空间向量的数量积及坐标运算

1、空间向量的数量积、直角坐标及其运算一、要点精讲1、空间两个向量夹角的定义已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；规定：，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.2、两个向量的数量积设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.已知向量，则叫做的数量积，记作，即3、射影的定义已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度4、空间向量的数量积的性质和运算律空间向量的数量积的性质 空间向量的数量积的运算律 （交换律） （分配律）5、空间直角坐标系单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基

2、底叫单位正交基底，用表示.空间直角坐标系及其画法在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面.作空间直角坐标系时，一般使（或），.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系一般情况下使用的坐标系都是右手直角坐标系.空间向量的坐标表示如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标

3、，记作在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标6向量的直角坐标运算设，则， ，若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标7、夹角和距离公式空间两直线的夹角公式设，则，空间两点间距离公式若，则，或二、典例精析题型一：两个向量的数量积1、若，且，则与的夹角为( )A30°B60°C120°D150°2、已知空间四边形的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积；3、已知：在空间

4、四边形OABC中，OABC，OBAC。求证：OCAB.4、设三个非零向量长度相等且两两互相垂直，求证：与所夹的角相等。题型二：向量的直角坐标运算5已知，则( )A22B48CD326、已知，求，解：，7、已知，求下列各式的值。; ；8、已知A,B,C三点坐标分别为，求满足下列条件的P点坐标。; 题型三：向量的平行与垂直9、已知空间三点，设; ，求；若与互相垂直，求。10、在正方体中，分别是的中点，求证平面证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，设，分别以为坐标向量建立空间直角坐标系，则，又，所以，平面11、如图，在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB棱BC和的中点，试在棱上找一点M，使得平面

5、平面题型四：求夹角12、已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值解：设，所以，异面直线与所成角的余弦值为点评：设出空间的一个基底后，求数量积的时候目标就更加明确了，只要将与都化为用基向量表示就可以了本题中与的夹角是异面直线与所成角的补角13.（06上海春）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦的大小.解法一：连接，为异面直线与所成的角.连接，在中，则. 解法二：以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，得. 设与的夹角为，则14、在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，为的中点， 求证：； 求所成角的余弦； 求的长解

6、：设，则， （2），,（3）的长为解法二：如图以为原点建立直角坐标系，则，（1），（2），与所成的角的余弦（3），15、中，AC=BC=1，现将沿着平面ABC的法向量平移到的位置。已知，分别取、的中点P、Q.求的长；求，并且比较与的大小；求证：题型三：综合创新16、在长方体中，E为BC中点。用向量方法求异面直线和所成角的大小；作，F为垂足，求向量的坐标。17、如图，棱长为1的正方体，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点， 求证:EFCF; 求与所成角的余弦;求CE的长.四、能力提升1、在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，则ABCABC45°2、如图长方体已知AB

7、CDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)3、已知a(2，3,5)，b(3,1，4)，求ab，ab，8a，ab解：（1，2，1），（5，4，9），（16，24，40）， 294、中，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高分析：本题的关键是如何利用这个条件，在这里可利用 将其转化为向量数量积问题解法一：，所求高解法二：设，则，

8、则 0 即0，即所求高点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：的应用问题5、设，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，即为所求6、已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标分析：BAC60°，设(x,y,z)，则解得xyz1或xyz1，(1,1,1)或(1，1，1).7、求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行已知：直线于，于求证：证明：以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系，分别为沿轴，轴，轴的坐标向量，设，即，又知，为两个不同的点，8、在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，AA1c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值分析一：利用，以及数量积的定义，可求出cos，从