重视和改进数学概念的教学

1、重视和改进数学概念的教学摘要：本文首先通过案例介绍了数学概念教学的的一般模式；然后从概念的引入、概念的形成、概念的巩固等方面介绍了一些具体的 方法，在这方面的说明主要是通过具体的教学案例；文章最后又结合概念教学中容易出现的问题，给出了一些切实可行的教学建议供教学工作者参考。关键词：数学概念，概念教学数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础是学生进行数学思维的核心，是数学知识体系的基础，是理解基本理论、掌握基本技能的基石，在数学学习与教学中具有重要地位。一个成功的概念教学，可以提高学生学习数学的积极性和对学习数学的兴趣，使整个教学过程得到事半功倍的作用。数学概念学习的原理，是数学课程发展与数学

2、教学的理论基础，以数学概念为载体通过相关的数学思维过程训练，能培养学生主动获取知识与灵活思维的能力。因此我们要重视数学概念的教学。1 数学概念教学的一般模式对于数学概念不能望文生义，要对其内涵和外延、规定的条件、相互关系和实际应用等进行综合理解，使之条理清楚，概念牢固。因此在教学中围绕一个概念应力求阐明下列问题：（1）概念产生的背景及讨论的对象；（2）概念的定义及相关条件和规定；（3）概念的性质及与其它概念的关系；（4）概念的应用范围；（5）从全局观点对概念进行深层理解。以对“导数”概念教学为例分析1.导数的产生背景及概念的引入通过对大量实例的分析：问题1 气球平均膨胀率，问题2 高台跳水的平

3、均速度，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2. 导数的定义：从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数 3. 导数与相关概念的关系函数是研究两个变量间相互依赖关系的，极限讨论函数在附近的性质，连续则是讨论函数在及其近旁的性质，若时有，但对于的依赖关系并未消失，该关系则用数来体现，它表示函数在的瞬时变化率。4. 导数的几何意义导数的几何意义“无限逼近”“以直代曲”，曲线的割线斜率逼近切线斜率，导数表示函数f (x)在xx0附近的变化情况。这“数形结合”便于学生理解导数概念。5. 导数概念的应用（1）导数的定义具有构造性，可用定义将求

4、导运算公式化。（2）导数是研究函数在局部的状态，它开辟了研究函数的新领域，如函数的单调性，极值等均可借助导数来讨论。（3）导数是瞬时变化率，实际中与变化率有关的问题可用上导数。6. 从全局观点对导数进行深层理解对函数的研究是通过图形或解析式在定义域中作整体描述，导数讨论在函数在点附近的局部性质，侧重于对应关系的变化，由导数再引入导函数从高层次上对函数作整体描述，这样对函数的研究经历了从整体到局部又回到整体的螺旋式上升过程，导数成为进一步研究函数的有力工具。用发展、变化的观点进行导数概念的教学，把概念教活，使学生获取的知识成为有机的整体，全面完成导数概念的教学。2 概念教学中的方法在概念教学过程

5、中应因材施教、教法灵活。2.1 怎样引入数学概念数学概念的引入，应从实际出发(教材的实际、学生的知识水平及年龄实际、生活和生产实际等)，从问题入手(直观具体的、本学科的、跨学科的)，通过与本概念有明显联系、直观性强的实际例子，使学生在对直观、具体问题的体验中感知概念，由知觉到感觉，形成感性认识。 如引入棱柱的概念时，可请同学观察桌面上的铅笔(竖着)、橡皮擦、课本，教师出示的长方体及五棱柱、六棱柱模型等，提问：是否注意到了它们在形状上都有什么共同的特点？学生观察时，教师可把模型摆在讲台上并规范地画出其中五、六棱柱的直观图(略)，观察、交流后，让学生总结其共同特征(必要时可发问：是否需要修改)：有

6、两个面互相平行；其余各面的交线也互相平行，因此各个面为平行四边形。另外一个考虑的方向：因为几乎每一个数学概念的引入都伴随着一个动人的故事。如引入无理数时，可向学生介绍无理数发现的背景；又如，讲解析几何时，可向学生介绍笛卡尔；讲二项式定理时，可向学生介绍杨辉三角。了解一个概念的发生、发展过程，有利于学生对某一概念的形成，同时，数学史也是对学生进行思想教育的极好教材。实践表明，从寻求根源入手，不仅能使学生一接触到新的数学概念便对它产生浓厚的兴趣，而且还能比较容易接受并理解数学概念。2.2 形成概念的方法认识是一个特殊的心理过程。学生初步学习概念后，还需有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的

7、改造、制作、深化过程，以逐步形成概念。 (1) 揭示概念的本质数学概念是客观世界的数量和空间形式在人们头脑中的反映，而概念的本质是概念所反映事物的属性的总和，因此，掌握概念的关键便是明确概念的实质，也就是如何借助语言文字或符号等关键词来表达，讲解中突出这一关键词使学生易于接受。在正面阐述了概念的本质属性后应安排一些简单的巩固练习。通过回答问题并说明理由，概念的本质属性会在头脑中重复出现，可培养学生运用概念作判断的能力，对促进概念的形成是行之有效的。 (2) 利用概念之间的关系构建概念体系我们可以利用概念之间存在的从属关系、合成关系、对应关系、对称关系等构建出一些章节或系统的概念体系，从而使学生

8、对这部分的概念有一个全面的认识，把它们之间的联系与区别理解得更清楚。如我们对“距离”概念得到概念体系：两点间的距离点到直线的距离两条平行线的距离异面直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离两平行平面的距离。这样可使学生对于“距离”这个纲可以做到“纲举目张”。因它们的计算思想是一致的。2.3 概念的巩固(1) 把概念教学与定理、公式及解题教学融为一体定理、性质、公式的教学是概念教学的延伸，完整地掌握与概念有关的定理、性质和公式才能完整地掌握概念的内涵和外延，使学生在运用知识的过程中不断加深对概念的理解，提高解题能力，必须把概念教学贯穿于解决问题的实践之中，概念与解题、基础与能力、两者应该相辅相成

9、，由概念指导解题，以基础培养能力，辩证地统一于教学之中。(2) 利用分层次的例题培养学生运用概念解决问题的能力多层次的例题，不仅使学生能辨析各概念间的明显区别，而且有助于学生的思维向纵深引伸，对他们的创新意识和能力的培养很有好处，如下例的解答。例一个ABC中，BC=6cm，再给定一个什么条件，A点的轨迹是：1)直线？2)圆？3)椭圆？4)双曲线(除特殊点外)？分析1) 轨迹是直线，易想到如果A点到线段BC的两个点端点距离相等，那么点的轨迹是线段的垂直平分线。所以AB=AC可得点的轨迹是一条直线(BC的中点除外)。又如果点A到BC距离等于一常数，即么点A的轨迹是一平行于BC的两条直线。所以ABC

10、的面积一定时，点的轨迹是直线。2) 轨迹是圆，平面内到一定点的距离等于定长的轨迹叫圆。所以只要点满足这个定义，它的轨迹就是圆。所以(1)点A到线段BC中点距离等于一常数。(2)AB=BC或AC=BC这时得到点的轨迹是以点B或点C为圆心，以BC为半径的圆(点C或除外)。(3)AB：AC =k，(k>0，k1)(建立坐标系后其轨迹方程易求出，略)。3) 轨迹是椭圆，平面内到两点的距离的和等于一常数的点的轨迹是椭圆。所以若点到，的距离之和为k(k>6)，即AB+AC =k，那么点的轨迹是椭圆。4) 轨迹是双曲线，平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线。所以只要点A到B

11、，C的距离的差的绝对值为k(0<k<6)，则点的轨迹是双曲线。从上可看出在解题过程中加深了概念的理解和各概念的区别，同时也看到概念在解决问题时所起到的作用。(3) 利用框图使学生加深联想记忆引入概念后，对概念所属对象进行分类，以加深对概念实质的认识。数学概念的内涵和外延在自身发展中充实并逐步完善，在教学中，应将概念纳入它自身的矛盾运动中去进行分析，把概念的确定性和灵活性辩证地统一起来。概念之间的种属关系使概念之间形成非常严谨的系统，而在教材中常分散出现，应适时地将它们联系、归纳、概括于一个体系之中。在概念课的教学中，建立概念体系后，尽量多用框图把概念体系表示出来，可以加深对各概念的

12、区别和联系的理解，可使知识系统化，使学生易于联想记忆。如引入虚数后可引导学生总结出复数系框图。3 概念教学中应注意的问题3.1 注意数学概念的科学性和逻辑性数学概念是发展进化的，不易一次讲透，教学中不必死抠概念的严密性，这样并不能妨碍概念的科学性和逻辑性，能突出其本质即可。3.2 概念课教学中适当运用启发性原则教师应根据教学内容和学生实际，提供机会、创设情景，善于提出问题，启发学生积极、主动思考，逐步培养学生独立思考、自主学习的能力，引导学法，培养习惯。正像波利亚所说：教师讲了什么并非不重要，但更重要千万倍的是学生想了些什么，学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，教师的作用在于“系统地给学生发

13、现事物的机会”。如，学习等比数列时，可设计系列启发性思考题，启动学生自主地观察、归纳、概括出等比数列的概念，并把类比的数学思想方法落到实处，一一引导学生对等差数列、等比数列进行概念类比、内涵类比、外延类比、通项公式的结构类比、概念应用中的解法类比等，使学生在类比和自主探索中学习、理解、掌握等比数列及相关概念。 3.3 注意防止概念的混淆 学生在学习概念之前头脑中并不是一片空白，已有一些形成的概念。这些概念由于表示它们的符号、词语和概念本身的含义不同可能产生相互干扰，故克服概念混淆是数学教学中的一项重要工作，将相关概念进行比较，说明它们的区别，进行验证，有意引出谬误以加深印象是很有必要的。3.4 注意在概念教学中培养学生的思维品质数学教学的根本任务不仅在于向学生传授知识，更重要的是要培养学生的多种能力。故在概念教学中不仅要使学生理解和掌握概念，会运用概念解题，更重要的是在概念的形成过中让学生掌握思维方法，使学生的思维品质得到有效的培养和开发。例如我们可以：1.求知情景，培养学生思维的敏捷性；2.新概念，培养思维的深刻性；3.新概念，培养思维的广阔性；4