第六章 定积分

1、 第六章 定积分前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题-不定积分。这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分.本章的主要问题有: 1.什么是定积分?2.定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系?4.如何计算定积分和应用定积分?6.1+6.3 定积分的概念与基本性质主要教学内容:(1) 引出定积分概念的例子; (2) 定积分的概念;(3) 定积分的几何意义;（4）定积分的基本性质；教学目的及要求: 使学生理解定积分的定义与基本性质;重点难点及解决措施: 重点、难点: 连续变量的累积，定积分的性质; 解决措施:用具体实例帮助学生理解抽象的概念.教学方法及手段

2、设计:讲授法一、引出定积分概念的例子1.曲边梯形的面积定义；在直角坐标系中,由一条连续曲线y=(x)和三条直线x = a、x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图AabBA (与直边梯形AabB的区别) 。问题：当y = (x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间a, b来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大;从区间a, b的一个局部(小区间)来看,它也是一个变量;但因(x)连续, 从而当x 0时, y0,故可

3、将此区间的高近似看为一个常量,从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积. 因而,如果把区间a, b任意地划分为n个小区间,并在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.要想得精确值, 只需区间a, b的分法无限细密(即每个小区间的长度x 0时, 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值.从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:第一步：分割；用分点=b将区间a,b任意地划分为n个小区间，每个小区间的长度为，过每个分点作垂

4、直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形。 第二步：近似、求和；小矩形面积小曲边梯形面积 ，。第三步：求极限。记各小区间的最大长度为，当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即2.变速直线运动的路程设物体的运动速度为v=v(t),求物体在时间区间a,b内运动的距离s.第一步：分割；用分点=b将区间a,b任意地划分为n个小区间，每个小区间的长度为，第二步：近似、求和；在区间上任取一时刻，将物体看成在时间内以作匀速直线运动，即 第三步：求极限。记各小区间的最大长度为，当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 对上述和式取极限就得物体在时间区间a,b内运动

5、的距离s.即上述两个问题都归结为同一结构的和的极限，我们抽象出它的一般形式进行讨论，就得到定积分的概念。二、定积分的概念1.定积分的定义 ：（定义6.1 p232）设(x)在a, b上有定义, 点=b将区间a, b任意地划分为n个小区间; 每个小区间的长度为,在每个小区间上任取一点作和式,若当时,有确定的极限值 I, 且 I 与区间a, b的分法和的取法无关,则称函数(x)在区间a, b上可积,并称此极限值I为(x)在区间a, b上的定积分, 记为, 即。其中(x)为被积函数, (x)d x称为被积表达式, x 称为积分变量, a称为积分下限, b称为积分上限, a, b称为积分区间,称为积分

6、和。2.上述两个引例的定积分表示（1）曲边梯形的面积：（2）变速直线运动的路程3.注意（1）.反之不能推出。极限过程 ,既保证了分点个数无限增多(),又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0).（2）定积分的存在性(充分条件)i若(x)在区间a, b 上无界, 则(x)在a, b上必不可积.ii.若(x)在区间a, b上连续, 则(x)在a, b上可积.iii.若(x)在区间a, b上有界且只有有限个间断点,则(x)在a, b上可积.（3）若(x)在区间a, b上可积,则定积分是一常数,它只与被积函数、积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即（4）规定 特别地，(5) (x

7、)在区间a, b上可积的充要条件是极限（常数）,且此极限值与a, b的分法和的取法无关,因此,对于可积函数(x),若要用定义来计算，则可选择较为方便的区间分法（等分区间）和的取法（左（或右）端点）,使得计算简便。例1利用定积分定义计算定积分.解 因(x)=2x+3 在 0, 4 上连续, 故它在a,b上可积, 从而可将区间0, 4 特殊划分并特殊取点.不妨在区间0, 4 内插入 n 个等分点分成 n 个小区间, 取右端点为 ,且故三、定积分的几何意义当且ab时, 定积分 表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积。当且 a b时, 定积分表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的面积的相反数.当(x)在a

8、, b上有正有负时, 定积分的值就是 x 轴上方的曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积的代数和.四、定积分的基本性质 性质1：；性质2：推广（线性性质）：性质3（可加性）：对任意c,有推广：性质4：若，且，则推论1：推论2：性质5：若f(x)=1,则性质6：若，则几何意义：区间a, b上方以曲线 y =(x)为曲边的曲边梯形的面积，介于以a,b为底、 以被积函数(x)的最小值m及最大值M为高的两个矩形的面积之间. 性质7：（积分中值定理）设，则在上至少存在一点，使得几何意义：区间a ,b上方以曲线 y =(x)为曲边的曲边梯形的面积,等于以区间a, b为底、以() 为高的这个矩形的面积

9、称为(x)在a, b上的平均值。例 试比较下列各组中定积分之大小（1）；（2）；作业 p266 2 (3)(4)、3（2） 6.4定积分与不定积分的关系 主要教学内容:(1) 变上限的积分及其导数; (2) 微积分基本公式;教学目的及要求: 使学生理解变上限的积分的概念，掌握其导数的求解方法,，熟练掌握用微积分基本公式求不定积分;重点难点及解决措施: 重点: 微积分基本公式; 难点: 变上限的积分及其导数;解决措施:用具体实例帮助学生理解.教学方法及手段设计:讲授法一、变限的积分函数1、变上限积分函数:在区间,上连续，区间,上的任意一点, 因为在区间,上连续，则在区间,连续，即在区间,上的定积

10、分一定存在，即存在，当变化时，也变化，因此，它是定义在,上的函数，记为 ,，称为变上限函数或称为积分上限函数。2、变上限积分函数的性质定理6.1：设函数，则变上限积分可导，且其导数为证明：见教材p2393、原函数存在定理定理6.2：若函数f(x)在a,b上连续，则变上限积分是在a,b上的一个原函数。推论1 若(x)在a, b上连续, j(x)在a, b上可导, 则推论2 若(x)在a, b上连续, 在a, b上可导, 则例1求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）例2 求极限； 课堂练习： P268 8题二、牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）定理6.3：设函数，函数是的一个原函数，

11、则证明：也是f(x)的一个原函数。故，求出c=-F(a)即可证明。见教材p241牛顿莱布尼兹公式当然也可写作它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法,而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系例3求下列定积分1.; 2; 3. 例4. (见教材p242例5)例5设在0，1上连续，且满足，求及。解： 因此，注意:若f(x)在a,b上不可积,则定理6.3不可用,例如,函数f(x)=在x=0处不连续.课堂练习： 已知，求 （=1/5）三、小结掌握变限积分函数的导数以及牛顿莱布尼兹公式求定积分的求解方法；并注意其使用条件与带有绝对值的定积分的计算。 作业 p266 4 (3) (4)、5（10

12、）（12）（14）、 9 6.5+6.6定积分的换元积分法与分部积分法主要教学内容:(1) 定积分的换元积分法; (2) 定积分的分步积分法;教学目的及要求: 使学生掌握定积分的性质;重点难点及解决措施: 重点: 熟练运用换元积分法与分步积分法; 难点: 灵活运用换元积分法与分步积分法;解决措施:用具体实例帮助学生理解抽象的概念.教学方法及手段设计:讲授法由牛顿莱布尼兹公式知:计算定积分的关键在于求出(x)在a, b上的一个原函数F(x); 而由第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几种方法来计算定积分 一.凑微分法因用凑微分法计算

13、不定积分时自始至终没有引入新变量,故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改变积分限.下面举例说明例1 求二.换元积分法定积分的换元公式：设(x)在a, b上连续, 令 x =j(t) 如果(1) j(t)在,上单调连续且具有连续导数(2) j()= a, j()= b, 则 证明在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:(1) 所选择的代换式x=j(t)必须满足定理中的两个条件;(2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;(3) 求出的一个原函数后,不必象求不定积分那样把 j(t)还原成x的函数,而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可.例2.求下列积分（1） （

14、=1/6） ；（2） （=3ln3）例3求 (=)例4证明：（1）若，且为偶函数，则（2）若，且为奇函数 ，则。利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算。例5 求下列定积分 1.； 2. 课堂练习：(1)（）；(2)（）；(3) （）三.分部积分法设u=u(x)与v=v(x)在a,b上有连续导数，则注意：（1）（2）用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故在计算过程中自始至终均不变限,u 、 v的选择与不定积分的分部积分法相同.例7求下列定积分1、 ；2、；3、 课堂练习：(1) ；(2) ；（3）解1：原式 例8设在0，1上连续，且，求.解：五、小结 1注意定积分的换元

15、积分公式以及换元一定要换限；2注意定积分的分部积分公式以及u、v的选择原则。作业 p266 6（3）（7）（10）、7（3）（6）（8）、13 6.7 定积分的应用 主要教学内容:(1) 平面图形的面积; (2) 立体的体积;（3）经济应用；教学目的及要求: 使学生掌握用定积分求平面图形的面积和立体的体积;会用定积分解决经济问题;重点难点及解决措施: 重点: 定积分在几何与经济上的应用；难点: 平行截面面积为已知的立体的体积；解决措施:用具体实例帮助学生理解.教学方法及手段设计:讲授法定积分的应用极其广泛, 以下仅介绍它在几何与经济上的应用一、平面图形的面积1. 曲边梯形的面积由定积分的几何意

16、义知：当且ab时,定积分 表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积。当f（x）0且 a o时， （2）当f（x）0时，； （3）当f(x)在a,b上有正有负时,类似地，x=(y)，y=c，y=d及y轴所围成的曲边梯形的面积公式为：2.一般平面图形的面积求由曲线所围成之平面图形的面积例1 求椭圆所围成的图形的面积例2计算抛物线，所围成的图形的面积（选择为积分变量）。解：为了定出图形的所在范围, 应先求出抛物线和直线的交点，为此, 解方程组即这两条抛物线的交点为 (2, -2) 及 (8, 4)。从而知道这图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。取 y 为积分变量,且 y -2, 4, 则思

17、考: 若选 x 为积分变量，应该如何做? 请同学们课后自己作一下.例3 求曲线、与直线所围成的图形的面积。例4 求曲线在区间（0，4）内的一条切线，使该切线与直线、及轴所围成的梯形面积最小。解：设切点坐标为，切线为：且，因此，所围平面图形的面积为： ，令得唯一驻点，而 ，故是唯一极小值点，也就是最小值点。 所以，所求切线方程为：二、立体的体积1.旋转体体积设一立体是由连续曲线y =(x) 、 直线x = a 、 直线x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的.下面来求它的体积.（1）分割；用分点=b将区间a,b任意地划分为n个小区间，每个小区间的长度为，过每个分点作垂直于x轴

18、的直线, 将旋转体分成 n 个小旋转体（2）近似、求和；将小旋转体近似看成以底半径为高为的直圆柱,则 ， 。（3）求极限。记各小区间的最大长度为，当分点数n无限增大且各小区间的最大长度， 对上述和式取极限就得旋转体的体积为类似地, 由曲线 x =(y) 、 直线 y = c 、 = d(cd)与y 轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 一般地, 由连续曲线 y =(x) 、 y =g(x) 和直线 x = a 、x = b所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积为例5求由曲线和 x=1，y=0所围成的图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积。解： 例6求曲线与直线、围成的平

19、面图形分别绕、轴旋转一周所得旋转体的体积。解： 2.平行截面面积为已知的立体的体积设某立体被夹在过x轴上的点 x = a 与 x = b 并垂直于 x 轴的两平面之间, 对应于a,b上的任意点x处垂直于 x 轴的截面面积 S(x) 是 x 的连续函数, 则此问题的体积为： 类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点 y = c 与 y = d并垂直于 y 轴的两平面之间, 在c, d上的任意点 y处垂直于 y 轴的截面面积 S(y) 是y的连续函数, 则立体的体积为： 例7一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并且与底面交成角，计算这个平面截圆柱体所得立体的体积。解：建立如图所示的坐标系, 从而底面

20、圆的方程为 设x为R,R上之任意一点,过该点且垂直 x 轴的截面面积为S(x),则由三角形的面积公式, 有, 则所得立体的体积为：三、.经济应用在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量.这些总量,在一定条件下,也可用定积分来进行计算.（已知边际(变化率), 求总量.）若总量P(t)在某区间I上可导, 且a, xI, 则有在上式中,当x为产量且a = 0时,只要将P(x)代之以总成本C(x)、总收益R(x)、总利润L(x), 则有例8 教材p252例2 例9 设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量x(单位: 百台)的函数总收入R(单位:万元)的边际收入 是产量 x 的函数(1)求产

21、量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加多少?(2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、总利润与产量 x 的函数关系式;(3)产量为多少时, 总利润最大; 并求此时的最大总利润,总成本及总收益各为多少?四、小结求平面图形的面积的步骤.注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算作业 p268-269 15 (3) (5) (9) (11)、16 、17 (2) (3)、19、206.9广义积分与函数 主要教学内容:(1) 无限区间上的积分(无穷积分; (2) 无界函数的积分;（3）函数教学目的及要求: 使学生理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算;重点难点及解决措施: 重点: 利用广义积分的定义计算; 难点: 概念产生的背景；解决措施:用具体实例帮助学生理解抽象的概念.教学方法及手段设计:讲授法前面讨论的定积分不仅要求积分区间a, b有限,而且还要求被积函数(x)在a ,b上有界. 然而实际还经常遇到无限区间或无界函数的积分问题.这两类积分统称为广义积分. 其中前者称为无穷积分, 后者称为瑕积