绝对值在高考题中

1、汤念辉 绝对值在高考题中一、定义在初中代数课程中，我们知道，数轴上的每一个点都有一个完全确定的实数与它对应，反之，每一个实数有数轴上的唯一点与它对应，因此实数与数轴上的点建立一一对应关系. 在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值. 并且规定了：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.二、性质绝对值具有下列运算性质（1）|a| + |b|a+b| .两个数的绝对值的和，不小于这两个数的和的绝对值 .（2）| a | - | b | | a-b | . 两个数的绝对值的差，不大于这两个数的差的绝对值.（3） | a |·| b | = | a&

2、#183;b | . 两个数的绝对值的积，等于这两个数的积的绝对值 . （4） 两个数的绝对值的商，等于这两个数的商的绝对值 .三、算术根与绝对值我们知道，如果x的n次方等于a ， 那么x就叫做a的n次方根 . a的n方根记，其中a是被开方数，n是根指数 .为了运算的需要，我们规定：正数的正的方根叫做算术根，零的算术根是零，并且用符号来表示 .根据算术根的定义，一般地有： （n是自然数）四、高考中的绝对值1、解含有绝对值的方程【例1】（2004年全国卷第18题） 解方程4x+|1-2x|=11.解答：当x0时, 有：4x+1-2x=11化简得：(2x)2-2x-10=0解之得：或(舍去).又x

3、0得2x1, 故不可能，应舍去.【注意】：应舍去，因为我们是在假设2x1的条件下，对原方程进行变形的，但是>1，所以它与假设相矛盾，必须舍去.【续解】：当x<0时, 有：4x-1+2x=11化简得：(2x)2+2x-12=0解之得：2x=3或2x= -4(舍去)2x=3 x=log23综上可得原方程的解为x=log23.【点评】：解这类方程的基本思想是去掉绝对值符号，把它化为不含绝对值符号的方程来解. 为了去掉绝对值符号，我们可以根据未知数取值范围的不同情况讨论绝对值符号内代数式的正、负；得出方程的解以后，还要检验这些解是否在所讨论的取值范围内，如果不在未知数假设的取值范围内，就应

4、该把它舍去.2、解含有绝对值的不等式解含有绝对值符号的不等式与解含有绝对值符号的方程相类似，基本想是设法去掉绝对值符号，把它化为不含绝对值符号的一般不等式去解.我们看下面的一个例子：【例2】（2004年全国卷第8题）不等式的解集为（ ）A. B. C. D.解答：D -4<x<-2或0<x<2.【点评】：一般地，上述不等式的解的情况可以列成下表：a>0aa a>0a = 0a<0|x|<a-a<x<a无解无解|x|>ax<-a, x>ax0的一切实数一切实数3、含有绝对值不等式的证明含有绝对值符号的不等式的证明和不含

5、有绝对值符号的不等式的证明一样，需要运用不等式的性质和基本不等式来进行 . 但它又是一种特殊的不等式，含有绝对值符号，证明时还必须考虑运用绝对值的定义和性质. 证明的方法和证明不含绝对值符号不等式的方法相仿，一般可以采用比较法、分析法、综合法、数学归纳法和反证法等. 这里先简略地介绍一下什么是比较法、分析法和综合法，然后通过例题介绍绝对值不等式的证明 .【例3】如果|a|<1 , |b|<1 , 求证： 证 法 一 比较法： 分 析 要证明 就是要证也就是只需证明 即可. 证 明 . 由|a|<1, 可得a<1， a -1<0 ; 由|b|<1, 可得b&l

6、t;1, 1 - b>0 . ±ab|ab| = | a|·|b|<1 , 1+ab>0 ， . 由|a|<1, 可得 - a<1 , a+1>0 ,同理， b+1>0 .而1+ab>0 , . 即 . -1 ，即 【说明】：比较法，可以从两式的差是正数还是负数来决定它们的大小. 它的依据是，如果A - B>0,那么A>B，如果A-B<0, 那么A<B ; 反之也然. 如果A>0, B>0, 那么当>1时有A>B；当<1时有A<B .证 法 二 分析法：要证明 只要证

7、明 | a+b | < | 1+ab | ,就是证明 （a+b）2 < (1+ab)2 ,即 ，就是 .而 . 由|a|<1，得a2-1<0 ; 由|b|<1 ， 得1-b2 > 0 . <0 . 因为证明中每一步都可逆推，所以原不等式成立.【说明】：分析法，就是假设要证的不等式成立，然后逆求不等式能够成立的条件，直至符合已知条件. 证 法 三 综合法： ，即 ， （1 - a 2）（1 - b 2）>0 ,即 1+a 2b 2 - a 2 - b 2 >0 , 1+a 2b 2 > a 2 + b 2 , 1+a 2 b 2 + 2

8、ab > a 2 + b 2 + 2ab ,即 （1+ab）2 > (a+b) 2 , |1+ab| >| a+b| , .【说明】：综合法就是从已知条件开始，逐步推理，最后得到所求证的不等式成立 .4、含有绝对值符号的函数的图象根据绝对值的定义，有 这就是说，当f (x)0时，那么| f (x)| = f (x)，此时| f (x)|的图象就是f (x)的图象. 当f (x)<0时，那么| f (x)|= - f (x)，此时| f (x)|的图象是与f (x)的图象关于x轴成轴对称的. 由此可见，只要把f (x)的图象分成两部分，在x轴上方的图象保持不变，而x轴下方

9、的图象，则作出它关于x轴的对称图象，这样合起来就得到了函数y=| f (x)|的图象 .对于函数y =（f |x|），我们同样可以根据绝对值的定义进行讨论. 因此，当x0时，f (|x|) = f (x), y = f (|x|)的图象就是y = f (x)（当x0时）的图象. 而x<0时，f (|x|) = f (-x)，所以y = f (|x|)的图象就是与f (x)（当x0时）的图象关于y轴对称的图象 . 【例4】作下列函数的图象：（1）y=| x2-1 | , （2）y =1- | x | .分 析 要作出y=|x 2 - 1|的图象，我们可以先作出y= x2 - 1的的图象，对于x轴下方的图象作出它关于x轴的对称图象. 要作出y=1- | x |的图象，可先作y = 1-x（当x0）的图象，再作出它关于y轴对称的图象. 解 （1）作f (x) = x 2 1的图象，它是以（0 ，-1）为顶点，y轴为对称轴的开口向上的抛物线. 对位于x轴下方的图象作出它关于x轴对称的图象，这样就得到了f (x) = | x2-1|的图象. （如下图左）（2）作y =1-x（当x0）图象，它是斜率为-1，与y轴上的截距等