精选习题高阶微分方程

1、第四章 高阶微分方程4-1 证明线性非齐次方程的叠加原理：设分别是线性非齐次方程的解，则是方程 （1）的解。证 由题意，有 ，把代入方程（1）的左端得左端= 右端。评注：线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。4-2 试验证方程 有基本解组，并求方程的通解。证 将分别代入方程得 ； 。又常数，因此是方程的基本解组。 用常数变易法，令方程的特解具有以下形式，则，由此得 ，所以，因而方程的通解为。评注：常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。将本例方程变形为，容易发现它可能具有形如二

2、次多项式的特解，因此可设其有特解形如，代入方程，比较系数得，可任意取值，所以易求得一个特解为。4-2 已知方程有基本解组，试求此方程适合初始条件及的基本解组（称为标准基本解组，即有），并由此求出方程的适合初始条件的解。解 由于原方程有基本解组：，所以通解为，且 ，将代入上式，求得，由此得特解；将代入上式，求得，由此得特解。又，所以和线性无关，因而，是标准基本解组，并由此得出方程的通解为。且，将初始条件代入得，因而满足这个初始条件的解为：。评注：标准基本解组是满足初始条件，及的基本解组。4-3 设是线性齐次方程的任意个解，它们所构成的朗斯基行列式记为。试证明满足一阶线性方程 （1）因而有。证 将

3、行列式的微分法则应用于，则所得的前项的行列式都有两行相等，即都等于零，于是有，所以所以。 这说明满足一阶线性齐次方程（1），因而有，当时，所以。评注：公式是著名的刘维尔（Liouville）公式，反映了线性齐次方程n个解与系数之间的关系。由此可得到重要结论：若线性齐次方程的n个解的朗斯基行列式在一点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。4-4假设是二阶线性齐次方程的解，这里和于区间上连续，试证 1）为方程的解的充分必要条件是；2）方程的通解可表为其中为任意常数，。证 1）充分性。因为， 而是已知方程的解，所以故有，即是方程的解。必要性。因为为方程的解的朗斯基行列

4、式，即满足。2）设，是原方程不同于的另一特解，不妨设它满足 。则，解之有，即， 两端同乘以得，积分得。因此得方程一个特解为，由，则知在上线性无关。从而可得原方程的通解为，即 。评注：由本题的证明结果可知，若已知二阶线性齐次方程的一个非零解，就可以求得另一个与它线性无关的解，则此方程可以求解，这个公式被广泛使用。4-5 试证阶线性非齐次微分方程存在且最多存在个线性无关解。证 阶线性非齐次微分方程 （1）对应的齐次方程 （2）在上存在个线性无关的解，设为，并且设是方程（1）在上的一个特解。下面证，是（1）的个解，且在上线性无关。由性质4.1，是（1）的解。设存在不全为零的数，使得即。因此必有，否则

5、可由线性表出，与是（1）的特解矛盾，从而。因为在上线性无关，故。所以是方程（1）在上的个解线性无关解。再证明方程（1）最多存在个线性无关的解。设是（1）的任意个解，由性质4.2，是齐次方程（2）的个解，则这个解必线性相关，即存在不全为零的数，使得在区间上我们就有，所以这个解在上是线性相关的。评注：注意线性非齐次方程与其对应的齐次线性方程之间的关系。4-6 求解下列方程。1）2）解 1）， ，齐次方程通解为 。 是特征根，故取特解为 ，代入方程并比较系数得 ，从而 。故原方程的通解为 。2） ， ，。 齐次方程的通解为 ， 不是特征根，故取特解为 ，代入方程并比较系数得 ，因而 。 故原方程的通

6、解为 。评注：当右端函数是类型时，求特解应注意正确写出特解的形式。4-7 求解下列方程。1）2）3）解 1） ， ， 齐次方程通解为 。由于不是特征根，设特解如 ，代入原方程比较系数得 ， 。故原方程的通解为 。2），齐次方程通解为 ，令 ，利用待定系数法的类型求其特解如下 由于是一重特征根，故取特解形式为，代入方程并比较系数得 ， ， 则原方程的特解为 ，原方程的通解为 。3） 齐次方程通解为 。令 ，并求其特解如下： 是一重特征根，故取， 代入原方程比较系数得 。 则原方程有特解 。 故原方程的通解为 。评注：当右端函数是类型时，利用欧拉公式可以转化为类型，再应用定理4.9即可得所求特解，

7、这种方法有时要比直接按类型运算量小。4-8 求下列方程的通解。1）2）解 1） ，齐次方程的通解为。由非齐次方程的叠加原理和待定系数法，设原方程特解为，代入方程比较系数得，所以。故原方程的通解为。2） ， ，齐次方程的通解为 。根据叠加原理，设特解为 ， 代入方程并比较系数得 ， ， ， 。 故原方程通解为。评注：当右端函数是类型与类型之和的形式时，利用线性非齐次方程的叠加原理和待定系数法，正确设出原方程的特解形式，比较系数得出特解。4-9 求方程的通解。解 ，齐次方程的通解为。用常数变易法，令，则有，解之得，所以。原方程的通解为。评注：当右端函数不是类型与类型之和的形式时，求线性非齐次方程的

8、特解通常采用常数变易法，由于本题是二阶线性方程，因此也可用例4-14的结论求特解。4-10 求方程的通解。解 这是欧拉方程，作自变量代换 ，即，则，代入原方程得 （1）特征方程与特征根为 ，所以（1）对应的齐次方程通解为。不是特征根，取特解形如 ，代入（1）比较系数可得，故，方程（1）的通解为。原方程的通解为。评注：欧拉方程是可化为常系数线性的一类方程。求它对应齐次方程的通解时，有时也采用待定指数法，即设方程有形如的解，代入方程确定值，本题中满足的关系为，这个代数方程称为此欧拉方程的特征方程。4-11 求下列初值问题的解。1） ， 2） 解 1） 对方程两边施行拉氏变换，得，所以，求其逆变换得

9、，即为所求解。2）对方程两边施行拉氏变换，得 即 ， 查表得 ，即为所求的解。评注：拉普拉斯变换法是高阶常系数线性方程求特解的方法，求解时需要给出初始条件。4-12火车沿水平的道路运动，火车的重量是，机车的牵引力是，运动时的阻力，其中是常数，而是火车的速度；是走过的路程。试确定火车的运动规律，设时，。解 根据牛顿第二定律及得，即 （1）这是二阶常系数线性非齐次方程，特征方程和特征根为，所以齐次方程的通解为。是单重特征根，取，代入方程（1）比较系数得，故方程的一个特解为。因而方程（1）的通解为。由初始条件时，和 得 ，所以 ，满足初始条件的解即运动规律为。评注：注意建立微分方程模型时各量的物理意

10、义。4-13 求解方程。解 令，则，方程化为，分离变量得其通解为，即 ，所以 ，积分得原方程的通解为。评注：本题是可降阶方程中的类型1。4-14 求解方程解 方程两端同除以，得，即 ，两边积分得，即，所以方程的通解为 。评注：利用凑恰当导数方法求解。4-15 用幂级数法求解。解 令方程幂级数形式的解为 （1），利用得，所以将代入原方程，比较的同次幂的系数，得由此得 即，将，的值代回（1），得，易验证它在上收敛，因此，方程满足初始条件的解为 。评注：用幂级数法求解时，如果事先不知道方程有无幂级数形式的解，最后要验证得到的幂级数的收敛性。结论：如果方程中的系数函数在内可展开为的幂级数，则在内方程必

11、有幂级数解：。4-16 求解贝塞耳方程。解 解法1 这是的贝塞耳方程，因而通解为 （1）注意到，因而（1）中的为 ， 又因，作类似计算可得（1）中的为，所以原方程的通解为。解法2 利用例4-12的结论，由于为常数，所以方程经线性变换，化为常系数线性方程，解之得 。所以原方程的通解为。评注：注意贝塞耳方程及其通解的形式，并且要了解函数的性质。4-17一个物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速度的平方成正比例，求该物体的运动规律。解 设物体的质量为，运动规律即位移与时间的关系为，阻力为为比例常数，由牛顿第二定律得 ，初始条件为 ，。令，则上方程化为，分离变量得即，令， ，所以 ， ，由于，即，

12、得，又因，即，所以 ， ，即 ，解之得，将代入上式得，所以物体的运动规律为。评注：求初值问题的解时，通常是先求得通解，然后根据初始条件确定任意常数。本题告诉我们在解题过程中出现一个任意常数，就先确定这个任意常数，使得再继续求解时过程相对简化。4-18 试证：对于二阶线性齐次方程其中为连续函数1） 若，则是方程的解；2） 若存在常数使得，则方程有解。证1）因为，故原方程变为，将代入上方程左端，得，所以是方程的解。2) 因为，原方程变为 ，把代入上方程左端，得，所以是方程的解。评注：利用本题的结论，有时可方便地求出二阶线性齐次方程的一个特解，然后利用线性变换使方程降低一阶为一阶线性方程，从而可得到

13、方程的通解。4-19设和是区间上的连续函数，证明：和在区间上线性无关的充分必要条件是在区间上有常数, 常数。证 必要性（反证法）若常数, 常数，则，即与线性相关，矛盾。必要性得证。充分性(反证法)若在上线性相关,则存在不全为零的数,使,当时, 常数, 当时, 常数，矛盾，充分性得证。评注：若和是阶线性齐次方程的两个解，则由它们的比值易推断和是否为该方程的线性无关解，同时本例也告诉我们，两个线性无关解的比值一定不为常数,即为函数。用此结论在一定条件下可求二阶线性齐次方程之通解。具体见下例。4-20 若已知二阶线性齐次方程其中在区间上连续)的一个非零解，试求另一个与线性无关之解。解 设方程的与线性无关的解为,则由上例知,即，将其代入有，因为是方程的解所以，方程化为，由于只需求方程的与线性无关的一个特解，因此在上方程中，我们求出某一个即可，特别指出，以下的不定积分均代表被积函数的一个原函数。，这样，我们就求得与线性无关的另一个特解为，故方程的通解为，即。评注：这个结论还可由4-4题的方法得到。对于二阶线性齐次方程，如果我们能求得一个非零解，通常可用此方法求其通解。如方程，由4-18题的