第二章详解(1)

1、练习 2.11.根据函数的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.解：（1）1，（2）2，（3）不存在，（4）不存在.2.设函数(1) 列表计算在点和的函数值，并估计极限.(2) 画出函数的图形，并根据函数图形检验(1)所得的极限.(3) 根据函数解析式求极限.解：（3）.3.如果有极限，则函数在处一定要有定义吗? 请归纳在点处可能出现的所有情况，并用图形表示.解：不一定.4.如果，则极限一定存在吗? 如果极限存在，是否必须？请归纳极限可能出现的所有情况，并用图形表示.解：不一定，不一定.5.设，画出函数的图形；求时，的左右极限，并判定极限是否存在.解：图略. 因为 ，所以不存在.6. 用下列

2、函数的图形求，使当时，不等式成立.（1） （2）解：（1）（2）7. 设函数， （1）求一个，使当时，；（2）求一个，使当时，；（3）设是一个任意给定的正数，求一个，使当时，.解：（1）（2） （3）.8.用语言证明 （1）； （2）； （3）； （4）；9.求下列函数在指定点的极限，如果不存在，请说明理由.（1），在处；（2），在，处；（3），在处；（4），在处.解：（1）不存在，（2），不存在，（3）不存在，（4）.解：，所以在处极限不存在.，所以在处极限为4.，所以在处极限不存在.，所以在处极限为3.（3）所以在处极限不存在.（4）因为所以10.用图形表示函数，使满足条件：(1)，(2)

3、 ， .11.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？（1）；         （2）；（3）；          （4）.解：（1），； （2），；（3），；（4），.解：当时是无穷大量，当时是无穷小量.当时是正无穷大量，当时是负无穷大量，当时是无穷小量.当时是正无穷大量，当时是无穷小量.当时是正无穷大量，当时是无穷小量.12.下列变量哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）； &#

4、160;    （2）；（3）；（4）.解：（1）（3）无穷大，（2）（4）无穷小.13.下列说法是否正确？（1）无穷大量是极限为无穷大的变量；（2）无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量；（3）无极限的数列一定无界.解：不正确。无穷大量是绝对值无限增大的变量.不正确.例如：2，0，4，0，6，0，不正确.例如数列：1，-1，1，-1，是有界的，但它没有极限.14.用图形表示一个函数，使满足条件：(1)，(2) ，.15.用图形表示一个函数，使满足条件：(1)，(2) .16. 设函数， （1）求一个，使当时，；（2）求一个，使当时，；（3）设是一个任

5、意给定的正数，求一个，使当时，.解：（1）（2） （3）.17.用语言证明（1）； （2）.18.写出下列数列的前5项（1）； （2）（3）； （4）.解：由 (n=1,2,3,)得数列的前五项为，.由 (n=1,2,3,)得数列的前五项为，.由 (n=1,2,3,)得数列的前五项为，.由(n=1,2,3,)得数列的前五项为，.19.画出下列数列的点图，并指出哪些数列收敛，哪些数列发散.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解：作图略.（1）收敛于0 （2）发散（3）收敛于0 （4）收敛于1（5）收敛于0 （6）发散.20.设；（1）求，的值；（2）求正整数，使当时，不等式成立

6、；（3）求正整数，使当时，不等式成立.解：（1）,（2） (3)21.用语言证明（1）； （2）.练习2.2 1. 下列说法是否正确，如不正确，请说明理由.（1）若极限存在，则函数是有界函数.（2）若极限存在且大于0，则函数是非负函数.解：（1）不正确（2）不正确2.根据下列函数和的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.（1）（2）解：（1）6 （2）不存在3.设极限，请指出下列解题过程（a）,(b),(c)所依据的极限运算法则.（a） (b) (c)4.设极限，求极限（1） （2）解：（1）6 （2）185.设极限，求极限（1） （2）解：（1）3 （2） 16.下列解题过程是否正确，如不

7、正确，请说明理由，并给出正确的解题过程。（1）；（2）；（3）；解：（1）不正确，不能直接用商的极限运算法则，而应利用无穷大与无穷小互为倒数的关系求之.（2）不正确，当含有的无理式，应先有理化，然后再求极限.（3）不正确，不能直接用商的极限运算法则.7. 求下列极限：（1）；     （2）；（3）；       （4）；（5）；         （6）；（7）；（8）；（9）；（10）

8、.解：=3+2+3=8.（6）（7）.=. 因为=0所以=.=18. 求下列数列的极限：（1）； （2）；（3）；（4）.解：（1）（2） （3） （4）（1）.（2）.（3）.（4）.9. 用语言证明 若极限，则=.练习2.31.利用夹逼定理证明. 2.求下列极限（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：原式=.原式=.原式=.原式=.原式=.原式=.3. 求下列极限（1）； （2）；（3）； （4）；解：原式=.原式=.原式=.原式=.练习2.41.求下列极限（1）；      （2）；（3）；（4）.解（1）（2）（

9、3）（4）2. 当时，下列各对无穷小量是否等价？（1）与；         （2）与；（3）与（4）与.解：因为， 所以是同阶无穷小.因为，所以.因为，所以.因为，所以.3. 当时，下列函数中哪些是比的高阶无穷小量？哪些是比的同阶无穷小量？哪些是比的低阶无穷小量？（1）；（2）；（3）；（4）.解：，故是的同阶无穷小量.，故.，故是的同阶无穷小量.，故是比更低的无穷小量.4. 证明当时，.证：，证毕.5. 利用等价无穷小量代换，求下列极限（1）（2）；（3）；（4）.解：.练习2.51. 如果函数在点处连

10、续，问极限是否存在？反之，如果存在，在点处是否一定连续？为什么？答：根据函数在一点连续的定义，函数在处连续，则一定存在.反之若存在，不能说在处一定连续，因为不一定等于.2. 用定义证明下列函数是连续函数.（1） （2）.证明：设是内任意一点，则又，所以函数在处连续.又因为是内任意一点，因此函数在内连续，故是内的连续函数.设是内任意一点，给自变量在处有改变量，则相应函数的增量为，而所以函数在点处连续.又由于是定义域内的任意一点，所以在内是连续函数.3. 函数在闭区间上是否连续？画出的图形.解：当时，函数连续.当时，函数连续.在处，所以函数在闭区间0，2上连续.4. 取何值，函数，在点处连续.解：

11、设函数在点处连续，则.5. 求下列函数的间断点，并指出其类型：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解所以x=-2是的第二类无穷间断点. 因为处函数无定义，但所以是函数的可去间断点，而当 (为不为0的整数)时，为的第二类无穷间断点.，时函数无定义，所以是函数的可去间断点.因为时函数无定义，但，所以是函数的可去间断点.（为整数时）是第二类无穷间断点，（为整数时）是第一类可去间断点.当时函数无定义，但，所以是函数的可去间断点.6. 求下列极限：（1）；（2）.（3）；（4）.（5）；（6）；（7）；（8）; 解：（1）（2）（3）（4）=，而=故=.=，故=.7. 证明方程在与之间

12、至少存在一个实根.证：设，由于在上连续，又，故至少存在一点，使，即方程在与之间至少存在一个实根.8. 设在闭区间上连续，且，证明在区间内至少存在一点，使.证：设，由于在上连续，所以在上连续，又 ， ，故至少存在一点，使，即存在一点，使.练习2.61.设某企业从利润中提出20000元存入银行，准备若干年后建造一栋职工宿舍楼，假设造价要400000元，银行年利率为8%。问需要存多少年才能达到建房所需的款项？解：设需要存n年才能达到建房所需的款项，则答：需要约存39年才能达到建房所需的款项.2.假设某公司从盈余中提出45120元存入银行，希望六年能得到80000元上对某设备更新.试问需向银行要求多高

13、的利率？解：设需向银行要求年利率为r,则答：需要向银行要求10%的利率.3.设某企业决定用200000元进行投资，希望今后八年内每年末能得到相等金额的款项发放奖金，若投资报酬率为10%，求每年末可得到多少金额的款项？解：这是一个普通年金现值问题答：每年末可得到37481.26元的款项.习题二1.单项选择函数在点处有定义是极限存在的（）.必要条件充分条件充要条件无关条件解：因为研究当时的极限，只是探讨当无限趋进时，的变化趋势，而不涉及时的状况，在处可以有定义，也可以无定义，故选.若，均存在，则必有（）.存在   不存在    

14、   可能存在也可能不存在     以上都不对解：若，均存在，但有可能=也有可能，所以应选.数列的极限存在是该数列有界的（ ）.必要条件 充分条件 充要条件 无关条件解：数列的极限存在是该数列有界的充分条件，因为数列-1，1，-1，有界，但是它不存在极限.数列1，0，1，0，1.的极限为（）.0    1         发散     &

15、#160;   不能确定解：根据数列极限定义，由于不存在常数A ，故该数列没有极限或称数列发散，因而应选.极限=（）.0           1                不存在解： ，不存在     故应选.极限=（）.0 

16、        1           不存在解：=0应选.极限=（）.1       1       0   解：=应选.极限=（）.4          &

17、#160;   1    2解：=0+2=2应选.若，则 k=( ).0                            解：，故应选.极限=（）.         

18、0;     解：=，故应选.极限=（）.                  解：=故应选.极限=（）.                   不存在解：=故应选.若，则=（）.1&

19、#160;  -1            2      -2解：所以，故应选.下列极限中，正确的是（）.     解：故应选.设（ ）.0 1 不存在解：由题设，知所以应选.若，则( ).可能存在可能不存在解：若则都不成立故应选.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（）.解：根据无穷小量的定义，故应选.高阶无穷小 低阶无穷小同阶无穷小 等阶无穷小解：由题意，得 且故应选.下列变量在给定变化过程中为无穷大量的是（）.解：根据题设，有故应选.解：由可知故应选.解：由题设，得故应选.函数在点处有定义是在该点连续的（）.必要条件 充分条件充要条件 无关条件解：根据函数在点处连续的定义，知在点处有定义是在该点连续的必要条件.故选.函数的间断点有（）.1个2个3个0个解：根据题意，得函数的定义域为所以函数的间断点为0个故应选.2.求下列极限.=.=.= =.=1.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.3.设，求.解：因为，所以，即所以.4.已知，求常数.解：即 .5.证明当时，. 证明.6.解：.7.求下列函数的连续区间