节空间直角坐标系

1、 第七 章 第一 节：空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离教学难点：空间思想的建立 教学内容：一空间直角坐标系1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图71，其符合右手规则。2. 各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图72所示。3. 空间点M(x,y,z)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。图 71 图 72二 空间两点间的距离若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2

2、)为空间两点， 则距离（见图73）为图73第七 章 第二 节：向量及其运算一向量的概念 向量：既有大小，又有方向的量； 在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向； 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）； 向量的表示方法有a、i、F、等等。 向量相等a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向量）。 向量的模：向量的大小，记为、。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 向量平行ab：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。二向量的运算 加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满

3、足的运算规律有交换率和结合率 向量与数的乘法：。其满足的运算规律有结合率、分配率。设表示与非零向量a同方向的单位向量，那么 定理1：设向量a0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，使b 例子：例1：在平行四边形ABCD中，设，试用a和b表示向量、和，这里M是平行四边形对角线的交点。（图74）图74小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业： P374 2、3、7、9 P380 1、2第七 章 第三 节：向量的坐标教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知

4、识打好基础。教学重点：1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点：1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一向量在轴上的投影1. 几个概念 轴上有向线段的值：设有一轴u，是轴u上的有向线段，如果数满足，且当与轴u同向时是正的，当与轴u反同向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段的值，记做AB，即。设e是与u轴同方向的单位向量，则 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作，规定不超过的称为向量a和b的夹角，记为。 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与

5、轴u的交点叫做点A在轴u上的投影。 向量在轴u上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点和，那么轴u上的有向线段的值叫做向量在轴u上的投影，记做。2. 投影定理 性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 二向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a =是以为

6、起点、为终点的向量，i、j、k分别表示沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图75，并应图75用向量的加法规则知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为 a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三

7、个向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量运算的坐标表示设a = ax，ay，az，b = bx，by，bz即a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk则 加法：a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k 减法：ab = （axbx ）i + （ayby） j +（ azbz ）k 乘数：a = (ax )i + (ay)j + (az)k 或a + b = ax+ bx，ay + by，az + bz ab = axbx，ayby，azbz a = ax，ay，az 平行：若a0时，向量ba相当于b a，即b

8、x，by，bz =ax，ay，az也相当于向量的对应坐标成比例即三向量的模与方向余弦的坐标表示式设a = ax，ay，az，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图76，其余弦表示形式称为方向余弦。1 模图762 方向余弦由性质1知，当时，有 任意向量的方向余弦有性质： 与非零向量a同方向的单位向量为：3 例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解：1-2，3-2，0-=-1，1，-，设为与同向的单位向量，由于即得小结：向量的坐标是本章向量代数的一个难点，是学好后继内容的基础

9、，学生应多花时间学深学透。作业：P3914、5、7、8第七 章 第四 节：数量积向量积教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用 教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论教学内容：一数量积： 定义：，式中为向量a与b的夹角。 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为其中为F与s的夹角。 性质：.两个非零向量a与b垂直的充分必要条件为：. . . 为数 几个等价公式：.坐标表示式：设a = ax，

10、ay，az，b = bx，by，bz则.投影表示式：.两向量夹角可以由式求解 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求提示：应用上求夹角的公式。二向量积： 概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义：c的模，式中为向量a与b的夹角。c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 公式： 性质：.两个非零向量a与b平行ab的充分必要条件为：. . . 为数 几个等价公式：.坐标表示式：设a = ax，ay，az，b = bx，by，bz则.行列式表示式： 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)

11、、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。解：根据向量积的定义，由于2,2,2，1,2,4因此于是小结：本节是向量运算中很重要的部分，与上节共同讲述了向量的坐标表示以及向量的运算，这些是本章的一个重点。作业： P402 1、2、3、7、8 第七 章 第五 节：曲面及其方程教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程教学难点：旋转曲面 教学内容：一曲面方程的概念4. 定义：如果曲面S与三元方程F（x，y，z）0（1）有下述关系：（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）（2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方

12、程（1）那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形。5. 球面例子：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程。 解：设M(x,y,z) 是球面上的任一点，那么即：或：特别地：如果球心在原点，那么球面方程为i. 旋转曲面1定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。2旋转曲面的方程设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f（y，z）0把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点，那么有f（y1，z1）0（2）当曲线C绕z轴旋转时，

13、点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z)，这时zz1保持不变，且点M到z轴的距离将z1z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为b) 旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。c) 常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0<<90°），方程为：其中acot三柱面1定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 定曲线C：准线动直线L：母线2特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面。3：几个常用的柱面：d) 圆柱面：（母线平行于z轴）e) 抛物柱面：（母线平行于

14、z轴）小结：会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。作业：P4102，3，5，9，10第七 章 第六 节：空间曲线及其方程教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学内容：一空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。二空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数:三空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为（3）消去其中一个变量（例如z）得到方程（4）曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。此柱

15、面（垂直与xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为同理可以求出空间曲线C在其它坐标面上的投影曲线。在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。例子：设一个立体由上半球面和锥面所围成，见右图，求它在xoy面上的投影。 解：半球面与锥面交线为消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy平面上的投影为圆所围成的部分：小结：第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应特别注意。作业

16、： P416 1、2、4、5 第七 章 第七 节：平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常这样的曲面平面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。教学重点：1.平面的方程 2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：一平面的点法式方程1平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2平面的点法式方程已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量nA,B,C，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量n，即n代入坐标式有：（1）此即平面的点法式方程。6. 例子：求过三点M1（2，1，4）、M2（1，3，2）和M3（

17、0，2，3）的平面方程。解：先找出这平面的法向量n，由点法式方程得平面方程为即：i. 平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：几个平面图形特点：b) D0：通过原点的平面。c) A0：法线向量垂直与x轴，表示一个平行于x轴的平面。同理：B0或C0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。d) AB0：方程为CzD0，法线向量0,0,C，方程表示一个平行于xoy面的平面。同理：AxD0和ByD0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。 e) 反之：任何的三元一次方程，例如：5x6y7z110都表示一个平面，该平面的法向量为n5,6,-7三两平面的夹角定义：平行于定直线并沿

18、曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 定曲线C：准线动直线L：母线四几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为n1A1,B1,C1和n2A2,B2,C2f) 两平面垂直：（法向量垂直）g) 两平面平行：（法向量平行）h) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0（x0，y0，z0），平面的方程为 ，则点到平面的距离为小结：平面是本书非常重要的一节，学生在学习时会各种平面的表示方法，了解平面与其法向量之间的关系等等。作业：P4232，3，5，7，9第 七 章 第 八 节：空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程2.直线与平面

19、的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一 空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：二 空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。三 两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线和的方向向量依次为和，两直线的夹角可以按两向量夹角公式

20、来计算两直线和垂直： （充分必要条件）两直线和平行：（充分必要条件）四 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，那么直线与平面垂直：s/n 相当于（充分必要条件）直线与平面平行：sn 相当于（充分必要条件）平面束方程： 过平面直线的平面束方程为五 杂例：例1：求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点（3，2，5）的直线方程。解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以因此，所求直线的方程为例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为x= -1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t，从而求得交点为以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量故所求直线方程为例3：求直线 在平面上的投影直线的方程 解：应用平面束的方法 设过直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是解之得代入平面束方程中得投影