等差数列及其前n项和考点精讲

1、等差数列及其前n项和考点精讲考点一：等差数列定义的应用1.已知数列满足，求_.n提示：易知是等差数列，an=1+1×（n-1）=n.2在an中，a1=15，3an+1=3an2（nN*），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 。a23和a24。提示：an+1an=，an=15+（n1）（）=an+1an<0（452n）（472n）<0<n<n=233.已知f（n+1）=f（n）（nN*）且f（2）=2，则f（101）=_。提示：f（n+1）f（n）=，f（n）可看作是公差为的等差数列，f（101）=f（2）+99d=4已知正项数列满足，且 （1）求正项数列的通

2、项公式；（2）求和（裂项相消法）解 (1)由可变形为： 。数列是首项为2，公差为1的等差数列. ，。（2） 考点二：等差中项的应用1. 与的等差中项是_-2. 若成等差数列，则x的值等于（ ） A.0 B. C. 32 D.0或32 考点三：等差数列及其前n项和的基本运算1. 2011是数列中的第 项.335.提示：an=7+6(n-1)=6n+1,2.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数：（1）求n 及； （2）3.等差数列中，那么 .24.提示：，24.4.在等差数列中，已知，则的值为_ .提示：a9-a3=6d=18,得d=3. = a3+3(12-3)=37.5. 在等差

3、数列中，则= 393.提示：a11-a4=7d=1.4,d=0.2. a51=0.8+0.2(51-4)=10.2, a80=0.8+0.2(80-4)=16.=.6.等差数列an中，a1=5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_项6.提示：由5×11+d=55，得d=2由an=5，an=a1+（n1）d得n=67在首项为31，公差为4的等差数列中，与零最接近的项是_1。提示：an=354n由7 得a8=3，a9=1，最接近的为a9=18如果等差数列的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项和的公式。9已知数列an的通项公式an=

4、,bn=,则bn的前n项和为 。.10（1）设是等差数列，求证：数列是等差数列.（2）在等差数列中, ，其前项的和为,若,求.证明：因为是等差数列，所以nn，从而(n1)·d，即数列是等差数列，且其公差d1.（2）设公差是，由，得，11已知等差数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 求证：解：设等差数列的公差为，由， 得，即，得， 又，得，解得：，所以， 由，得： 所以。考点四：等差数列及其前n项和性质的应用1. 在等差数列中，则的值为（ ）A.84 B.72 C.60 . D.482. 在等差数列中，前15项的和 ，为（ ）A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列中, ,则

5、此数列前20项的和等于A.160 B.180 C.200 D.2204. 在等差数列中,若，则的值等于（ ）A.45 B.75 C.180 D.3005. 已知成等差数列，且为方程方程的两根，则等于 。 。提示： 由韦达定理知=，又=2a1+3d.=.6.等差数列的前项和为，若则等于 。12. 提示：由是等差数列知成等差数列，即，解得7.设数列an、bn都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么由an+bn所组成的数列的第37项值为 .100.提示：an、bn为等差数列，an+bn也为等差数列，设cn=an+bn，则c1=a1+b1=100，而c2=a2+b2=100，故

6、d=c2c1=0，c37=1008. 等差数列an中，a1>0,前n项和为Sn，且S9>0,S10<0，则n= 时，Sn最大。5.提示：由题意可知该数列公差小于0。如图1是Sn对应的抛物线，因为其公差小于0，所以抛物线开口向下，与横轴的一个交点的横坐标为0，另一个交点的横坐标在区间内（9，10），可见其顶点横坐标 在区间（4.5，5），故当n=5时，Sn最大。 图1考点五：公式的应用1 数列的前n项和，则_2设是数列的前n项的和，且，则是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列3设等差数列

7、的前n项和公式是，求它的前3项，并求它的通项公式.提示：，当时， 由于不适合于此等式 。 4.等差数列的前n项和。求数列的前n项的和。解：an=8n-29.该等差数列为-21，-13，-5，3，11，前3项为负，其和为39。 设sn是的前n项和，sn=-21n+=4n2-25n.考点六：等差数列及其前n项和创新题型1.下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。（I）写出的值；（II）写出的计算公式； 解：（I）（详见第二问一般性结论）。 （II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： ； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： ， ，第i行是首项为，公差为的等差数列，因此2.如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差(1)设数列是公方差为（p>0,an >0）的等方差数列，求的通项公式；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列(1)解：由等方差数列