绝对强的考研数学复习资料(高等数学易混淆概念分析)

1、高等数学部分易混淆概念 第一章:函数与极限一、数列极限大小的判断 例 1:判断命题是否正确.若 ( n n x y n N <>,且序列 , n n x y 的极限存在, lim , lim , n n n n x A y B A B =<则解答:不正确. 在题设下只能保证 A B , 不能保证 A B <. 例如:11, 1n n x y nn =+, , n n x y n <,而 lim lim 0n n n n x y =.例 2.选择题设 n n n x z y ,且 lim ( 0, lim n n n n n y x z -=则 ( A .存在且等于

2、零 B. 存在但不一定等于零 C .不一定存在 D. 一定不存在 答:选项 C 正确分析:若 lim lim 0n n n n x y a =,由夹逼定理可得 lim 0n n z a =,故不选 A 与 D.取 11(1 , (1 , (1 nnnn n n x y z nn=-=-+=-, 则 n n n x z y , 且 l im( 0n nn y x -=, 但 l im n n z 不存在,所以 B 选项不正确,因此选 C .例 3.设 , n n x a y 且 lim ( 0, n n n n n y x x y -=则 与 ( A .都收敛于 a B. 都收敛,但不一定收敛于

3、 a C .可能收敛,也可能发散 D. 都发散 答:选项 A 正确.分析:由于 , n n x a y ,得 0n n n a x y x -,又由 lim ( 0n n n y x -=及夹逼定理得lim ( 0n n a x -=因此, lim n n x a =,再利用 lim ( 0n n n y x -=得 lim n n y a =.所以选项 A .二、无界与无穷大无界:设函数 ( f x 的定义域为 D ,如果存在正数 M ,使得( f x M x X D 则称函数 ( f x 在 X 上有界,如果这样的 M 不存在,就成函数 ( f x 在 X 上无界;也就是说如果对于任 何正

4、数 M ,总存在 1x X ,使 1( f x M >,那么函数 ( f x 在 X 上无界.无穷大:设函数 ( f x 在 0x 的某一去心邻域内有定义(或 x 大于某一正数时有定义 .如果对于任意 给定的正数 M (不论它多么大 ,总存在正数 (或正数 X ,只要 x 适合不等式 00x x <-<(或x X >,对应的函数值 ( f x 总满足不等式 ( f x M >则称函数 ( f x 为当 0x x (或 x 时的无穷大. 例 4:下列叙述正确的是: 如果 ( f x 在 0x 某邻域内无界,则 0lim ( x x f x = 如果 0lim ( x

5、 x f x =,则 ( f x 在 0x 某邻域内无界解析:举反例说明. 设 11( sinf x xx=, 令 11, , 22n n x y n n =+, 当 n +时, 0, 0n n x y ,而lim ( lim (2 2n n n f x n +=+=+lim ( 0n n f y +=故 ( f x 在 0x =邻域无界,但 0x 时 ( f x 不是无穷大量,则不正确. 由定义,无穷大必无界,故正确.结论:无穷大必无界,而无界未必无穷大. 三、函数极限不存在 极限是无穷大当 0x x (或 x 时的无穷大的函数 ( f x ,按函数极限定义来说,极限是不存在的,但是为 了便

6、于叙述函数的性态,我们也说“函数的极限是无穷大” .但极限不存在并不代表其极限是无穷大.例 5:函数 10( 0010x x f x x x x -<=+>,当 0x 时 ( f x 的极限不存在.四、如果 0lim ( 0x x f x =不能退出 01lim(x x f x =例 6:( 0xx f x x =为 有 理 数 为 无 理 数 , 则 0l im (0x x f x =, 但由于1(f x 在 0x =的任一邻域的无理点均没有定义,故无法讨论 1(f x 在 0x =的极限.结论:如果 0lim ( 0x x f x =,且 ( f x 在 0x 的某一去心邻域内

7、满足 ( 0f x ,则 01lim(x x f x =.反之, ( f x 为无穷大,则1(f x 为无穷小。五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无 穷大时极限是否相等。例 7.求极限 1lim , lim xx x x e e 解:lim , lim 0x x x x e e +-=+=,因而 x 时 xe 极限不存在。1100lim 0, lim xxx x ee-=+,因而 0x 时 1x e 极限不存在。六、使用等价无穷小求极限时要注意:(1 乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换, 加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的, 故统

8、一不 用。这时,一般可以用泰勒公式来求极限。(2注意等价无穷小的条件,即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例 8 :求极限 0limx x分析一:若将 2写成 1 1 +,再用等价无穷小替换就会导致 错误。分析二:用泰勒公式 22222211(122(1( 22! 11(122(1( 222!1(4x x x x x x x x -+-+-+-=-+原式 2221( 144x x x-+=-。例 9:求极限 sin limx x x 解:本题切忌将 sin x 用 x 等价代换,导致结果为 1。sin sin lim0x x x=七、函数连续性的判断(1 设 ( f x 在 0x x =间 断

9、 , ( g x 在 0x x =连 续 , 则 ( ( f x g x ±在 0x x =间 断 。 而2( ( , ( , ( f x g x ff x 在 0x x =可能连续。例 10.设 00( 1x f x x =, ( sin g x x =,则 ( f x 在 0x =间断, ( g x 在 0x =连续,( ( ( s i n 0f x g x f x x =在 0x =连续。 若设 10( 1x f x x =-<, ( f x 在 0x =间断,但 2( ( 1f x f x =在 0x =均连续。(2 “ ( f x 在 0x 点连续”是“ ( f x

10、在 0x 点连续”的充分不必要条件。分 析 :由 “ 若 0lim ( x x f x a =, 则 0l i ( x x f x a =” 可 得 “ 如 果 00lim ( ( x x f x f x =, 则0l i ( ( x x f x f x =” , 因此, ( f x 在 0x 点连续,则 ( f x 在 0x 点连续。 再由例 10可得, ( f x 在 0x 点连续并不能推出 ( f x 在 0x 点连续。(3 ( x 在 0x x =连续, ( f u 在 00( u u x =连续,则 ( f x 在 0x x =连续。其余结论均 不一定成立。第二章 导数与微分一、函数

11、可导性与连续性的关系可导必连续,连续不一定可导。例 11. ( f x x =在 0x =连读,在 0x =处不可导。 二、 ( f x 与 ( f x 可导性的关系(1 设 0( 0f x , ( f x 在 0x x =连续, 则 ( f x 在 0x x =可导是 ( f x 在 0x x =可导的充要条 件。(2设 0( 0f x =,则 0( 0f x '=是 ( f x 在 0x x =可导的充要条件。 三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设 ( ( ( F x g x x =, ( x 在 x a =连续, 但不可导, 又 ( g a '存在, 则 (

12、 0g a =是 ( F x 在 x a =可导的充要条件。分析:若 ( 0g a =,由定义 ( ( ( ( ( ( limlimlim( ( ( x a x a x aF x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x ax ax a-''=-反之,若 ( F a '存在,则必有 ( 0g a =。用反证法,假设 ( 0g a ,则由商的求导法则知 ( ( (F x x g x =在 x a =可导,与假设矛盾。利用上述结论,我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。 四、在某点存在左右导数时原函数的性质(1设 ( f x 在 0x

13、x =处存在左、右导数,若相等则 ( f x 在 0x x =处可导;若不等,则 ( f x 在 0x x =连续。(2如果 ( f x 在 (, a b 内连续, 0(, x a b ,且设 00lim ( lim ( , x x x x f x f x m +-''=则 ( f x 在0x x =处必可导且 0( f x m '=。若没有如果 ( f x 在 (, a b 内连续的条件, 即设 00lim ( lim ( x x x x f x f x a +-''=, 则得不到任何结论。例 11. 20( 0x x f x xx +>=, 显

14、 然 设 00lim ( lim ( 1x x f x f x +-''=, 但 0l i m (2x f x +=, 0lim ( 0x f x -=,因此极限 0lim ( x f x 不存在,从而 ( f x 在 0x =处不连续不可导。第三章 微分中值定理与导数的应用一、 若 lim ( , (0, lim ( x x f x A A f x +'=可 以 取 , 则若 lim ( 0x f x A +'=,不妨设 0A >,则 0, ( 2A X x X f x '>>时 , ,再由微分中值定理( ( ( (, (, f x

15、f X f x X x X X x '=+-> ( ( (lim ( 2x A f x f X x X x X f x +->=+同理,当 0A <时, lim ( x f x +=-若 lim ( , 0, ( 1x f x X x X f x +''=+>>时 , ,再由微分中值定理( ( (, (, f x f X f x X x X X x '=+-> ( ( (lim ( x f x f X x X x X f x +->=+同理可证 lim ( x f x +'=-时,必有 lim ( x f x +=-第八章