线性系统的状态空间分析与综合习题

1、第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为，；。 设状态变量，输出量，试建立其动态方程； 设状态变量，输出量，试建立其动态方程； 设，确定两组状态变量间的变换矩阵。解： 由传递函数得 ，动态方程为，其中； 由微分方程得，即 ，其中 ； 由两组状态变量的定义，直接得到。9-2 设系统的微分方程为其中为输入量，为输出量。 设状态变量，试列写动态方程； 设状态变换，试确定变换矩阵及变换后的动态方程。解： ，； ，；，；得，；，。9-3 设系统的微分方程为其中、分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即为友矩阵)及可观标准型(即为友矩阵转置)状态空

2、间表达式，并画出状态变量图。解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，；6611s-1s-1s-16-y6116s-1s-1s-16-y-可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-4 已知系统结构图如图所示，其状态变量为、。试求动态方程，并画出状态变量图。sX1(s)=Y(s)X2(s)X3(s)-U(s)解：由图中信号关系得，。动态方程为，；状态变量图为-y-32s-12s-1s-139-5 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程，写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。解：状态方程 ，；状态变量图为2s-1s-1s-16211-y1u2y2-u1x2x3-9-6 已知系统传递函数

3、为，试求出可控标准型(为友矩阵)、可观标准型(为友矩阵转置)、对角型(为对角阵)动态方程。解：；可控标准型、可观标准型和对角型依次为；。9-7 已知系统传递函数为，试求约当型(为约当阵)动态方程。解：；，。9-8 已知矩阵,试求的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将约当化。解：特征方程，即；特征值、；特征向量依次对应矩阵的列，所求变换矩阵为；。9-9 已知矩阵，试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。解：幂级数法求解，；拉普拉斯变换法求解，；。9-10 求下列状态方程的解：。解：，得到 。9-11 已知系统的状态方程为，初始条件为，。试求系统在单位阶跃输入作用下的响

4、应。解法1：；。解法2：；。9-12 已知系统的状态转移矩阵，试求该系统的状态阵。解：。(注：原题给出的不满足及。)9-13 已知系统动态方程，试求传递函数。解：，；。9-14 试求所示系统的传递函数矩阵。，。解：；。9-15 已知差分方程，试列写可控标准型(为友矩阵)离散动态方程，并求出时的系统响应。给定，。解：系统的脉冲传递函数为，；，。；。9-16 已知连续系统动态方程为，设采样周期，试求离散化动态方程。解：设，；，；，；，。9-17 判断下列系统的状态可控性： ； ； ； ； ； 。解： ，；状态不完全可控； ，；状态不完全可控； ，；状态完全可控； ，；状态不完全可控； ，；状态不完

5、全可控； ，；状态完全可控；9-18 已知，试计算？解：矩阵的特征方程为 ， 据凯莱哈密尔定理得知：，；。9-19 设系统状态方程为，且状态完全可控。试求、。解：，只需。9-20 设系统传递函数为，且状态完全可控。试求。解：可控标准型实现的系统，无论取何值，系统状态完全可控。在可观标准型实现中，；， ；只需、且。注：由分子和分母的多项式互质条件，同样得到。9-21 判断下列系统的输出可控性： ，。 ，；解：输出可控性判别矩阵。 ，系统的输出不可控。 ，系统的输出可控；9-22 判断下列系统的可观测性：，； ，；，；，。解：应用可观测性判别矩阵。 ，；系统完全可观测； ，； 系统完全可观测； ，

6、；系统完全可观测； ，；系统不完全可观测；9-23 试确定使下列系统可观测的、：，。解：，只需。9-24 已知系统各矩阵为，试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。解：，传递函数矩阵为 ；，；，；该实现是完全可控且完全可观测的。9-25 将下列状态方程化为可控标准型。解： ；，；，；，； 。注：若不要求计算变换矩阵，可根据特征多项式直接列写可控标准型。9-26 已知系统传递函数为,试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。解：系统传递函数的分子和分母多项式中有公因式，任何2维动态方程不可能是既完全可控又完全可观测的。可控不可观测动态方程 ，；可观测不可控动态方程 ，；

7、不可控不可观测动态方程 ，。9-27 已知系统各矩阵为，试求可控子系统、不可控子系统的态方程。解：，；，；选取，；，；可控子系统动态方程：，；不可控子系统动态方程：，。9-28 系统各矩阵同习题9-27，试求可观测子系统、不可观测子系统的态方程。解：，；初等变换成，选取变换矩阵，；，；不可观测子系统动态方程：。可观测子系统动态方程：，；9-29 设被控系统状态方程为，可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈矩阵，使闭环极点位于，并画出状态变量图。解：，系统完全可控，可用状态反馈任意配置闭环极点。期望的特征多项式为 ；待定参数特征多项式为 ；解得， 。状态变量图如下：r102.11.2-10s

8、-1s-1s-14-9-30 设被控系统动态方程为，试设计全维状态观测器，使其闭环极点位于，并画出状态变量图。解：期望的观测器特征多项式为 ；待定系数的特征多项式为 ；ys-1s-1-s-1s-13r2r2；，。状态变量图如右图所示。9-31 设被控系统动态方程为，试检查被控系统的可控性、可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于， ，并画出状态变量图。解：，可控性判别矩阵满秩；动态方程是可观测标准型； 被控系统是完全可控且完全可观测的；期望的特征多项式为 ；选取状态反馈矩阵 ；则待定参数特征多项式为解得 ；构造全维状态观测器，其极点选为；则，；即；，；r1s-1s-1s-1311030

9、-z3z1z2u1u222-35s-1s-1s-1-y-311030k3k2k1-r2-9-32 已知系统的传递函数为，能否利用状态反馈将传递函数变成。若有可能，求出一个满足要求的状态反馈阵，并画出状态变量图。(提示：状态反馈不改变原传递函数零点。)解：系统能控规范形是完全可控的，完全可控系统可利用状态反馈任意配置闭环极点。将闭环极点配置在上，即可满足要求。取 ；原系统和状态反馈系统的状态实现分别为：；即，；解得：。s-1s-1s-1226518215-y-x3x2x1ur9-33 已知系统动态方程各矩阵为，试检查可观测性，设计维观测器，并使所有极点配置在。解：，；，该系统完全能观；选取变换矩阵， ；则 ；，；，；解得，；维观测器方程如下：，。9-34 试用李亚普诺夫第二法判断下列系统平衡态的稳定性：，。解： 李亚普诺夫方程，其中系统矩阵为 ；取，；解得 ，系统的平衡态是渐近稳定的；（或采用李亚普诺夫方程，解得 。）9-35 已知系统的状态方程为，当时，？若选为半正定矩阵，？对应？判断系统稳定性。解：系统稳定性与所选取的矩阵无关。当时，由李亚普诺夫方程得到，解得 ，由，即