等系数和线的应用定稿

1、等系数和线的应用广东省英德中学（513000）陈国宗一、概述 平面向量是高中数学的一个重点知识，也是一种重要的解题工具，更是历年高考命题的热点.向量具有代数与几何的双重特性，因此在处理问题时既可以将向量问题代数化，也可以从数形结合角度进行分析.本文重点介绍利用等系数和线的方法解决向量线性表示中的系数和问题，并侧重于从数形结合思想分析问题，让读者体会该方法的直观性与简洁性.二、基本理论1.三点共线定理：设为平面内的一组基底，且，则三点共线的充要条件为 如图1所示：事实上，根据三点共线定理，我们还可以得到更为一般的结论.2.等系数和线：设为平面内的一组基底，且，则点在直线上或者与平行的直线上的充要

2、条件为.如图2所示：下面给出该结论的证明：（1）充分性：已知当时，根据三点共线定理知点在直线上当时，在动点的轨迹上任取两点设 则/ 即/综上所述充分性成立.（2）必要性：当点在直线上时，根据三点共线定理易知当点在平行的直线上时，过点作直线，使/，并分别交（所在直线的延长线）于点.如图3所示：设 三点共线则令 则综上所述必要性成立.因此，我们称直线以及与平行的直线为等系数和线.3.推论：根据上面的证明过程，我们可以得到以下结论.如图4所示：若，则当等系数和线在与直线之间时，当直线在等系数和线与之间时，3、 等系数和线的应用求系数和或系数和的取值范围.问题一: 型.例题1.如图5所示，在中，分别为

3、和的中点，若，则_.解：如图所示，连接，延长交直线于点.已知且为中点.则例题2.（2017全国II卷12题改编）在矩形中，动点在以点为圆心，且与相切的圆上.若，则的取值范围为_.解：如图所示，过点作直线/作圆的切线且/过点作的垂线分别交于点易知当落在直线上时，当落在切线上时，事实上，当在圆上运动时，等系数和线夹在直线与切线之间，故的取值范围为点评 利用等系数和线方法处理形如的系数和问题的基本步骤：连接，构造直线连接（延长）交直线于点，则必要时，应利用平行线分线段成比例计算的值.对于的取值范围问题，可以过动点的轨迹内作/，/且分别为距离点最近与最远的两条平行线，则，其中分别为点到直线的距离.问题

4、二：型.例题3.如图6所示，在中，分别为和的中点，若，则_.解：如图所示，作的中点.连接交于点，易知为的中点.则故.例题4.（2009安徽卷改编）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图7所示，点在以为圆心的圆弧上运动.若，其中.则的取值范围为_.解：如图所示，作中点,连结,作弧的切线，使.设切点为,连结交于则当落在直线时，则.当落在切线时，在中， 故点在弧上运动时， 的取值范围为.点评 利用等系数和线的方法处理向量分解中的系数和问题时，应注意问题中待求和的两个数是否为基底的系数.一般地，已知，求的问题，可构造基底，使得，从而将问题转化为以为基底的系数和问题.问题三：型.例题5.如图8

5、所示，在中，为边上的三等分点，为与的交点，分别为边上的动点（不含端点）.若，则=_.解法一：如图所示，易知由于设 则 且.故解法二：如图所示，分别平移向量至又即又三点共线 故.例题6.如图9所示，在正方形中，为中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的一动点.设，则的取值范围为_.解：如图所示，过点作，连接交（延长线）于点则故.结合平行线分线段成比例知当运动到点时，易知此时此时当运动到点时，易知此时故的取值范围为.点评 注意等系数和线所描述的结论要求表达式中的三个向量共起点，若起点不一致，则可以考虑利用向量的减法法则或者平移相关向量统一起点.四、结束语 通过文中的几个实例，我们可以看到利用等系数和线处理系数和问题的本质是将系数和问题转化为线段的比例问题，其解法高效，直观，甚至有