第二章：动力学系统的微分方程模型

1、第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。1 惯性元件

2、：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。惯量（质量）=惯量（转动惯量）=2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度。这里称为弹簧刚度，是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能

3、量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为：阻尼力的方向总是速度方向相反。当，为线性阻尼模型。否则为非线性阻尼模型。应注意当等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。1）动量定理与质心运动定理： 设系统在任意瞬时的动

4、量矢为,作用在系统上的外力矢量和为，则任意瞬时的动量对时间的导数等于作用在系统中所有外力的矢量和构成了动量定理。 （2-1）通常将该式投影到直接坐标轴系、自然坐标轴系等，（更详细的情况请参阅理论力学有关知识）利用质心坐标的计算表达式，可以将动量定理转化为质心运动定理，即： 或： （2-2）其中：是系统的总质量，是系统的质心；是分刚体是质心，是分刚体的质心。2） 动量矩定理：系统在任意瞬时的动量矩对时间的导数等于作用在系统中所有外力矩的矢量和。（2-3）其中，是系统对固定点的动量矩，力F对O点的矩.除了对固定点的动量矩定理外，还有对质心的动量矩定理，对速度瞬心的动量矩定理和对加速度瞬心的动量矩定

5、理。3）动能定理：动能定理的导数形式：系统在任意瞬时的动能对时间的导数等于作用在系统中所有力的功率的代数和。（2-4）动能定理的积分形式：系统在任意两瞬时的动能的变化等于作用在系统中所有力的功的代数和。2动力学普遍方程将达朗伯原理与虚位移原理相结合，得到了建立动力学模型的另一种方法。1) 达朗伯原理 达朗伯原理提供了研究动力学问题的一个新的方法，即借助于惯性力（）的概念，可用研究静力学平衡的方法来研究动力学问题，这种方法常称为动静法。即：在任意时刻，质点在主动力、约束力和惯性力的主矢作用下处于平衡；（2-5）以及主动力、约束力和惯性力对某点的矩矢等于零，即：通常先计算惯性力的主矢和主矩，从而得

6、到质点系的达朗伯原理。2) 虚位移原理 虚位移原理本身是通过虚功的引入，提出了求解静力学问题的一种方法，它与达朗伯原理相结合得到了建立动力学模型的另一种方法。对于理想约束的完整系统，质点（质点系）在其给定位置上处于平衡的必要充分条件是作用在该质点（质点系）上的所有主动力在其作用点的虚位移上所做的虚功和等于零，即： 或 3） 动力学的普遍方程受理想约束的系统，作用在质点系上的所以主动力和惯性力在各自的虚位移上所做的虚功和等于零，即：或 在具体应用这个方程的时候，可以先引入广义坐标，使得问题处理简单。例2-1 质量为均质的杆可以绕O轴定动，试求系统做微幅振动时的微分方程。解：杆绕O轴做定轴转动，水

7、平位置为系统的平衡状态，取杆绕O轴转动的角度为坐标，可以方便的使用动量矩定理来建立动力学方程。（假定在微小转动情况下）这里是杆绕O轴转动的转动惯量。这是关于的二阶线性微分方程。如果不计杆的质量，则微分方程为：这个方程是关于的一阶线性微分方程，称该系统模型为一阶系统。例2-2 悬浮摆的动力学建模 下图所示为小型起重机简图，是吊车和吊重的质量，吊绳长为且不计质量，吊车的驱动力为F，考虑轨道的阻力为，试以为广义坐标，建立系统的动力学控制方程。利用水平方向的质心运动定理，即：或：重物做平面曲线运动，则可以直接利用牛顿定律得到切线方向的动力学方程：（1），（2）两式是耦合的非线性动力学方程。当系统被限制

8、在附近运动时，可将其在处线性化处理，则可以得到系统的方程为：当给定时，可以建立仿真模型。请读者考虑，如果要考虑摆杆的质量，则动力学方程如何？例2-3： 车辆悬架系统的动力学模型考虑图2.2所示的汽车悬架系统示意图。设计悬架缓冲系统的的目的是减小车辆在崎岖道路上行驶时产生的震动，因为道路表面的不平坦会引起悬架沿垂直方向的移动和绕某个轴的转动。图2.2悬架系统示意图 图2.3架系统的受力分析示意图我们将整个系统的质量中心作为坐标的原点,因此系统在不平道路上的振动运动可以看作是质心的沿垂直方向的平移运动以及绕质心的旋转运动。车架质量为m,转动惯量为J。输入车轮的位置信息、表明路况信息。假设每个车轴的

9、缓冲系统由具有阻尼特性的弹簧构成。忽略轮胎的质量,每个车轮受到的外力为弹簧弹力与阻尼力之和,即其中：和分别表示每个弹簧距离参考位置的瞬时距离。代入上式后根据质心运动与相对于质心的动量矩定理得：或者：整理后得到：用和分别表示系统质心的平移位移和沿质心的旋转角度。上式中假定在很小的角度位置条件下满足，并且取顺时针的旋转方向为正方向。再根据系统相对于质心的动量矩定理可得：其中是车驾相对于质心的转动惯量，将上式整理后可得：或：将系统的动力学方程写成矩阵形式：简写为：其中:当为非奇异阵时，可以通过矢量信号我们可以得到系统的仿真模型如（图2-5）。图2.5 悬架系统仿真框图以上系统中假定、是系统两个相互独

10、立的输入变量,但实际上,后轮与前车轮的位置时间相差t=L/V时间。这样,实际系统满足。由于借助了拉斯变换，将微分方程换成了代数方程，如果要得到时域响应则需要借助拉斯反变换。根据第一章的基本知识，给出基于微分方程的仿真模型，具体计算过程留给读者练习。例 2-4 机构运动学建模 曲柄滑块机构的运动学仿真建模(速度分析与建模) 曲柄滑块机构如图所示：该机构只有一个自由度，首先给出机构的运动学分析模型，（1） 机构的封闭的矢量方程（2） 矢量方程的分解式（3）关于机构速度问题的运动学方程；机构的输入运动量为 ，输出量为 ，写成矩阵形式可以写成显式表达式Simulink仿真模型建立 在该仿真模型中，设系

11、统的输入角速度为：150弧度/秒，通过一次积分可以得到角度，将这两个输入量通过一个信号混合器（以向量形式混合为一路信号），输入给MATLAB FCN模块，通过该函数模块中的代码入 ，从而可以得到输出量（），再进一步积分后，得到位移量。在 MATLAB FUNTION 模块中写上函数过程文件名：Compv，其它不变，建立m脚本文件如下：（函数子程序）functionx=compv(u); x输出，（u）输入。% 参数说明：r1 曲柄长度，r2 连杆长度% u(1)曲柄角速度；u(2)曲柄角度，u(3)连杆角度r1=15;r2=55;a=r2*sin(u(3) 1; r2*cos(u(3) 0;b

12、=-u(1)*r1*sin(u(2); cos(u(2);x=inv(a)*b;将该文件名储存为compv.m,然后运行仿真模型，得如下结果。图2-10 图2-11连杆的角速度与角度的变化规律 滑快的速度与位移变化规律曲柄滑块机构的运动学仿真（加速度分析）加速度表达式机构的输入运动量为 ，输出量为 ，写成矩阵形式和速度仿真一样，请读者建立机构的加速度仿真模型。如果要对此机构的动力学仿真，可以再列写出系统的动力学方程，与运动学方程联立求解。例2-5建立如下系统的振动微分方程，并使用子系统封装技术。改写上式为：设：, , , , ,利用子系统技术，我们可以建立相应的仿真模型，利用摸态分析方法可以得

13、到系统的解析解和仿真解进行比较。若将激励作用在左边质量块上，取，并分析当取值为多大时，质量的振幅接近于零（动力消振器原理）。并进一步分析，当时，主系统的消振效果。说明有阻尼消振效果好还是无阻尼消振效果好。§2.3Hamilton动力学建模体系除了使用牛顿力学的基础理论建模，还可以使用有关Hamilton力学体系的建模方法，这些建模的基础理论有 Lagrange第二类方程，Hamilton原理、Hamilton正则方程、APPELL方程和凯恩方程等.1. Lagerange第二类方程其中，是系统的总动能，是对应于第j个广义坐标的广义力。即：如果系统受到的力全是保守系力，则Lageran

14、ge可简化为：其中： 称为Lagerange函数。这里：是系统的总动能，是系统的总势能。对于具有保守力作用和非保守力作用的混合系统，其方程为： （2-其中 是对应非保守力的广义力。拉格朗日方程式是一组关于个广义坐标的二阶微分方程，它有统一的格式和步骤，因此在动力学建立模型时经常采用。2 系统有耗散元件的拉格朗日方程 在工程实际问题中，如果存在有与速度有关的阻力。例如当物体在空气、液体中运动时会受到流体介质的阻力作用。实验表明，流动介质的阻力与相对速度有关，并且使系统的总能量不断减少。这种阻力统称为耗散力，将这类元件统称为耗散元件。 作用于系统的耗散力一般可以表示为如下形式其中表示第i个质点的速

15、度，表示第i个质点受到的耗散力，是阻力系数、是与广义速度有关的函数，其中的负号表示阻尼与速度方向相反。在系统中如果存在有耗散力时，只需将耗散力的广义力添加在拉格朗日方程的右边即可。关于耗散广义力计算可参考下式：根据广义力的定义考虑到，则有：其中因此有令 称D为系统的耗散函数，于是耗散力的广义力为： 这样容易得到具有耗散系统的拉格朗日方程为：或者： 因此对于耗散系统，只需将耗散力的广义力加进Lagerange方程的普通广义力中即可。例如，在线性动力学系统中，一般当阻尼力是广义速度的一次式，即：则对应的耗散函数为：，对应的广义力为：。例2-6 一旋转摆如图所示，摆长为，摆锤质量为m，用光滑铰链连接

16、在铅直轴上，如果要考虑Om构件的质量为M，当铅直轴以任意角速度转动时求出对应的动力学模型。解：当为任意时，此时系统有两个自由度，分别取和为广义坐标，其动能和势能分别为：Lagerange函数为：在通常情况下，在转轴上作用有外加力偶矩，根据Lagerange方程： ： ： 以上两式仍为耦合非线性动力学方程。（1）如果要考虑AB杆的质量，则动能为：（2）如果考虑多转轴与轨道之间的摩擦阻尼，即，耗散函数为：，耗散力的广义力为：3 Hamlton原理 原理是以变分为基础的建模方法，设系统的动能为，势能为，非保守力的虚元功为，则Hamilton原理可以表示为： 其中： 称为拉格朗日函数 原理常用来建立连

17、续的质量分布和连续刚度分布的系统（弹性系统）的动力学模型。例2-7 弹性系统的动力学建模所谓的弹性系统是指具有连续的质量分布和连续刚度分布的系统，下面通过梁的横向振动来说明弹性体的建模方法。设梁的长度为，截面的弯曲刚度为常数，单位长度质量为，在截面形心处横向位移为，忽略剪切变形，则梁的动能表达式为：势能为：，拉格朗日函数为： 当系统无外力作用时，根据原理有：当为常数时，则上式积分为：根据原理，满足时间端点的条件当： 和 时有： 于是我们可以得到：根据的任意性，满足上式条件为：第一式为梁的自由振动方程，第二式是变分问题中自然满足的边界条件。可以使用模态分析方法，将偏微分方程化为常微分方程，然后就

18、可以利用前面的方法来建立数学模型。当梁上作用有分布载荷力和分布力偶时，如下图：则，系统的虚功可以表示为：其中：这里第一项积分为零，代入原理中有可以得到：如在梁上某点处作用集中力和点处作用有集中力偶矩时，这时，其右边的广义力可以表示为：，和 并注意到：在一般情况下，一个连续系统的动态特性可以用一个高阶微分方程或微分方程组来表示；（2-1）其中： y是系统的输出，u表示系统的输入量，如果引进微分算子则有：即：一个动力学系统的数学模型建立起来以后，还需要对该系统响应规律进行分析，以便揭示真正的运动规律。或者通过建立仿真模型来揭示运动规律。§24一维弹性体有限元建模有限元的基本思想是先把结构

19、分割成个不同单元，分别对单元和节点编号1,2.。单元划分越细，计算精度越高，但是计算工作量也越大，因此，要根据具体情况合理的划分单元数，本节将介绍一维梁单元有限元建模方法。 梁单元质量矩阵与刚度矩阵设梁单元中的第个单元的坐标（局部坐标），单元长度为，该单元有两个节点，而每个节点有两个广义坐标，这样一个梁单元共有4个广义坐标，分别的左界面的位移与转角和右截面的位移和转角，有：；，设单元的位移模式为将单元边界条件带入上式，可得：整理后可得：其中：，设梁的单位长度质量为，系统的动能为其中：可得单元质量矩阵为： 系统的势能为；其中：可得单元刚度矩阵为： 将动能和势能带入大拉格朗日方程中，即：；其中的广

20、义力可以利用虚功原理导出。设作用在单元体上的外力为 ，其虚功表达式为：其中： 这样就可得到系统的单元微分方程为： 这里：2.5.2 总体系统动力学微分方程： 以上仅仅给出了单元系统的微分方程，通过个单元的对接条件，我们可以得到总体坐标下的动力学微分方程，为了得到总体坐标系中的动力学方程，先引入总体节点位移向量：对于两单元，有：个位移分量，与单元节点位移向量，设局部位移向量与总体位移向量的关系为： , 则系统的总动能为： 得: ， 其中：同理：， 其中： 激励列阵为其中：这样可以得到总体坐标下的动力学方程 如果结构有的零边界条件，可以得到降阶方程。例2-9 试用有限元法建立如下简支梁的动力学方程

21、 解，将该梁化为两个相同单元共有三个节点6个自由度，总体位移向量为：，单元质量和刚度矩阵如前，单元的与总体坐标之间的变换关系为：，容易得到：易得：， 广义力：根据以上，可以得到总体坐标下的质量矩阵、刚度矩阵以及激振力列阵由于总体坐标中的边界条件中有，则划去1、5行和1、5列，最后得到缩减的动力方程§25 SIMULINK高级积分器的仿真模型建立积分器是仿真过程中最常使用的重要模型之一，在前面使用积分器模型中，积分的初始值仅在初时条件一拦（InitialCondition）设计即可，但是在复杂问题中往往需要在运行中不断改变积分初始值，这就需要应用高级积分器，高级积分器有多个端口。1 定

22、义外部初始条件（external）在积分器的 Initial condition sources 有两种选择（internal external ） ，如果选择internal ,则直接可以在 initial condition 参数中设置初始值，但有时候在动态仿真过程中需要改变初始条件，这样就出现了外部条件源的设定方法，同时积分器的形状发生改变。如右图所示。2 限制积分器（饱和输出）为了防止超出指定的范围，可以选择 limit output 复选框并在下面的框中填写范围，同时积分器的形状发生改变。如右图所示。3 重置积分器在积分器的属性窗口当中有一个 （external reset）参数选择

23、，分别是：Rising （当重置信号有上升沿时触发状态重置）简称上升沿。falling （当重置信号有下降沿时触发状态重置）简称下降沿。Either （任何重置信号的上升或下降时触发状态重置）简称双边沿。Level (当重置信号为非零时，触发并保持输出信号为初始条件)4 状态端口 状态端口的特点是：如果状态端口在当前时间步上重置，那么状态端口的输出值是积分器还没有被重置时的积分器输出端口的值，也就是说，状态端口的输出值比积分器的输出端口早一个时间步。正是这样的一个特点，往往可以把重置前的积分值作为以后的积分的初始条件。例 2-8 有一个弹性球，其恢复系数为k=0.8，（力学中的定义是碰撞结束和

24、开始两个时刻的速度比称为恢复系数:),距离地面高度为 的地方以初速度垂直向上抛出，并分析弹性球的在静止前的运动规律并绘制随时间变化的轨迹曲线。解： 弹性小球在第一次接地前的动力学方程为 ：， 速度为： 在第一次碰撞后，弹性小球在以后的每次离开地面的初速度应有所变化，但动力学方程形式不变。 其中为恢复系数这样一直循环下去直到小球停止。 由于涉及到了初始条件的变化，则使用重置积分器模型，建立仿真框图如下，其中的积分器要设置成外部触发，显示端口，使用下降沿触发方式，其中的状态端口的特点是输出值比积分器的输出端口早一个时间步长。第二章 习题1m2m2习题2-1 建立如下汽车悬架的力学模型，其中，路基不平度函数为，车辆速度，试建立该系统的simulink仿真模型。习题2-2 试建立如下两自由度系统耗