《固体物理》课件：ssp105

1、1.10 布里渊区布里渊区一、布里渊区一、布里渊区布里渊区是在倒格子空间中划分的一些区布里渊区是在倒格子空间中划分的一些区域，这些区域对于研究晶体的振动，晶体中域，这些区域对于研究晶体的振动，晶体中电子的运动特别重要。以劳厄方程为出发点电子的运动特别重要。以劳厄方程为出发点说明布里渊区。说明布里渊区。0220hhKKkkKkh0hKkk020220kkKkhhhhhhKKKkKKk2121020hK也是倒格矢，所以也是倒格矢，所以hK不同的末端决定了一平面，该平面的法线方向为不同的末端决定了一平面，该平面的法线方向为面间距为。面间距为。对于该平面，从原点到该平面的任意矢量必定满对于该平面，从原

2、点到该平面的任意矢量必定满足衍射条件。这样做出的平面构成了一个区域的边界，足衍射条件。这样做出的平面构成了一个区域的边界，当一束当一束x射线入射到晶体上时，如果其波矢落在该平射线入射到晶体上时，如果其波矢落在该平面上，将产生衍射。面上，将产生衍射。 布里渊区布里渊区:倒格子空间中各倒格矢的中垂面所分割形成倒格子空间中各倒格矢的中垂面所分割形成的各个区域的各个区域布里渊区的做法：布里渊区的做法：先求出格子的倒格子，根据倒格子先求出格子的倒格子，根据倒格子基矢判断倒格子点阵类型，再从倒格子点阵的原点出基矢判断倒格子点阵类型，再从倒格子点阵的原点出发，作出它最紧邻的倒格子点阵矢量，并做出每个矢发，作

3、出它最紧邻的倒格子点阵矢量，并做出每个矢量的垂直平分面，所围成的具有最小体积的区域称为量的垂直平分面，所围成的具有最小体积的区域称为第一布里渊区，可以继续做出第二、第三第一布里渊区，可以继续做出第二、第三布里渊区。布里渊区。0khK210k二、晶格点阵的布里源区二、晶格点阵的布里源区1.一维晶格点阵的布里源区一维晶格点阵的布里源区211bai aa 1iab21Oa2a2a4a4a6a62. 二维正方格子的布里源区二维正方格子的布里源区i aa 1jaa 22jibaiab21jab223. 简单立方结构的布里源区简单立方结构的布里源区i aa 1jaa 2kaa 3kabjabiaaakji

4、aaab22200002)(2323321其倒格子仍为简立方结构，离原点最近的六个倒格点的其倒格子仍为简立方结构，离原点最近的六个倒格点的倒格矢分别为倒格矢分别为321,bbb33)2(a4. 体心立方结构的布里源区体心立方结构的布里源区)(2)(2)(2321jiabikabkjab)(2)(212kjiacbaa)(2)(211kjiacbaa)(2)(213kjiacbaa)(211111142/2)(2/2233231kjakjiaaaaab体心立方的倒格子为体心立方的倒格子为面心立方面心立方倒格子的晶格常数为倒格子的晶格常数为xyzXz平面内a4菱形十二面体菱形十二面体zyx面心立方

5、结构的布里源区面心立方结构的布里源区)(2)(211kjacba)(2)(212ikaaca)(2)(213jiabaa4011101110833321aaaaa)(2)(2)(201110144/2)(4/232233231kjiabkjiabkjiakjiaaaaab33321)2(4111111111)2(*3aabbb面心立方结构的倒格子为面心立方结构的倒格子为体心立方体心立方离原点最近的格点有离原点最近的格点有8个个倒格子点阵晶格常数为倒格子点阵晶格常数为a4面心立方结构的倒格子为体心立方面心立方结构的倒格子为体心立方离原点最近的格点有离原点最近的格点有8个，其倒格矢分别个，其倒格矢

6、分别为为)(2kjiaaa34/ )34(aakjiax332)(2它们的中垂面离原点的距离为中垂面的方程为在i(j,k)轴交点坐标为a333329)3(61aa3333)2(29298aa33)2(4a每一个的体积为每一个的体积为共有共有8个，体积为个，体积为比倒格子原胞体积比倒格子原胞体积再考虑次近邻的倒再考虑次近邻的倒格点，其对应的倒格点，其对应的倒格矢分别为格矢分别为大大kajaia4,4,43)(61a333)2(21)(6138aa333333)2(4)2(21)2(29aaa第一布里源区为截角八面体十四面体，这样选取的原胞称为第一布里源区为截角八面体十四面体，这样选取的原胞称为维

7、格纳赛兹原胞维格纳赛兹原胞1.11 原子散射因子几何结构因子原子散射因子几何结构因子x射线在晶体中的衍射，是由于晶体中各原子中射线在晶体中的衍射，是由于晶体中各原子中电子对电子对x射线散射射线散射的结果。的结果。各个原子的散射波各个原子的散射波在某在某些方向相干加强，而在其它方向相干相消而导致衍些方向相干加强，而在其它方向相干相消而导致衍射现象的发生。射现象的发生。 由于不同的原子中由于不同的原子中电子的数目不同电子的数目不同，电子云的分电子云的分布也不同布也不同，因而各个原子对某一方向的，因而各个原子对某一方向的x射线的散射线的散射也就不同，引进射也就不同，引进原子散射因子原子散射因子来描述

8、原子对来描述原子对x射射线的散射特性。线的散射特性。. 原子散射因子原子散射因子：原子内所有电子沿某一方向产：原子内所有电子沿某一方向产生的散射波的振幅的几何和，同某一电子在该方向生的散射波的振幅的几何和，同某一电子在该方向上产生的散射波的振幅之比。上产生的散射波的振幅之比。r0SSr是原子中是原子中P点的位矢，则点的位矢，则P点电子的散射波与原子中心点电子的散射波与原子中心处电子的散射波的位相差为处电子的散射波的位相差为rkkrsrSS)(2)(200s是两个单位矢量之差，如果不变，就确定了散射方向。是两个单位矢量之差，如果不变，就确定了散射方向。假定原子中心处的一个电子在观察点的散射波的振

9、幅为假定原子中心处的一个电子在观察点的散射波的振幅为A，其初位相为其初位相为0，则，则P点的一个电子在观察点的散射波的振幅为点的一个电子在观察点的散射波的振幅为rsiiAeAe2P0Ss电子在电子在P点的几率密度为点的几率密度为)(rdderArsi2)(则则P点附近体积元内电子的散射波在观察点的振幅点附近体积元内电子的散射波在观察点的振幅为为原子中所有电子产生的散射波在观察点的合振幅为原子中所有电子产生的散射波在观察点的合振幅为derAArsi2)(原子的散射因子可写为原子的散射因子可写为derAAsfrsi2)()(0Ss说明：说明：(1)当一定时，只依赖当一定时，只依赖于散射方向，即散射

10、因子是散射方向的函数。于散射方向，即散射因子是散射方向的函数。(2)对于不同的原子，不同，因而不同的对于不同的原子，不同，因而不同的原子具有不同的散射因子。原子具有不同的散射因子。0SSsS)(r如果原子中电子的分布是球对称的，如果原子中电子的分布是球对称的，只是只是r的函数，而与无关，引入径向分的函数，而与无关，引入径向分布函数布函数)(r)(4)(2rrruddrdrdsin2ddrdrersfsrisin)()(2cos2,rs分布函数与无关分布函数与无关drrrrudrsrisrirudrderudrderudrdrersfesrisrisri 000020cos2020cos2202

11、0cos2sin)(cos22)(21)(cos)(21sin)(21sin2)()()2(s)(sf0kk 1sin, 0rrs是是s的函数，当的函数，当0)()0(Zdrruf即沿入射方向，原子对即沿入射方向，原子对x射线散射波的振幅等于各个电子射线散射波的振幅等于各个电子散射波振幅的代数和散射波振幅的代数和二、几何结构因子二、几何结构因子如果晶体是一种原子的布喇菲格子构成的，如果晶体是一种原子的布喇菲格子构成的，则由劳厄公式或布拉格公式就可以确定衍射极则由劳厄公式或布拉格公式就可以确定衍射极大，但对于复式格子，原胞内有多个原子，此大，但对于复式格子，原胞内有多个原子，此时，一个原胞内不同

12、的原子产生的散射波之间时，一个原胞内不同的原子产生的散射波之间又会相互干涉，而使散射波振幅发生变化，而又会相互干涉，而使散射波振幅发生变化，而散射波总的振幅就散射波总的振幅就取决于原胞内各个原子的相取决于原胞内各个原子的相对位置和原子的散射因子对位置和原子的散射因子。引进几何结构因子。引进几何结构因子。 原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波振幅之比，上的振幅与一个电子的散射波振幅之比，称为称为几何结构因子几何结构因子。设设 为原胞内为原胞内t个不同原子的相对位矢，在个不同原子的相对位矢，在坐标原点处的原胞中，各个原子的散射波振幅为坐

13、标原点处的原胞中，各个原子的散射波振幅为trrr,.,21ttrsitittrsiirsiiAesfAesfAAesfAesfAAesfAesfA2. 02222 . 02111 . 0)()(.)()()()(2211位矢为的原胞位矢为的原胞中，各个原子的散射波振幅为中，各个原子的散射波振幅为332211amamamRm2)(20mhmmRKnRkkRstRrsittmRrsimRrsimAAesfAAAesfAAAesfAmtmm. 0)(2.2 . 0)(222 .1 . 0)(211 .)(.)()(21在在衍射极大方向衍射极大方向上，各原胞中对应原子的散上，各原胞中对应原子的散射波振

14、幅均相同。则散射波总振幅为射波振幅均相同。则散射波总振幅为tjrsijjefMAA12tjrsijjefsF12)(（M 是参与散射的原胞数目）是参与散射的原胞数目）称为几何结构因子称为几何结构因子因为散射波总强度正比于散射波总振幅的平方，所以因为散射波总强度正比于散射波总振幅的平方，所以2)(sFI 结晶学中选择晶胞为重复单元，上述结论仍然适结晶学中选择晶胞为重复单元，上述结论仍然适用，只是结晶学原胞中的用，只是结晶学原胞中的t个原子中可能有相同的个原子中可能有相同的原子，甚至全部为相同的原子。原子，甚至全部为相同的原子。)(20c lbkahnKnkkshcwbvaurjjjjtjlwkv

15、hunijhkljjjefF1)(22121 )(2sin )(2cos*tjjjjjtjjjjjhklhklhkllwkvhunflwkvhunfFFI三、三种常见晶体结构的衍射消光条件三、三种常见晶体结构的衍射消光条件1. 体心立方体心立方结晶学原胞内含有两个原子，其坐标分别为结晶学原胞内含有两个原子，其坐标分别为(0,0,0) ，(1/2,1/2,1/2)22)(sin)(cos1 (*lkhnflkhnfFFIhklhklhkl对于对于n(h+k+l)为偶数时，为偶数时，24 fIhkl对于对于n(h+k+l)为奇数时，反射消光。为奇数时，反射消光。衍射面指数之和为奇数时，反射消光。衍

16、射面指数之和为奇数时，反射消光。0hklI2222)(sin)(sin)(sin)(cos)(cos)(cos1 *hlnlknkhnfhlnlknkhnfFFIhklhklhkl2. 面心立方面心立方结晶学原胞中有四个原子，坐标为结晶学原胞中有四个原子，坐标为(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0,1/2,1/2)衍射面指数衍射面指数nh,nk,nl中部分为奇数，部分为偶数时衍射消失。中部分为奇数，部分为偶数时衍射消失。3. 金刚石结构金刚石结构结晶学原胞中有八个原子，坐标为结晶学原胞中有八个原子，坐标为(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0,1/2,1/2) (1/4,1/4,1/4) (3/4,3/4,1/4) (3/4,1/4,3/4) (1/4,3/4,3/4)2222)33(2sin)33(2sin)33(2sin)(