信号与系统复习题

1、信号与系统复习题1 . 10c6(3_2t)dt =1/2。(解题思路：冲激函数偶函数和尺度变换-OO的性质及冲激函数的定义)2 .已知信号 x(t) =6(t -a)u(t -b),a >b>0 ,则 x'(t) =6'(t_a)。(解题思路：冲激函数和阶跃函数的特点和性质)3 . 6(t+1)+2每(t 1)*u(t) =u(t+1)+2u(t1)。(解题思路：冲激函数卷积积分的性质)4 .已知 Fx(t) = X(j),则 Fx(t5)=X(©)e,56。(解题思路：傅里叶变换时移的性质)15 .已知信号的频谱函数为 Sag),则该信号时域表达式为

2、1u(t+1)-u(t-1)c(解题思路：矩形脉冲的傅里叶变换)6 .无失真传输系统的时域特性的数学表达式为 h(t) = K6(t-td),频域特性的数学表达式为 H (jco) = Ke-3。(解题思路：无失真传输系统的定义)(解题思路：P18 1-23T7 .信号 x(t) =sin(2nt) +cos(3nt +)的周期 t= 2 s 3mTi =nT2=T )、j (Jk _二)8 . 信号 xk = e 2 3 的周期 N= 4k二一 2 二2 二、Q =,周期 N = =4)21J 二 /2j( -)二 k 二二 k 二e 2 3 =cos(-)+jsin(-),23239 .信

3、号 x(t)=U(t)的偶分量 xe(t)=_05。(解题思路：xe(t)= x(t)+x()210 .已知某系统的冲激响应如下图所示，则该系统的阶跃响应为 _(1-e')u(t)_。(解题思t路：g(t) = J h( f)d 丁)'-=>题10图11 .已知某系统的阶跃响应如题11图所示，则该系统的冲激响应为 26(.2)-2或t-3)_。(解题思路：h(t) = g'(t)题11图12 .若f(t)的波形如题12图所示，试画出f (_0.5t_1)的波形。J(t)2 - 卉*题12图解：将f(0.5t 1)改写为f0.5(t+1),先反转，再展宽，最后左移2

4、,即得f(051),如答12题所示。f(q5t) 2*f(-t)上1(2)答12题-2-11t »0-3* t0f ( -0.5t -1)213.一个离散时间信号 xk如下图所示，试画出x-3k+2的图形。(请记住：对离散信号题13图不能写成如下表达式：x - 3k+2=x - 3(k - 2/3 )】)解：x-3k+2包含翻转、抽取和位移运算，可按先左移2再抽取，最后翻转的顺序处理,即得x-3k+2,如答3-1图所示。x3k 2x-3k 23333T TT T_i -2-10 1 2 k -2-10 12 k答13图14 .试求微分方程y'(t)+6y(t) =3x'

5、;(t)+2x(t)(t >0)所描述的连续时间LTI系统的冲激响应 h(t)。解：微分方程的特征根为：s-6由于 n =m ,故设 h(t)=AeJ6tu(t)+B6(t)o将其带入微分方程 h'(t)+6h(t)=3S'(t)十2S(t),可得A - -16,B =3故系统的冲激响应为h(t) -16eJ3tu(t) 3、(t)15 .求题15图所示系统的单位脉冲响应hk。其中h1k =2kuk , h2k =k 1,h3 k = 3 ku k , h4 k = u k。题15图解：子系统h2k与h3k级联，h1k支路、全通支路与 h2 k h3 k级联支路并联，再

6、与h4 k级联。全通支路满足 yk =xk* hk = xk全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列B khk工hk、k h2k 皿灯)k= 2(2)kuk 1.5(3)k-0.5uk -116.已知信号x(t)在频域的最高角频率为0m,若对信号x(t / 4)进行时域抽样，试求其频谱不产生混叠的最大抽样间隔Tmax。解：由于x(t/4), 4X( j4，)故信号x(t/4)的最高角频率为0m/4,频谱不产生混叠的最小抽样角频率为s =2- 'm/4 =, 'm/2即最大抽样间隔 Taxiiiax's 'm/2-m17. f (t)最高角频率为Om ,对y(t)

7、 = f (-)f(-)取样，求其频谱不混迭的最大间隔。42解：信号f(t)的最高角频率为6 m,根据傅立叶变换的展缩特性可得信号f(1)的最高角频率为mm/4,信号“；)的最高角频率为0m12。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故 m,jmy(t)= f (工)f (工)的最高角频率为 42根据时域抽样定理可知,对信号y(t)=(4)f (2)取样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔Tmax 为Tmax3 .maxm18.已知连续周期信号f(t)的频谱Cn如题18图所示，试写出信号的时域函数表示式。题18图解：由图可知,Cq - 4 C 1 - 3 C 2 -1

8、 C 3 - 2f 八 一 Cnejn 0tn 二=4 3(ej 0t e,0t) (ej2 0t - eJ2 0t) - 2(ej3 0te-3 0t) =4 6cos( 0t) 2cos(2，0t) 4cos(3 0t)19.已知某连续时间LTI系统的输入激励为etu(t),零状态响应为 yzs(t) =2e-tu(t)-2e-tu(t) o求该系统的频率响应H(jco)和单位冲激响应h(t)。解：对x(t”D yzs分别进行Fourier变换，得Xj) = F lu(t)=14 j Yzs(j ) = F Se'tua)-2eu(t) =2 一 2=23 j4 j (3 j )(

9、4 j -)Ys(j )2故得H (j，)= zs'j JX( j )3 j -h(t) -F J<：H(j ) '-2eJ3tu(t)1.20 .已知一连续时间系统的单位冲激响应h( t)= S a 3,t)输入信号f (t) =3 +cos2t, -00 <t < 时，试求该系统的稳态响应。解：系统的频响特性为1 n1/3, M <3H(j8) = Fh(t)= 一m二 p6(®) = <3 30, co >3利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即Tcos(©0t +日) = H (j%) cose°

10、;t +e®0)+e)由系统的频响特性知，H(j0)=H(j2)=1/3 , 可以求出信号f (t) =3 +cos2t, <t <,作用在系统上的稳态响应为Tf(t)=3H(j0) cosl0t+cP(0)+|H(j2) cosbt+平(2)，1=1+cos2t,-二二 t :二 321 .已知一连续时间LTI系统的零状态响应为_yzs(t) =(0.5 + e41.5e“t)u(t),激励信号为 x(t) =u(t),试求：(1)该系统的系统函数 H：s),并判断系统是否稳定；(2)写出描述系统 的微分方程；(3)画出系统的直接型模拟框图。解：零状态响应和激励信号的拉

11、氏变换分别为Yzs(s)0.5 _±_s s 11.5 2s 1s 2 s(s 1)(s 2)1X(s)二 sRe(s) 0Re(s) 0根据系统函数的定义，可得H(s)=Yzs(s)2s 1X(s) 一(s 1)(s 2)2s 1-2 I rs 3s 2Re(s) - -1该系统的极点为 pi= -1, pi= -2系统的极点位于 s左半平面，故该系统稳定。(2)由式可得系统微分方程的s域表达式(ss 8_ 2 _ 1 一一s 7s 10 s 2 s 5 3s 2)Yzs(s) =(2s 1)X(s)两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为y"(t) 3y'(

12、t) 2y(t) =2x'(t) x(t)(4)将系统函数表示成 s的负塞形式，得2H(s)2s s_ _ _21 3s 2s其模拟框图如下所示。22.描述某因果连续时间 LTI系统的微分方程为 y''(t)+7y'(t)+10y(t) = 2x'(t)+3x(t)。已知x(t) =eJ2tu(t) ,y(0-) = y'(0") =1。由s域求解：(1)零输入响应yx(t),零状态响应yf和全响应y(t) ； (2)系统函数H (s),并判断系统是否稳定；(3)若 x(t) =e“g)u(t1),重求 yx(t)、yf(t)、H (s

13、)。解：(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换，得：s2Y(s) -sy(0 1 -y'(0-) 7sY(s) -7y(0) 10Y(s) =(2s 3)X(s)整理得Y(s)=sy(03 y'(01 7y(0-)s2 7s 10(2 s 3)s2 7s 10X(s)其中零输入响应的s域表达式为Yx(s)=sy(01 y'(0) 7y(0)2s 7s 10所以系统的零输入响应为yx(t) = L,乂(2e2 一勿川零状态响应的s域表达式为Yf(s)=(2s 3)2s2 7s 10X(s) =(2 s 3)(s2 7s 10)(s 2)7/91/3s 2 "(s

14、 2)27/9s 5所以系统的零状态响应为y«) =LLYf(s)：，=(-7e§ 7e2_；te")u(t)993系统的全响应为y(t) = yx(t) yNDE-Rs 个工一上”993(2)根据系统函数的定义，可得H(s)=Yzs(s)X(s)2s 3-1/3 7/3s2 7s 10 s 2 s 523. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如题23图所示，求:题23图描述系统的差分方程；系统函数Hz,单位脉冲响应hk； 判断系统是否稳定。X2(z)=z -3 2z由于系统的极点为 p1 = -2, p2 = -5 ,均位于s平面的左半平面，所以系统稳

15、定。(3)若x(t) =e/(t,)u(t1),则系统函数 H(s)和零输入响应yx(t)均不变，根据时不 变特性，可得系统零状态响应为yf(t-1) = (eW"7eNt)-3(t-1)eW)u(t-1)(2)解：(1)由题18图可知，输入端求和器的输出为zX2(z) =F(z) 3X2(z)-2Xi(z)(2)Xi(z) =z4X2(z)式(2)代入式(1)得输出端求和器的输出为z 4Y(z) =(z 4)X2(z) =-F(z)z-3 2z(4)即(z-3 2z)Y(z) =(z 4)F(z)或_122_(1 -3z 2z )Y(z) K1 4z )F(z)因此系统的差分方程为

16、yk _3yk -1 2yk -2= fk 4fk -1(3)由系统函数的定义可得H(z)=Yf(z)1 4zF(z) -1 -3zJ 2z取z反变换得系统单位冲激响应为(4)由系统函数 Hz可得极点hk =(-5 6 2k)ukp1 = 1, p2 2 ,都未在单位圆内，故系统不稳定。24.初始状态为零的离散系统，当输入xk=uk时yk =(1)k (1)k +1uk。试求：(1)该系统的系统函数 H (z) ； (2)画出其零极点分布 23图；(3)判断系统的稳定性。解：(1)对x k和yk分别进行z变换，得1X(z)11 A6z )11+1 . Y(z)= 1-1z4 z1-3.21 -

17、 z 3(1 - z J )(1 - z 6由系统函数的定义得221 z1 zH(z)=Y(z)=33X(z)(1-5z4 1 z) (1- 1 z)(1-1 z，)6623(2)系统的零极点分别为2z1=3，P1其零极点分布图如下所示。Jm iz：(3)由于极点均在单位圆内，故系统稳定。25 . 试写出方程3y(t)+4y(t)+y(t) = x(t)描述的LTI系统的状态方程和输出方程的矩阵 形式。解：选y(t)和y(t)作为系统的状态变量，即qi(t) = y(t),q2(t) =y(t)由原微分方程和系统状态的定义，可得系统的状态方程为&(t) =q2(t).114d2(t) =y(t) =°x(t) - qi(t) - q2(t)333写出矩阵形式为x(t)I0 1,3+)OXL AL/V /V1 2q qrlpLJ 14 3-0 1-31 IL-)a a1 2吊.系统的输