第13讲空间向量与立体几何

1、个 性 化 教 学 设 计 教 案授课时间： 2011 年8月 21 日（ 13：00-15：15 ）备课时间： 2011 年 8 月 20 日年级： 高二 学科： 数学 课时：3学生姓名： 课题名称第13讲 空间向量与立体几何授课教师： 教学目标1空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。2空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直

2、、平行关系。（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。教学过程一、利用空间向量证明空间位置关系首先对直线与平面分别选择其方向向量和法向量来定位，再将线、面的平行问题、垂直问题转化为两个向量的平行与垂直问题二、利用空间向量求空间角1异面直线成角异面直线成角问题是通过转化为它们的方向向量的夹角来解决的但要注意，异面直线成角的范围是（0，而两向量的夹角范围是0，异面直线方向向量的夹角有可能是其补角，因此，求出后要注意检验也可直接取绝对值处理即若两异面直线m

3、，n的方向向量分别是a，b，它们所成的角为，则有cos|cosa，b|.2直线与平面所成的角直线与平面所成的角要转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角来解决但要注意的是这个夹角的余弦值的绝对值与直线与平面所成的角的正弦值相等如图所示，设直线PA与平面所成的角是，平面的法向量为n，则有sin|cos，n|.3二面角利用向量求二面角的大小，有两种方法：一种是转化为与二面角棱垂直且分别在两个面内的两个向量的夹角问题即：如图4132所示，在二面角l中，AB，CD分别在平面，中，且分别垂直于棱l，则此二面角的大小的余弦值为：coscos，注意两个向量的起点都要在棱上另一种是转化为两个平面的法向量的夹角

4、问题但都要注意二面角的范围是0，求出后也要检验如图4133所示二面角l两个面的法向量分别是m，n，设二面角l的大小为，则有|cos|cosm，n|，通常可先判断二面角的范围，再作处理，或利用法向量的指向来做判断图4133三、空间距离的求法空间距离往往通过转化为空间向量的模，或通过计算向量的夹角来构造直角三角形求解空间中线与面、面与面之间的距离往往要转化为点到平面的距离来求，求点到平面的距离是重点其求法是：用法向量可求点到平面的距离，如图4134所示，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，其中A，则点B到平面的距离为.(实质是在法向量n方向上的投影的绝对值)特别说明，上面公式不必死记，只要结

5、合图形，利用直角三角形边角关系可得BCAB·|cos，n|.从而得上面的公式1：利用空间向量证明空间位置关系例1：如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小。例2：在如图4135所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，ECAC，EFAC，AB，EFEC1，(1)求证：平面BEF平面DEF；(2)若M、N、P分别为AC、EB、FB的中点，Q为MN上一点，且()，求证：PQ平面DEF.2：利用空间向量求线线角、线面角1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直

6、线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线的方向向量，是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。例3：已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.3：利用空间向量求二面角求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判

7、断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等， 例4、如图4136所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)求证AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值4：利用空间向量求空间距离例5、如图4137所示，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离5：利用空间向量解决立体几何中探索性问题例6、如图4138所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直

8、线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论例7： 如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。（I）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（II）设ABAA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（）。当p取最大值时，求cos的值。课堂练习1.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则=

9、.2.如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。4.如题图，四棱锥中，底面为矩形，点是棱的中点. （I）证明：；（II）若，求二面角的平面角的余弦值.课后作业课后记学员学习情况：课后小评：教师建议：提交时间教研组长审批教研主任审批1.已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为( )

10、(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ） A B C2 D34. 在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为（ ）A B C D5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）ABCD6.

11、 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D）7，是空间交于同一点的互相垂直的三条直线，点到这三条直线的距离分别为,，则,则_ _。8平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1两两之间夹角均为600，则= 9将正方形沿对角线折成直二面角后，有下列四个结论：（1）； （2）是等边三角形；（3）与平面成60° ；（4）与所成的角为60°其中正确结论的序号为_（填上所有正确结论的序号）10. 如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为 2的菱形，BAD=60°，对角线A

12、C与BD相交于点O，,E、F分别是BC、AP的中点 （1）求证：EF平面PCD； （2）求二面角ABPD的余弦值 11. 某组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，如图所示，其中，它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为+1，+1（1）求直线与平面所成角的正弦；（2）在线段上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由12. 如图，三棱柱中，面，,，为的中点。(I) 求证：面；()求二面角的余弦值参考答案1【解析】选A.点A关于x轴对称点的规律是在x轴上的坐标不变，在y轴，z轴上的坐标分别变为相反数，点A（-3，1，-4）关于x轴的对称点的坐标为（-3,-1,4）.2【解析】选B.以A为

13、坐标原点，AC、AA1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为2b.3D 4D 5C 6A 764 83 9（1）（2）（4）10解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG FG是PAD的中卫县，FG，在菱形ABCD中，ADBC，又E为BC的中点，CEFG，四边形EFGC是平行四边形，EFCG又EF面PCD，CG面PCD，EF面PCD （2）法1：以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系。则0（0，0，0），A（0，0），B（1，0，0）（0，0，）=（1，0）=（0，）设面ABP的发向量为，则，即即取 又，OA面PBD，为面PBD的发向量，=（0，0） .所以所求二面角的余弦值为 法2：在菱形ABCD中，ACBD，OP面ABCD，AC面ABCD，ACOP，OPBD=0，AC面PBD，ACBP，在面PBD中，过O作ONPB，连AN，PB面AON，则ANPB。即ANO为所求二面角的平面角 AO=ABcos30°=在RtPOB中， cos。所以所求二面角的余弦值为11【解析】12解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点， D为A