行列式计算方法小结（课堂PPT）

1、.1主要内容主要内容1.定义定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnjjjjjjjjjNaaa 21212121)()1(2.性质性质 5条条3.展开定理展开定理 )(, 0)(, 2211sisiDAaAaAasninsisi4.几个重要结果几个重要结果|BABCOAllkllkkk 范德蒙行列式范德蒙行列式P.15例例2三角形行列式的值等于对角元之乘积三角形行列式的值等于对角元之乘积.2 行列式的计算方法小结可从计算可从计算方法方法和行列式和行列式特征特征两个角度总结两个角度总结。1. 直接用定义直接用定义（非零元素（非零元素很少很少时可用）时可用）2. 化三

2、角形行列式法化三角形行列式法此法特点：此法特点：(2) 灵活性差，死板。灵活性差，死板。程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的 字母行列式适用。字母行列式适用。3.降阶法降阶法利用性质，将某行利用性质，将某行(列列)的元尽可能化为的元尽可能化为0，然后，然后按行按行(列列)展开展开.阶阶n阶阶1 n 阶阶2此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。一一.方法方法.3*4. 递推公式法递推公式法 (见附录见附录1)*5、数学归纳法、数学归纳法 (见附录见附录2)*6. 加边法（升阶）加边法（升阶）(见

3、附录见附录3).4二、特征二、特征 . 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算列式或结合展开定理计算. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）.5例例), 2 , 1, 0(000000000221112101niaacacacbbbbaDinnnnn 11llaciii nnnniiiiaaabbbbbaca0000000000002112110 nniiiiaabaca110)( 1. “箭形箭形”行列

4、式行列式 化成三角形行列式化成三角形行列式如如:练习册练习册P.2 6(2)题题.6axxxxxaxxxxxaxxxxxx 4321432143214321例例)1( aaaxxxx 00000000043212. 除对角线以外各行元素对应相同除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行可化成三角形行列式或箭形行列式列式或箭形行列式13xa axxxxaxxxxaxxxxxD 43243243243211111另另aaax 001001001000114 , 3 , 21 illxiib 可化箭形行列式可化箭形行列式如如 P.20 例例8.7例例 P.41 33题题abbababaD00000

5、0000000 n阶按按第第一一列列展展开开abababaa0000000000000n-1阶bababbn0000000)1(1 n-1阶nnnba1)1( 3. 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用可用降降 阶法阶法或定义或递推公式法或归纳法或定义或递推公式法或归纳法.84. 各行各行(列列)总和相等的行列式总和相等的行列式 (赶鸭子法赶鸭子法)例例 计算行列式计算行列式(P.18 a 换为换为y)xyyyyyxyyyyxDn xyyynxyyxynxyyyynx)1()1()1( ), 3 , 2(1nilli .9),.,3 ,2(1nirr

6、i xyyyyxyyyynx111)1( yxyxyyyynx 0000001)1(1)(1)1( nyxynx1)()1( nyxynx*或或 y 乘第乘第1列加到后面各列：列加到后面各列： yxyxynx 0010010001)1(*.10例如例如 (P.37 13(4) ，P.38 17(3), 21, P.39 25(2)题题如：如：P.39 22题题, 25(3)题题1列列(行行)“1”的巧妙利用的巧妙利用.115 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式（重要结果）（重要结果）).2( n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxx

7、V nijjixx1)()()()(111141312xxxxxxxxxxnn )()(2212423xxxxxxxxnn )()(33134xxxxxxnn )(221 nnnnxxxx)(1 nnxx121323312222112111111 nnnnnnnTnxxxxxxxxxxxxV.123142281232 D将一不含将一不含的非零元化成零，某行的非零元化成零，某行可能可能会会出现公因子，提公因子，可降次。出现公因子，提公因子，可降次。322rr 1220281232 6. 部分对角线上含参数的行列式部分对角线上含参数的行列式例例 为何值时为何值时,D=0? 120281232)1(

8、 2)3)(1( . 031 D时时或或即即得得 .13*附录附录1. 递推公式法递推公式法特征：特征：某行（列）至多有两个非零元素某行（列）至多有两个非零元素。方法：方法：按此行（列）展开，按此行（列）展开，可能可能会导出递推公式。会导出递推公式。qpDDnn 11 ）：）：形式（形式（212 nnnqDpDD）：形形式式（.14例例112210100000100001 nnnaxaaaaxxxD按按第一行第一行展开好，还展开好，还是按是按第一列第一列展开好？展开好？按第一列展开按第一列展开1221100000001 nnaxaaaxxxx1000010001)1(10 xxann-1阶11

9、01)1()1( nnnaxD01axDn .1501axDDnn 由此得递推公式：由此得递推公式：因此有因此有：12211100000001 nnnaxaaaxxxD01201)(aaxDxaxDDnnn 0122axaDxn 01232axaaxDxn 012233axaaxDxn 013322axaaxDxnnn 2121221 nnnnaxaxaxaxD而而D2=?012211axaaxaxxDnnnnnn 于于是是得得：解法解法2：从最后一列开始每列乘以从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。加到前一列，再按第一列展开。.16例例2 2100001210000120000

10、00210000121000012 nD按第一行展开按第一行展开12 nD212 nnDD按第一列展开按第一列展开210000121000012000000210000120000011 .17由此可得递推公式：由此可得递推公式：212 nnnDDD211 nnnnDDDD因此有因此有 12DD 又因为又因为321122 D221 D故故11 nnDD则则.1 nDn递推公式法的递推公式法的 步骤：步骤：1. 降阶，得到递推公式；降阶，得到递推公式；2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式利用高中有关数列的知识，求出行列式 。nD技巧！.18附录附录2、数学归纳法、数学归纳法例例 证明范德蒙证

11、明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式).2( n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV nijjixx1)()()()(111141312xxxxxxxxxxnn )()(2212423xxxxxxxxnn )()(33134xxxxxxnn )(221 nnnnxxxx)(1 nnxx.19证明证明(数学归纳法数学归纳法)时时，有有当当2 .1 n2111xx12xx ，结论成立。，结论成立。立立。阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式结结论论成成假假设设对对于于1 . 2 n成成立立。阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式结结论论也也下下证证对对 n倍

12、倍，则则行行的的行行开开始始，逐逐行行减减去去上上一一中中从从第第在在1xnVn)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVnnnnnnnnn 按第按第1列展开列展开.20)()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn )()(11312xxxxxxn 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx根据归纳假设有：根据归纳假设有：)()(11312xxxxxxVnn nijjixx2)( nijjixx1)

13、(综上所述，结论成立综上所述，结论成立 。)2( n阶阶1 n.21附录附录3. 加边法（升阶）加边法（升阶）要点：要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素（列）元素 ，将行列式化成三角形行列式。，将行列式化成三角形行列式。mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121例例 用加边法计算用加边法计算mxxxxmxxxxmxxxxnnnn 212121210001n+1阶还可用赶鸭子法！还可用赶鸭子法！.22将第将第1行的行的(-1)倍分别加到第倍分别加到第2行，第行，第3行，行，.，第，第n+1行得：行得：mmmxxxDnn 00100100112

14、1(1) 若若m=0，则，则 1011nnxDn，若若0 )2( m列列：后后加加到到第第列列都都乘乘以以、列列、列列、中中第第将将11132mnDn n+1阶“箭形箭形”行列式行列式从加边前的从加边前的Dn 得出得出.23mmmxxxmxDnniin 0000000001211)1()(1 niinmxm)()1(11 niinnxmm.24 综合练习题2. 用多种方法计算下列行列式用多种方法计算下列行列式155164102098474050 D(2).1112222bbaababaD (3). (1).111132322332xxxxxxxxxxxxD _,. 11121的的逆逆序序数数为

15、为则则的的逆逆序序数数为为已已知知排排列列iiiaii innn .253. 计算行列式计算行列式nnnnmmmmbbbbaaaaC11111111 设设m阶行列式阶行列式|A|=a, n阶行列式阶行列式|B|=b, CBA则,00*4. 计算行列式计算行列式,347534453542333322212223212)( xxxxxxxxxxxxxxxxxf设设的的根根的的个个数数。求求方方程程0)( xf.26 综合练习题解答_,. 11121的的逆逆序序数数为为则则的的逆逆序序数数为为已已知知排排列列iiiaii innn ann 2)1(因此因此,2)1()()(1121 nniiiNii

16、 iNnnn)(2)1()(2111nnnii iNnniiiN 因为因为: 对于任何两个数码对于任何两个数码 ,在一排列中要么构在一排列中要么构成逆序成逆序,要么不构成逆序要么不构成逆序.kjii ,如如:2)13(321)231()132( NN.272. (1)解法一：解法一：化成三角形行列式化成三角形行列式155164102098474050 D15516410204050984721 rr15516410204050932361214 rr解法二解法二：把：把 化成化成0, 再按第三行展开再按第三行展开32a.2845161500217849005441 ll解法三：解法三：9457

17、8215445161578490021005432 rr155164102098474050 D.29(2).计算行列式计算行列式1112222bbaababaD 解法一：解法一：解法二：解法二：112)(2bbaba 3)(ba )(ab 按第一列展开，各行提按第一列展开，各行提3)(ba 注意：注意：若按图示法计算不易化简。若按图示法计算不易化简。11020)(,2221312bbababballll D111)(20)()(0,213223abababababarrarra D.30111132322332xxxxxxxxxxxxD (3). 解法一解法一)(3x )(2x )( x 4

18、546254321000100101xxxxxxxxxxxx 34)1(x .31111132322332xxxxxxxxxxxx解法二解法二:用赶鸭子法用赶鸭子法,提公因子提公因子1111111)1(32323232xxxxxxxxxxxx )1( )1)(1 ()1 ()1 (0)1 (1)1 (0)1 ()1 (101)1 (2222223232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2222232111)1)(1)(1(xxxxxxxxxxxxx 化三角化三角形行列形行列式或降式或降成二阶成二阶.323. 计算行列式计算行列式nnnnmmmmbbbbaaaaC11111111 设设m阶行列式阶行列式|A|=a, n阶行列式阶行列式|B|=b, CBA则,00解解将第将第n+1列作列作n次相邻交换，到第次相邻交换，到第1列，列，将第，将第n+m列作列作n次相邻交换，到第次相邻交换，到第m列列,共作了共作了mn次列次列交换，得：交换，得：BACmn00)1( abBAmnmn)1(| |)1( .33*4.