线性代数习题答案

1、习题1-11计算下列二阶行列式：（1）； （2）解 （1） （2）2计算下列三阶行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）原式（2）原式（3）原式（4）原式 3证明下列等式：证明 4用行列式解下列方程组：（1） ； （2）解 （1），所以，（2），；所以，习题1-21按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）是标准排列，其逆序数为0；（2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4（3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5（4）逆序有（2 1），

2、（4 1），（4 3），所以逆序数为3（5）逆序有（3 2） 1个（5 2），（5 4） 2个（7 2），（7 4），（7 6） 3个（ 2），（ 4），（ 6），（ ） 个所以逆序数为（6）逆序有（3 2） 1个（5 2），（5 4） 2个 （ 2），（ 4），（ 6），（ ） 个（4 2） 1个（6 2），（6 4） 2个（ 2），（ 4），（ 6），（ ） 个所以逆序数为2写出四阶行列式中含有因子的项解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或，所以和为所求.3在5阶行列式展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）； （

3、2）；（3）； （4）解 （1）因，所以前面带“-”号（2）因，所以前面带“-”号（3）因，所以前面带“+”号（4) 因，所以前面带“-”号4若阶行列式中元素均为整数，则必为整数这一结论对吗？为什么？解 这一结论正确，因整数经乘法运算后仍为整数，而为元素的乘法的代数和，因此结果仍为整数5证明：若阶行列式中有个以上的元素为零，则该行列式值为零证明 因阶行列式中有个元素，而有个以上元素为零，故不为零的元素的个数小于从而，在行列式展开式中的个元素的乘积项中至少有一个元素为零，所以乘积为零，代数和也为零，故该行列式的值为零6用行列式定义计算下列行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）在展开

4、式中，不为的项取自于，而，所以行列式值为（2）在展开式中，取，则取为，则，取为，除此之外的项均为即行列式，而 ，所以 （3）在展开式中，不为的项取为，而 ，所以 （4）在展开式中，不为的项取而，所以 习题1-31设，据此计算下列行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）；（2），当时，结论仍成立（3） （4） 2用行列式性质计算下列行列式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解 （1）（2）（3）（4） （5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以 （6）3把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：（1）； （2）解： （1）（2） 4用行列式性质证明下

5、列等式：（1）；（2）；（3）证明 （1） 右边（2）左边右边（3）左边5计算下列阶行列式：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）解 （1）（2）（3） （4）（5）6解下列方程：（1）；（2）解 （1）因所以解为，（2）因左边，所以解为习题1-41求行列式中元素3和4的余子式和代数余子式解 3的余子式，3的代数余子式4的余子式，4的代数余子式2已知，求解：因为，所以 3已知四阶行列式的第行元素依次为，它们的余子式依次为，求行列式解 将行列式按第三行元素降阶展开，有4设四阶行列式的第二行元素依次为，其余子式分别为，第三行的各元素的代数余子式分别为，求此行列式解 因，即，所以 从而 5按第三行

6、展开并计算下列行列式：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式= 6证明下列各等式：（1）；（2）；（3）证明 （1）左边右边（2）方法一 左边=方法二 记，构造矩阵，则是范德蒙德行列式，其结果为，其中的系数为由行列式的降阶展开法则知，其中的系数，所以有，即（3） 用数学归纳法证明当时，命题成立假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.7计算下列各行列式：（1）； （2）；（3）；（4）解（1）原式（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有（3）由范德蒙德行列式的结果知， （4）依次按第行降阶展开，有8计算下列各行列式（为阶行列式）：(1)；(2)；(3)，其中；(4)，其中；

7、(5)；（提示：利用范德蒙德行列式的结果）(6)，其中未写出的元素都是解（1）按第列降阶展开，有（2）（3）（4）（其中）（5）对第行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第行，共需交换次再把新的第行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第行，共需交换次依次类推，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式（6），由此得递推公式，所以，而，所以习题1-51用克拉默法则解下列方程组：（1）；（2）；（3）解（1）， ， ，由克拉默法则知，方程组的解为，（2）， ， ，；由克拉默法则知，方程组的解为，（3）， ，由克拉默法则知，方程组的解为，2设曲线通过四点，求系数解由于曲线过四点，所以有而，所以，3证明：对任意实数，线性方程