,则| AB |的最大值和最小值分别为uuuruuu . uuuruuur4 .已知AC为AB与AD的和向量，且 ACr uura,BDuuuuur ,AD5 .已知点C在线段AB上，且uuurAC3 uuu uurAB ,则 AC 5uuu BC,uuuABuuu BC.题型3.向量的数乘运算r r1 .计算：(1) 3(a b)r 2(ar b)2 2)r r2(2 a 5br r3c) 3( 2a 3b 2c)2.已知 a (1, 4),b (

14、3,8),贝u 3a题型4.作图法球向量的和r 1 r r 3 r3a 1b和2a -b.22r r已知向量a,b,如下图，请做出向量r a题型5.根据图形由已知向量求未知向量uur uuruuir1 .已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量 AB,AC表示AD.uuur r uur r uuu uuur2 .在平行四边形 ABCD中，已知AC a, BD b,求AB? 口 AD.题型6.向量的坐标运算 uuu1 .已知AB (4,5) , A(2,3),则点B的坐标是 uuir2 .已知PQ ( 3, 5) , P(3,7),则点Q的坐标是 rrr3 .若物体受三个力F1(1,2) ,

15、F2 ( 2,3) , F3 ( 1, 4),则合力的坐标为 rrr r r r r r4 .已知 a (3,4), b (5,2),求 a b, a b, 3a 2b.r5.已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x2,xuuir3y 2)与AB相等，求x,y的值.uuuuuur6.已知 AB (2,3), BC (m,n),uuurCDuuu(1,4),则 DA7.已知O是坐标原点， A(2, 1),B(uur uur r uuu4,8),且AB 3BC 0,求OC的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底ur uu1 .已知0,a是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一

16、组基底:ituuurur ur ur uu urA. e e2和e e? B. 3e 22和42 6.ur uu uuC. e3e2 和 e2ir3。uu uuurD. e2 和 e2e1一，r八一 r ,2.已知a (3,4),能与a构成基底的是(A. (3,4) B. (4,3) C. ( 3, 4) D. 5 55 55 5题型8.结合三角函数求向量坐标(1,3)uuu1.已知。是坐标原点，点 A在第二象限，|OA| 2xOA 1500,uuu求OA的坐标.xOAuur600,求OA的坐标.r 1 r(3) (a -b)一，r 一2.已知a (2, r r(4) (2a b)uuu _2

17、 .已知O是原点，点 A在第一象限，|OA| 4V3 ,题型9.求数量积t trt t t t t1.已知 |a| 3,|b| 4,且 a与 b 的夹角为 60°,求(1) a b , (2) a (a b),rr r r rb , (4) (2a b) (a 3b).r, r r r ,r r r r6), b ( 8,10)，求(1) |a |,|b |, (2) a b , (3) a (2a b),r r (a 3b).题型10.求向量的夹角r r r rr r1 .已知|a| 8,|b| 3, a b 12,求a与b的夹角.rr2 .已知a (J3,1),b ( 2弗2),

18、求a与b的夹角.3 .已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC .题型11.求向量的模r rr rrr1 .已知 |a|3,|b |4 ,且 a与 b 的夹角为60o,求(1) |a b|, 12a 3b|. rr, r rr rr 1 r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (5) |a b|,(6)|a'b|.2r rr rr r3 .已知 |a| 1,|b| 2, 13a 2b | 3,求 13a b |.rrr a题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：e 阜】|a|1 .与a (i2,5)平行的单位向量是

19、 r 12 .与m (1,1)平行的单位向量是 题型13.向量的平行与垂直rrr r r r1 .已知 a (6,2) , b ( 3,m),当 m为何值时，(1)a/b? (2) a b ?rrrr r r2 .已知a(1,2), b( 3,2), (1) k为何值时，向量kab与a3b垂直？r r k为何值时，向量ka b与a 3b平行？一，一，一r rr r 一 rr .rrr3 .已知a是非零向重，a ba c ,且bc ,求证：a(bc).题型14.三点共线问题1.已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求证：A, B,C 三点共线.uur 2 r r uuur2.设

20、AB (a 5b), BC2uuu r r uuirr3 .已知 AB a 2b, BC 5ar uuur r 6b,CD 7ar2 b ,则一定共线的三点是4 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若点 C(2a 1,a2）在直线AB上，求a的值.5 .已知四个点的坐标O(0,0) , A(3,4) , B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t ,使uur uuu uuurOA tOB OC 成立？题型15.判断多边形的形状uuu ruuirruuuuur1 .若AB 3e , CD 5e,且| AD | | BC |,则四边形的形状是.2 .已知 A(1,0), B(4,3)

21、, C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD 是梯形.3 .已知 A( 2,1), B(6,3) , C(0,5),求证:ABC是直角三角形r r uuur r r2a 8b,CD 3(a b),求证：A R D三点共线.uuuuuruur4.在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用八rr r rr一1 .已知a (1,0), b (2,1),当k为何值时，向量ka b与a 3b平行？2 .已知a (J3, 75),且a b , |b | 2 ,求b的坐标.r r rr rr3 .已知a与b

22、同向，b (1,2)，则a b 10,求a的坐标.一r_,rrrr.r4 .已知 a(1,2), b(3,1), c(5,4),则 c a b.r,rrrr5 .已知a (5,10), b ( 3, 4), C (5,0)，请将用向量a,b表不向量c.rrr r6 .已知a (m,3) , b (2, 1), (1)若a与b的夹角为钝角，求 m的范围；r r(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.右 r,rr-Jr7 .已知a(6,2) , b( 3,m),当m为何值时，(1) a与b的夹角为钝角？( 2) a与b的夹角为锐角？8 .已知梯形 ABCD的顶点坐标分别为A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且AB/DC ,AB