空间中的直线与平面

1、第二章 空間中的直線與平面空間概念主題1：空間概念1.基本公設：(1)相異兩點恰決定一條直線。(2)過不共線三點恰決定一平面。(3)一直線L若有相異兩點A、B都在一平面E上則L上每一點都在平面E上（即）。(4)空間中過直線L上一點A有無限多直線與L垂直而這些直線構成一平面E。(5)給定任意兩平面、，若、相交，則、的交集至少包含相異兩點。2.決定一平面的條件：(1)不共線三點。(2)一線及線外一點。(3)二平行線。(4)相交於一點的兩相異直線。3.直線與平面的關係：空間中一直線L與平面E的關係可為：(1)（L與E沒有交點）(2)L與E交於一點(3)L上有二相異點A、B在E上（）4.空間中二直線、

2、之關係(1)（存在相異兩點A、B同時在、上）(2)、恰交於一點(3)、不相交，但、共平面（此時稱）(4)、不共平面（此時稱、為歪斜線）5.直線的垂直線與垂直平面(1)平面上給定一線L及線外一點P則恰有一直線過P且垂直於L(2)空間中給定一線L及線外一點P則恰有一直線過P且垂直於L(3)平面上給定一線L及線上一點A則恰有一直線過A且垂直於L(4)空間中給定一線L及線上一點A則有無限多直線過A且垂直於L(5)由基本公設(4)知；通過A點而與L垂直之直線均在E上且平面E上過A點之任一線均垂直於L，此時我們規定直線L垂直平面E，並稱L為平面E的法線，與L平行的任一向量稱為E的法向量，而E為L的一個法平

3、面。(6)直線與平面的垂直定理：直線L交平面E於點A，若E上過A點之兩相異直線、均垂直於L，則。7.平面與平面的關係：(1)由基本公設(5)知空間中兩平面、的相交情形有：(a)、不相交（）(b)、交於一直線(c)(2)空間中兩相異平面若相交，則不在同一平面之兩半平面與交稜所成的圖形稱為二面角，交稜稱為此二面角的稜，兩個半平面稱為此二面角的兩邊或兩面。OQE1ABE2P(3)二面角的度量：在一個二面角的稜上任取一點O，自O點在角的兩面上各作一射線、都與垂直此時規定為此二面角的一個平面角，的度量等於之度量。(4)相異兩平面若相交，則會構成四個二面角，其中兩鄰角互為補角，兩對角相等。(5)當一個二面

4、角的平面角為直角時我們稱此二面角為直二面角。(6)當相交之兩相異平面交成四個直二面角時，我們稱這兩平面互相垂直。(7)若則在上垂直於交線的任一直線，必垂直於。(8)若直線L垂直於平面E，則空間中包含直線L的任意平面都垂直於平面E。8.三平面的關係：空間中三相異平面的關係可為：(1)。(2)兩面平行，第三面與此二平面各交於一線。(3)三面交於一線。 (4)三面兩兩交於一線，三線互相平行。(5)三面交於一點。主題2：三垂線定理1.直線垂直平面於B點，L為E上不過B之任一線，若垂直L於C，則亦垂直於L；反之，若垂直L於C，則亦垂直於L。空間坐標系主題1：空間坐標1.空間坐標系：(1)在空間中任取一點

5、O，過O作互相垂直的三直線軸、軸、軸，稱O為原點，則構成空間直角坐標系。(2)平面、平面、平面把空間割成8部分，每一部分稱為一卦限，其中、之卦限稱為第一卦限。(3)空間上一點則：OEFGHABCxyz(1)在軸上坐標【對x軸垂足】 在軸上坐標【對y軸垂足】 在軸上坐標【對z軸垂足】(2)在平面上坐標【對平面垂足】 在平面上坐標【對平面垂足】 在平面上坐標【對平面垂足】(3)對軸上對稱點坐標 對軸上對稱點坐標 對軸上對稱點坐標(4)到平面上距離 到平面上距離 到平面上距離(5)到軸上距離 到軸上距離 到軸上距離2.距離公式：(1)O為原點，P點坐標為則(2)、則空間向量的坐標表示法主題1：空間坐

6、標1.在空間坐標系中，對於任予向量皆存在唯一的一點P，使，若P點坐標為則定義的坐標表示法為表為，其中分別行為之x分量、y分量、z分量，而的長度表為。2.若、則3.若為非零向量，、分別為與x、y、z軸正向之夾角，則稱、為之方向角，、為之方向餘弦。4.，、為之方向角，則(1)(2)，(3)若之方向角為、，則之坐標表示法為(、)主題2：空間向量的運算1.空間向量的加減法與係數積：若，則：(1)(2)(3)，(4)；2.分點公式設、為空間中相異兩點(1)P點內分，則P點坐標為(2)P點外分，則P點坐標為(3)C為中點，則C點坐標為主題3：向量內積與柯西不等式向量內積：1.定義：(1)、不為零向量，、夾

7、角為，則定義(2)或，則定義(3)若、則2.向量內積性質：(1)(2)(3)(4)(5)(6)、，、夾角為則：(a)(b)(c)等號成立的充要條件為或、有一為主題4：面積與體積1.向量外積：，則：(1)(2)(3)；(4)2.所張平行四邊形面積 3.所張平行六面體體積 4.所張四面體體積空間中的平面主題1：平面方程式1.過點法向量的平面方程式為2.不為零向量，三元一次方程式之所有解在空間中所描之點所成圖形為一個以為法向量的平面。3.，x截距a，y截距b，z截距c之平面方程式為4.各種特殊平面方程式：(1)平面：，平面：，平面：(2)垂直x軸之平面，垂直y軸之平面，垂直z軸之平面(3)，平行平面

8、且過點之平面，平行平面且過點之平面，平行平面且過點之平面(4)與面垂直（平行z軸）之平面，與面垂直（平行x軸）之平面，與面垂直（平行y軸）之平面，(5)過原點之平面：(6)與平行之平面(7)，過、交線之平面E方程式為：(a)，。(b)，此時。(c)，此時。主題2：兩平面的夾角兩平面，其中，且，則：1.或。2.。3.、相交，交角滿足。主題3：到平面的距離1.點到平面的距離為2.點對平面(1).投影點：， 。(2)對稱點：， 3.兩平行平面，間的距離為4.相異兩相交平面，之交角平分面方程式為空間中的直線主題1：直線方程式1.不為零向量，若平行直線L，則稱為L之方向向量；l、m、n為L之方向數。2.

9、若、直線L，則：(1)為L之一方向向量(2)；稱為之參數式(3)；為之參數式(4)；為之參數式(5)；為之相反射線3.過點方向向量為之直線，參數式為；4.直線L過點方向向量為(1)若l、m、n均不為0則稱為L之對稱比例式(2)若，則為L之對稱比例式(3)若，則為L之對稱比例式5.、為不平行之兩相異平面，則為、之交線方程式其方向比為主題2：直線與平面直線與平面滿足1.，即，即，則L與E相交於一點。2.（即）且無解，則。；， 【】3.且有解（即）則4.平面方程式：(1)三點式：，(a)(b)求；【平面法向量】代入點向式(2)一直線及線外一點：直線過及線外一點，L的方向向量(a)求 (b)代入點向式

10、求直線方程式(3)二相交直線：；(a)求 【平面法向量】 (b)代入點向式求直線方程式(4)二平行線：；(a)求(b)求 【平面法向量】 (c)代入點向式求直線方程式主題3：兩直線的關係兩直線，1.若且則。平行，；。二平行線之距離 【】2.若且則。3.若且有解。則兩線交於一點，交角滿足。4.若且無解則兩線歪斜。，二歪斜線之距離：(1)作平面，【平行；】。(2) 【】。主題4：點到直線之距離點到直線之距離為：1.2. ，3.點對直線 (1).令(2)求值 (3)代入得Q【投影點】(4)由中點公式得對稱點R一次方程組與矩陣的列運算主題1：一次方程組一次方程組的解法常見的有：(1)代入消去法(2)加

11、減消去法(3)高斯消去法2.矩陣就是把一串數字排成矩形的陣式，如是第列（橫的）第行（直的）的元素上面這個矩陣有m列、n行，我們稱它是階的矩陣。若，則稱它是n階的方陣。3.一次方程組：(1)它的係數所排成的矩陣稱為這個方程組的係數矩陣。(2)它的係數以及等號右邊的常數所排成的矩陣稱為這個方程組的增廣矩陣。(3)每一個方程組對應一個增廣矩陣，將矩陣進行“列運算”就可得出方程組的解。對於增廣矩陣：(a)任意兩列對調，不影響方程組的解。(b)任一列乘以不是0的數加到其他一列，不影響方程組的解。(這是加減消去法的觀念）利用上述方法求解，我們稱為高斯消去法。主題2：二階行列式1.二階行列式的展開，規定。2.二階行列式的性質：(1)二階行列式的行與列依序互相轉換，其行列式值不變。(2)將兩行（或兩列）對調，則行列式的值變號。(3)將某一行（或某一列）乘以k，其行列值的值為原來行列式值的k 倍。注意(4)將某一行（或某一列）乘以k加到另一行（或另一列），其值不變。(5)； 主題3：利用克拉瑪公式解二元一次方程組1.對於二元一次方程組令，得，(1)此方程組恰有一組解：，(2)，或