立体几何之外接球和内切球

1、 外接球和内切球题型一 高过外心（正棱锥、圆锥、侧棱相等）【例1】 已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，PAAB2，连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO面ABCD，OAOBOCOD=，OP，O是球心，球O的半径r球O的表面积为S4r28故选：C【举一反三】1（2019·广东高考模拟（文）在三棱锥中.，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B 题型二 高不过心（直棱柱、圆柱、侧棱垂直于底面的圆锥）【例2】（1）（2019·天津高考模拟（理）长方体ABCD-A1B1C

2、1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，则球的表面积为_（2） 已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】（1）8（2）D 【举一反三】1 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D 2 四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）A3B2C1D【答案】C 3四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，且，则此球的表面积等于（）ABCD【答案】C 题型三 找高作心（顶点的投影在底边上）【例3】（1） 在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面AB

3、C，ABC是边长为23的等边三角形，其中PA=PB=7，则该三棱锥外接球的表面积为_（2） 在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_ 【举一反三】1 已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_.【答案】 3（2019·河南高考模拟（理）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）ABCD【答案】A 考向四 球心在边上（斜边是球的直径）【例4】 在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【举一反三】1 已知三

4、棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，则这个球的表面积为_。【答案】16 考向五 嵌套模型【例5】（1） 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是，则其侧棱长为（ ）A.B.C.D.（2） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C D【答案】（1）B（2）B 【举一反三】1 某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.41B.48C.51D.164【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为如下图（一）所示三棱锥，其中，DAAB，BCAB，AB=AD=4，BC=3因为CD的中点E到所有顶点的距离相等，所以E为

5、外接球球心.因为CD=42+32+42=41 所以外接球半径为：r=412，则表面积为：4r2=41.选A.2 已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D 题型六 最值问题【例6】 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球体积的最小值为 ( )A BCD【答案】D 【举一反三】1 已知三点都在表面积为的球的表面上，若.则球内的三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD【答案】C2 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 3 已知三棱锥中，侧棱

6、,当侧面积最大时，三棱锥的外接球体积为_【答案】题型七 内切球【例7】 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）ABCD【答案】D【举一反三】1 已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则（ ）A.B.C.D.【答案】C2 一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为( )ABCD【答案】B3将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为 （ ）ABCD【答案】B课后作业1 三棱柱的侧棱垂直于底面，且 ,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C2 中国古代数学

7、经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）ABCD【答案】A3 已知正方形的边长为边的中点为，现将分别沿折起，使得两点重合为一点记为，则四面体外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】C4 已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=1，AB=BC=2， 则球S的表面积为（）A.5B.52C.9D.92【答案】C 6如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分

8、别是AB、BC的中点，将ADE，BEF，CDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A'，若四面体A'EDF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.5B.6C.8D.11【答案】B 7某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是：（ ）A.8B.123C.12D.48【答案】C 8已知三棱锥O-ABC的底面ABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O-ABC的体积为43，则球O的体积为（ ）A.323B.643C.1283D.2563【答案】D9一个各面均为直角三角形的四面体有三

9、条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）A6B12C32D48【答案】B 10已知在三棱锥中，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】D 11已知三棱锥的体积为6，在中，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（ ）ABCD【答案】C12已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）ABCD【答案】B13已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】C 14（2019·全国高考模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）ABCD【答案】A 15如图，直角三角形，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）ABCD【答案】B 19中，将沿上的高折成直二