第二章：初等模型习题解答

1、1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（g） 心率（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马 25 670 200 420 2000 2055000 12030000 8550000 7070000 72450000 38解：动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，则。正比于血流量，而，其中是动物每次心跳泵出的血流量，为心率。合理地假设与成正比，于是。综上可得，或。由所给数据估计得，将实际数据与模型结果比

2、较如下表： 动物 实际心率（次/分） 模型结果（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马 670 715 420 375205 166120 12285 6770 5772 5138 272 题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量756 482 1162 737 482 1389 652 454胸围24.8 21.3 27.9 24

3、.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析 本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设 设鱼的重量为； 语的身长记为；模型的构成与求解 因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即，为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等

4、看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：=0.0146，=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计

5、它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。 3 题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f、摆长l、质量m、重力加速度g、周期t。分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以f的量纲与v 的量纲相同f=v=LT,t=T,m=M;g=LT,l=L。设这些物理量之间的关系

6、为：,因此量纲表达为：把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：按照量纲齐次原则应有最后解得：作物理模拟的比例模型时，设和 不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：那么只要就有4 题目： 小球做竖直上抛运动：质量为的小球以速度竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数。设初始位置为=0，轴竖直向上，则运动方程为：m+k+mg=0,x(0)=0,（0）= ，方程的解可表为=(;,).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论很小时求近似解的可能性 建模与解题：注意到=t,(1)选取特征尺度=m,=,则方程化为+1=0，（0）=0，（0）=（1） 其中=/，解可表示为=（；）。很小时很小，（1）无解。

7、（2）选取=， =，则+1=0，（0）=0，（0）=1同上，表达式同上。但当很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近似解。 5 录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型二、模型假设：1）录象带的线速度是常数；2）计数器的读数与右轮盘转的圈数（记作）成正比，为比例系数；3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数，空右轮盘半径为;4)初始时刻=0时=0; 三、建立模型：当右轮盘转到第圈时其半径为，周长为2*(r+w*i)，m圈的总

8、长度恰等于录象带转过的长度，即：四、模型求解：因为m=k*n有: 推出：考虑w<<r所以有推出：我们可以应用Mathematica编程求解，程序如下：Slove*(,结果为:*6 问 题：质量为的小球以速度竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为，设初始位置为轴竖直向上，则运动方程为 方程的解可表示为。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论很小时求近似解的可能性。问题分析：所谓无量纲化是指：对于变量和分别构造具有相同量纲的参数组合和，使新变量 为无量纲量。称为特征长度，称为特征时间。统称特征尺度或参考尺度。问题求解：可以选取以下两种尺度将问题无量纲化（1） 选取尺度，则方程化为 （

9、1）其中，解可以表示为。很小时（1）无解。（2） 选取尺度，则方程化为 （2）其中，解可以表示为。很小时（2）有解。它是原问题忽略阻力时的近似解。结 果：原问题忽略阻力时运动方程为 （3） 解方程（3）可得： 7 题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量756 482 1162 737 482 1389 652 454胸围24.

10、8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设 设鱼的重量为； 语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即，为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型

11、，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：=0.0146，=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同

12、的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。8 题目. 雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。解: 一 符号说明设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的特征尺寸L，重力f1,空气阻力f2., 雨滴下降速度为v.二 问题分析与模型建立： 根据已知条件可知： mVL3 , SL2 .可得：Sm2/3 。我们知道，雨滴在重力f1和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的， 从而可以得出： f1=f2 . 又 f1m,f2Sv2 .由以上关系可以得出： vm1/6 .

13、三 结果分析： 本问题主要考察的是用量刚分析方法求速度，量刚分析是在经验和实验的基础上利用物理定理的量刚齐次原则，确定各物理量之间的关系。9 动物的体重与心率之间的关系.生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验.动 物 体重(g) 心率(次/分)田鼠家鼠兔子小狗大狗羊人马 252002000500030000500007000045000067042020512085707238解2 建立模型 动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S

14、散失，记动物体重为W，则PSW2/3。又P正比于血流量Q=qr,其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率，合理的假设q与w成正比，于是Pwr.综上可得rw-1/3,或r=k.由所给数据估计得k=2089.7,将实际数据与模型结果比较如下表：动物模型结果实际心律（心/分）田鼠715 670家鼠357 420兔 166 205小狗122 120大狗67 85羊 57 70人 51 72马 27 38由于只是粗糙的作出假设,所以拟合的并不是很好.10 题目：雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系.假设：1.雨滴是圆滑规则球体。 2.雨滴下落过程中除了

15、空气阻力和自身重力外不受其他外力 3.雨滴一旦产生，就一定会下落一直到地面 4.雨滴质量均匀，且重心位于球心 5.雨滴下落过程中重力加速度的改变可以忽略不计 6.雨滴由密度固定的单一物质组成参量、变量：雨滴半径r(cm),雨滴质量M(kg)，重力加速度g(m/s2),空气阻力F(N),圆周率，雨滴密度（kg/m3）雨滴的表面积S（m2），比例系数k,雨滴速度v(m/s)分析：应用条件：雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.根据力的平衡原理，建立等式，可求得题解。解答：第一步，求雨滴的体积。 第二步，求雨滴的质量。 第三步，求雨滴的表面积. 第四步，求空气阻力。 由空气阻力与

16、雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比 即 第五步，由力的平衡原理列等式。 由于雨滴匀速下降，所以 即即 第六步，得出结论。 11 题目 风车功率问题一、问题提出：速度为的风吹在面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析法确定风车获得的功率p与,s, 的关系。二、问题分析：风的速度越大、风车的面积越大，则风车转动的越快即：风车的功率p就越大。空气的密度是常数。三、模型假设：用量纲分析法对模型假设： 令：f(p，,s, )=0 （1）假设（1）式形如:= (2)其中y1y4是待定常数，是无量纲常数，将p，,s, 用量纲表达式可表示为： p=M1L2T-3, =M0L1T-1，s=M0L2T0, =M1L

17、-3T0。四、问题解决（M1L2T-3,）y1(M0L1T-1)y2(M0L2T0)y3(M1L-3T0)y4=( M0L0T0)即：M y1+ y4L2 y1+ y2+2 y3-3 y4T-3 y1- y2= M0L0T0由量纲齐次原则给出：y1+ y4=0 2 y1+ y2+2 y3-3 y4=0-3 y1- y2=0于是可解得：F（）=0，=p-1-3s, p=3s(其中是无量纲常数)。 12 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用与维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动

18、物体重心率（次/分）田鼠25670家鼠200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072马45000038一、 模型假设：1. 设动物消耗的能量为,动物体重为.2. 设体内热量通过表面积散失.3. 设动物的血流量为,心率为,每次心跳泵出血流量为,则.4. 设能量与血流量成正比.5. 设每次心跳泵出血流量为与动物体重成正比,.二、 模型建立与求解：正比于血流量，则每次心跳泵出血流量为q与动物体重W成正比,.综上可得： 输入MATLAB软件求解:function f=myfun(W,Wdata);F=r-k*W;rdata=670,420,205,12

19、0,85,70,72,38Wdata=25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000X0=19;10;0;x,resnorm=lsqcurvefit(myfun，x0,rdata,Wdata)k=2089.7将实际数据和模型结果比较如下：动物心率（次/分）模型结果（次/分）田鼠670715家鼠420357兔205166小狗120122大狗8567羊7057人7251马3827由于假设的粗糙，结果不够满意。13 题目用一定宽度的布条缠绕直径为的圆形管道要求。要求布条不重叠，问布条什么时是最短的，在这时的布条的夹角是应该是多大的。现在我们已经知道管的长度是，问需

20、要多长的布条。如下图我们可以看到布条和管道是有一顶的夹角的：在这里我们假设：他的长度和布条的宽度；其中他的夹角是：布条的宽为夹角为； （二）。题目分析以及模型假设：由题目知道我们可以布条的张度，于他的夹角和管道的之间是有一定的关系的，当它的缠绕的角度很好的时候就可以很节约布条。假设他的长度我们是已经知道的，为，布条的宽度是，夹角是；由上面的我们知道布条的合适宽度是w=pi*dCOSa。对应的长度是。这样就可以有布条的总的长度是：；（三）。建立模型：由题目知道以下的模型：，w=pi*dCOSa；（。）；（四）结果，以及结果的分析；将管道展开可以看到有这样的情况而且w=pi*dCOSa。如果长度是已经知道的d而且是一定的，w0，api/2。w-pi*d。a-0。如果管道的长度为L。不思考来年感端的影响是，布条的长度应该就是为pi*d*w/Sin。对于其它的就应该类似的。改变就可以拉。14 题目：动物的身长和体重 四