第一学期概率论与数理统计期末考试试卷A卷答案

1、北 京 交 通 大 学20122013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）参 考 答 案某些标准正态分布的数值其中是标准正态分布的分布函数一（本题满分5分） 口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球求最小号码是5的概率 解： 设“取出4个球，最小号码是5” 10个球取出4个球，有取法种.2分 若最小号码是5，有取法种，因此 .3分二（本题满分5分） 一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率 解： 设“5位同学至少有两位的生日在同一月份” 5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有种可能.2分 考虑的逆事件，它表示5位同学中，没有两位的生

2、日是同一月份的则 .3分三（本题满分8分）， 已知男人中的是色盲患者，女人中色盲患者占，今从男女比例为的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解： 设“任选一人为男性”，“任选一人是色盲患者” 所求概率为由Bayes公式，得 .3分 .5分四（本题满分8分） 在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是，和，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的求在一小时内 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） 至多只有一台机床需要维修的概率（4分） 解： 设，则1 .2分 .2分2 .2分 .2分五（本题满分8分） 试确定常数，的值，使得函数为一连续型随机变量的分布函数

3、 解： 因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此函数在分段点及处连续，所以有 ，即有.2分 ，即有.2分 又分布函数必须满足：，因而有 ，.2分由此得方程组 ，解此方程组，得 .2分六（本题满分8分） 某地区成年男子的体重（以计）服从正态分布若已知， 求与的值； 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过的概率 解： 由已知， .2分得 即 ，查正态分布表，得 ，解方程组，得，.2分 设“从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过”则 .2分 设：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过的人数则 设“5人中至少有两人的体重超过则 （已知，）.2分七（本题满分8分） 设二维随机变

4、量的联合密度函数为求：随机变量的边缘密度函数 解： 当时， .3分 .3分所以，随机变量的边缘密度函数为 .2分八（本题满分10分） 设是个独立同分布的随机变量，服从参数为的指数分布令，求随机变量的密度函数 解： 对于任意的实数，随机变量的分布函数为 .2分 .3分所以，随机变量的密度函数为 .2分 如果服从参数为的指数分布，则的密度函数为 分布函数为 .1分因此此时的密度函数为 ，.2分九（本题满分8分） 设随机向量间的相关系数分别为，且，令：，,证明：两两不相关的充要条件为 证明： 充分性：如果，则有而 .3分这说明随机变量与不相关 同理可得 ，这就证明了随机变量两两不相关 .1分 必要性

5、：如果随机变量两两不相关，则有，而由上面的计算，得 ， .3分由于，所以，即 .1分十（本题满分8分） 设总体的密度函数为是从中抽取的一个样本，与分别表示样本均值与样本方差求， 解： 因为 ， ，所以， 所以，.2分 ，.3分 .3分十一（本题满分8分） 设总体，是取自该总体中的一个样本求系数、，使得统计量服从分布，并求出自由度 解： 因为是取自总体中的简单随机样本，所以，而且相互独立所以，.2分所以，.2分因此，.2分因此，当时，统计量，自由度为3.2分十二（本题满分8分） 一家有间客房的旅馆的每间客房装有一台（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为求需要多少电力，才能有的可能性保证有足够的电力使用空调机 解： 设：该旅馆开房数目，则.2分 ：向该旅馆供应的电力则若电力足够使用空调机，当且仅当因此 由题设，.3分查表，得 ，.1分所以有 即至少向该旅馆供电千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用.2分十三（本题满分8分） 设总体的密度函数为其中是已知常数，而是未知