同济大学信号与系统第三章第1讲_傅立叶变换

1、傅立叶分析主要是从频率的角度来分析信号和系傅立叶分析主要是从频率的角度来分析信号和系统，时域分析和频域分析相辅相成。统，时域分析和频域分析相辅相成。对于连续时间和离散时间信号与系统分析来说，对于连续时间和离散时间信号与系统分析来说，傅立叶分析方法是一个强有力而严谨的分析体系，傅立叶分析方法是一个强有力而严谨的分析体系，有极为广泛和潜在的应用范围。有极为广泛和潜在的应用范围。第三章第三章 傅立叶变换傅立叶变换 周期信号可以表示成傅立叶级数：它以三角函周期信号可以表示成傅立叶级数：它以三角函数集或复指数函数集为基函数集。数集或复指数函数集为基函数集。周期函数展开为傅立叶级数周期函数展开为傅立叶级数

2、狄里赫利条件：狄里赫利条件：周期函数周期函数f(t)满足如下充分条件：满足如下充分条件：1、在一周期内，信号有有限个极值点。、在一周期内，信号有有限个极值点。2、如果有间断点，间断点的数目是有限个。、如果有间断点，间断点的数目是有限个。3、在一周期内，信号是绝对可积的。即：、在一周期内，信号是绝对可积的。即： dttfTtt00)(我们实际中遇到的周期信号，都能满足这些条件。我们实际中遇到的周期信号，都能满足这些条件。3.2 周期信号的傅立叶级数分析（频谱）周期信号的傅立叶级数分析（频谱）任何一个满足狄利克雷条件的周期为任何一个满足狄利克雷条件的周期为T的函数的函数f(t)都可都可以用三角函数

3、集中各函数分量的线性组合来表示，即以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示，即: :)sincos(22sinsin2coscos2)(1110121112110tnbtnaatbtbtataatfnnn（一）三角形式的傅立叶级数（一）三角形式的傅立叶级数上式称为上式称为f(t)的三角形式的傅立叶级数展开，其中：的三角形式的傅立叶级数展开，其中：dttfTatdttfTbtdtntfTaTTttTttnTttn000000)(2sin)(2cos)( 1 1 称为基波角频率，称为基波角频率，n n 1 1 称为称为n n次谐波角频率次谐波角频率, ,若把同若把同频率项加以合并，即频率项加以合

4、并，即)cos(sincos12211nnnnntnbatnbtna 或或)sin(sincos12211nnnnntnbatnbtna 110)cos(2)(nnntncatf或110)sin(2)(nnntndatf则可得到另两种表示形式：则可得到另两种表示形式：c cn n代表代表n n次谐波振幅；次谐波振幅； n n , , n n代表代表n n次谐波的初相位次谐波的初相位以上两种表示的关系为以上两种表示的关系为 22nnnbaCnnnabtg1nn2nnnCacosnnnC在实际的信号分析中，只能用下面的有限项近似形在实际的信号分析中，只能用下面的有限项近似形式来表示任意信号式来表示

5、任意信号f(t)f(t)。)()sincos(2)(1110ttkbtkaatfnknkk例：例：1tTf(t)0 11)(tf20Tt TtT 2将信号将信号f(t)展开为三角形式的傅立叶级数展开为三角形式的傅立叶级数解：首先根据公式计算系数解：首先根据公式计算系数 TdttfTa00)(202202 TTTdtdtT TntdtntfTa01cos)(2 0coscos220211 TTTtdtntdtnT 1tTf(t) TntdtntfTb01sin)(2 20211sinsin2TTTtdtntdtnT |212011coscos12TTTtntnnT nncos12 1tTf(t)

6、为奇数为偶数nnnbn40所以所以tnbtfnn 11sin)( tt113sin34sin4 ( (二二) ) 指数傅立叶级数指数傅立叶级数因为复指数函数集因为复指数函数集, 2, 1, 0,1netjn在区间在区间(t0，t0+T)内也是一个完备正交函数集，其中内也是一个完备正交函数集，其中T21对于任意周期为对于任意周期为T的信号的信号f(t),可在区间可在区间(t0 ,t0+T)内表示为内表示为此函数集中各函数的线性组合，即此函数集中各函数的线性组合，即tjnnneFtf1)(定义：定义：式中指数傅立叶级数的系数式中指数傅立叶级数的系数Fn可由下式求得可由下式求得tjnnneFtf1)

7、(dtetfTFTtttjnn001)(1F Fn n亦称为谱系数亦称为谱系数, ,一般为复数一般为复数( (二二) ) 指数傅立叶级数指数傅立叶级数由欧拉公式：由欧拉公式：)(21cos jjee )cos(2)(110nnntnCatf1)()(011212ntnjtnjnnneeCa又因为又因为00,caCCnnnn( (二二) ) 指数傅立叶级数指数傅立叶级数指数傅立叶级数与三角傅立叶级数的关系：指数傅立叶级数与三角傅立叶级数的关系：ntjnnneC)(121ntjnjneeCn121ntjnneC1211)()(011212)(ntnjtnjnnneeCatf( (二二) ) 指数傅

8、立叶级数指数傅立叶级数经推导经推导nncF2TtttjndtetfT001)(2njnecnnnnjccsincosnnjba )(21nnnjbaF( (二二) ) 指数傅立叶级数指数傅立叶级数1、当、当f(t)为偶函数为偶函数)()(tftf 所以：所以： 221cos)(2TTtdtntfTan 201cos)(4TtdtntfT0sin)(2221 TTtdtntfTbn ( (三三) ) 对称性与傅立叶级数的关系对称性与傅立叶级数的关系2、当、当f(t)为奇函数为奇函数)()(tftf 0cos)(2221 TTtdtntfTan 0)(2220 TTdttfTa( (三三) ) 函

9、数波形的对称性与傅立叶级数的关系函数波形的对称性与傅立叶级数的关系 221sin)(2TTtdtntfTbn 201sin)(4TtdtntfT 3、当、当f(t)为奇谐函数为奇谐函数波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形不发生变化，即满足：此时波形不发生变化，即满足：)()(2Ttftf 这样的函数称为半波对称函数或奇谐函数，这样的这样的函数称为半波对称函数或奇谐函数，这样的函数只有奇次谐波，即函数只有奇次谐波，即an、bn中中n取奇数时，才有谐取奇数时，才有谐波分量。波分量。( (三三) ) 函数波形的对称性与傅立叶级数的关系函

10、数波形的对称性与傅立叶级数的关系傅立叶有限级数与最小均方差傅立叶有限级数与最小均方差任意周期函数表示为傅立叶级数需要无限多项才能完任意周期函数表示为傅立叶级数需要无限多项才能完全逼近原函数，当选用有限项时，项数越多，越逼近全逼近原函数，当选用有限项时，项数越多，越逼近原函数。原函数。1110)sin()cos()(nnntnbtnaatfN1110)sin()cos()(nnnNtnbtnaatS取傅立叶级数的前取傅立叶级数的前2N+12N+1项项用前用前2N+12N+1项逼近引起的误差为：项逼近引起的误差为： )()(tStftNN方均误差为：方均误差为： NnnnTttNNNbaatfdt

11、tTtE12202221)(21)()(1100当当N趋近于无穷大，趋近于无穷大，SN趋近趋近f(t)当当f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部，所以波跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部，所以波形变化越激烈，高频分量越丰富形变化越激烈，高频分量越丰富信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化，信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化，则波形失真。则波形失真。吉布斯现象吉布斯现象当选取傅立叶有限项级数的项数越多，在所合成的当选取傅立叶有限项级数的项数越多，在所合成的波形波形S SN N中出现的峰起越靠近中出现的

12、峰起越靠近f f（t t）的不连续点，当）的不连续点，当所取所取N N很大时，该峰起趋近于一个常数，大约等于总很大时，该峰起趋近于一个常数，大约等于总跳变值的跳变值的9 9，并从不连续点开始以起伏振荡的形式，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象称为吉布斯现象（逐渐衰减下去，这种现象称为吉布斯现象（GibbsGibbs）。）。110)cos(2)(nnntnCatf其中：其中：C Cn n代表代表n n次谐波的振幅，称振幅频谱。次谐波的振幅，称振幅频谱。 n n代表代表n n次谐波的初相位，称相位频谱。次谐波的初相位，称相位频谱。为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期为了

13、表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号的各次谐波的分布图，这种图形称为信号的频信号的各次谐波的分布图，这种图形称为信号的频谱。它是信号频域表示的一种方法。谱。它是信号频域表示的一种方法。3.3 3.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱振幅频谱：描述各次谐波振幅与频率的关系图振幅频谱：描述各次谐波振幅与频率的关系图相位频谱：描述各次谐波相位与频率的关系图相位频谱：描述各次谐波相位与频率的关系图（一）周期矩形脉冲信号（一）周期矩形脉冲信号 0)(Etf22 t2222TtandtT Ef(t)2 2TTt2T要研究要研究f(t)f(t)的频谱，首先要求的频谱，首先要求f(t) f(t)

14、的傅立叶级数的系的傅立叶级数的系数。数。、三角形式的傅立叶级数、三角形式的傅立叶级数单边频谱单边频谱f(t)是偶函数，所以是偶函数，所以0 nbTEEdtTdttfTaTT22221)(120 221cos)(2TTtdtntfTan 222cos2 tdtTnETan |222sin22 tTnnTTE TnnEsin2 )(2 TnSaTE )2(21 nSaTE 三角形式的傅立叶级数为：三角形式的傅立叶级数为： 111cos)2(2)(ntnnSaTETEtf TEa20此时，此时，)2(2122nSaTEabaCnnnn0 nnnabtg 0n0 na0 将各谐波分量的幅度和相位用垂直

15、线段在频率轴的相将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标出，即信号的频谱图。应位置上标出，即信号的频谱图。Cn 01 2 4TE 2TE n 0 4 0n0 na0 CnTE 2 01 2 4也可以将频谱和相位谱合在一幅图上。这种画法只也可以将频谱和相位谱合在一幅图上。这种画法只有有C Cn n为实数时才可能。为实数时才可能。2、指数形式的傅立叶级数、指数形式的傅立叶级数双边频谱双边频谱dtEeTctjnn 2211 )2(1 nSaTE ntjnenSaTEtf1)2()(1 cn 01 2 4TE 2 单边频谱与双边频谱比较：单边频谱与双边频谱比较：单边：每一谱线代表某一分

16、量的幅度单边：每一谱线代表某一分量的幅度双边：谱线在原点两侧对称分布，且谱线长度减小一双边：谱线在原点两侧对称分布，且谱线长度减小一半，（每一频率谱线正负各一半）半，（每一频率谱线正负各一半）cn 01 2 4TE 2 An 01 2 4TE 2TE njnneC3、周期矩形脉冲的频谱特点、周期矩形脉冲的频谱特点离散性：周期矩形脉冲的频谱是离散的线状频谱离散性：周期矩形脉冲的频谱是离散的线状频谱cn 01 2 4TE 2 谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率 1（等（等于于2 /T）的整数倍。谱线间隔）的整数倍。谱线间隔 1与与T成反比。成反比。收敛性：

17、谱线幅度随收敛性：谱线幅度随n而衰减到零。而衰减到零。包络线：各谱线的幅度包络线按抽样函数包络线：各谱线的幅度包络线按抽样函数 Sa(n 1 /2)的规律变化。的规律变化。cn 01 2 4TE 2 占有频带宽度：占有频带宽度：周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，但它的能量主周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，但它的能量主要集中在第一零点以内。把要集中在第一零点以内。把 =02 / 这段频率范围称这段频率范围称为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作 2 B 1 fB或或上式说明：信号的占有频带宽度上式说明：信号的占有频带宽度B与时宽与时宽 成成 反比反比cn 01 2

18、 4TE 2 例：若余弦信号为例：若余弦信号为Ecos 1t，其中，其中 1=2 /T， 则全波余弦信号则全波余弦信号f(t)为为tEtf1cos)(2T2T0)(tft求求f(t)的傅立叶级数的傅立叶级数解：如图，解：如图，f(t)为偶函数，则为偶函数，则0nbf(t)的周期为：的周期为：20TT 基频基频：102（二）周期全波余弦信号（二）周期全波余弦信号2020)(200TTdttfTa20010cos4TtdtET200002cos4TtdtETE4202000cos)(2TTtdtntfTan200000cos2cos4TtdtntET（二）周期全波余弦信号（二）周期全波余弦信号)2sin() 12(2)2sin() 12(2nnEnnE)14(4)1(21nEa