论线性空间与欧氏空间的对比_图文

1、科学之友Friend of Science Arnateurs2007年09月国1预备知识论线性空间与欧氏空间的对比李建东(吕梁高等专科学校,山西吕粱033000摘要:线性空阐与欧氏空闭是高等代敷的两部分重要内客.两者之阅跪有区剐又有联系,从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、过渡矩阵、线性变换、子空间和同构8个方面进行对比计论。关键词:欧氏空阐.线性空问;基;内积中图分类号:0150.2文献标识码:A文章编号:10008136(200709010502定义l设v是个非空集合,是个数域。在集合v的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于v中任意两个元素n与口,在v中

2、都有唯一的个元素y与它们对应,称为与犀的和,记为7=“+风在数域P与集合y的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于数域P巾任一个数k与矿中任一个元素a,在v中都有唯一的一个元素6与它们对应,称为与a的数量乘积,记为8=ka。如果加法与数量乘法满足下述规则,那么P称为数域P上的线性空闻。加法满足下面四条规则:(1h+犀=肛+n;(2(+声+y=n+(p+yi(3在r中有一个元索o,对于v中任一元素a都有O+a=a (具有这个性质的元素0称为V的零元素;(4对于矿中每一个元素n,都有r中的元素口,使得“+口=oqs称为n的负元素。数量乘法满足下面两条规则:(5lot=a;(6(1a

3、=(klk。数量乘法与加法满足下面两条规则:(7(“n=ka+la;(8(d书矗d+够。在以上规则中,U等表示数域P中任意数;n,卢,7等表示集合V中任意元素。注意:线性空同的元素也称为向量。当然,这里的向量比几何中向量的涵义要广泛得多,线性空间有时也称为向量空阉。定义2设v是实数域R上一线性空闻,在v上定义了一个二元实函数,称为内积.记作(伍,口它其有以下性质:(1(n.口=(口,a;(2(ka+口=k【a,卢;(3(d+卢,y=(a,y+(By;(4(d,d0,当且仅当a=o时,(d,n=0。其中n,卢,y是P中任意的向量,而k是任意实数.这样的线性空间V称为欧几里得(Eudicl空间(简

4、称欧氏空间。2线性空间与欧氏空间的对比广义地讲,欧氏空问是定义了内积的线性空间,所以欧氏空间具备线性空间的所有性质。但由于欧氏空间中引入了内积的概念,故它又不同于线性空间。2.1基础域的对比讨论线性空f.3i,J-论的平台是一般的数域P,即P可以是任意数域;而欧氏空间讨论的平台是实数域,属于线性空间的一种特例。2.2运算的对比讨论数域P上的线性空间v的运算有:向量的加法、数量与向量的乘法,即:(1如果“,口V,有a弗V;(2如果EP,nEv,有kaV。而欧氏空问的运算有:向量的加法、数量与向量的乘法、向量的内积,即:.(1如果a,卢v,有够EV;(2如果k EP,dEV,有hEv;(3如果d,

5、口EV.有(,口EV。2.3基的对比n维线性空间一定有基。定理1如果在线性空闻v中有n个线性无关的向量虬%,%,且V中任一向量都可以用它们的线性表出,那么r是n 维的,而她,L,%就是v的一组基。丽n维欧氏空间不仅一定有基,而且有正交基、标准正交基。定义3在n维欧氏空间v中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基。n维欧氏空间V的一个标准正交基又可以由n维线性空间的一个基求得。设啦,啦,L,%是n维欧氏空间P的一个基,利用施密特(schmidOiE交化法,即可以得到/I,维欧氏空间y的一个标准正交基。2.4向量坐标的对比讨论无论是n维线性空间还是n维欧氏空间

6、,在取定一个基之后,空闻中的任意一个向量关下取定基的坐标都是唯一的.但欧氏空间的讨论更明确。在n维欧氏空间r中取定一个标准正变基F.,sL s。之后,其中,任意一个向量任关于该基的坐标“却,L不仪唯一,而且有华(d,B,扛l,2L,11即:昨(d,P1sl+(口,g!+L(n,s。6.2.5过渡矩阵的对比讨论没。n二,%与鼠,压,L,风是n维线性空间V的两个基,A 是南基a。吨,L,%到基崩属,L,且的过渡矩阵,即:(晟,恳,L,成李建东:论线性空间与欧氏空间的对比=(%,啦,L,%A,则A是唯一的,且是可逆的。设啦,啦,%与n,忍,且是n维欧氏空间V的两个标准正交基,T是由标准正交基a。,啦

7、,L,%到标准正交基崩,岛,L,成的过渡矩阵,即:(卢l,岛,L,岛=(幽,魁,工,%T,则不仅是唯一的,且是正交的,即:71T=Tp=T-。仨TT-l=E2.6线性变换的对比讨论在线性空间V中讨论了一般的线性变按:定义4线性空间y的一个变换A称为线性变换,如果对于r中任意的元素“,口和数域P中任意数k.都有A(a+卢=A(俚+A(卢;A(td=kA(a。且线性空间中的一个线性变换不一定可以对角化;线性空间中一个线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。在欧氏空间中不仅讨论了一般的线性变换,还讨论了两种特殊的线性变换,即正交变换和对称变换。定义5欧氏空问P的线性变换称为正交变换,如果它保持向

8、量的内积不变,即对于任意的,口eV,都有(Aa.邮=(a,口。定义6欧氏空间r中满足(舡,芦=(d,A芦的线性变换,称为对称变换。欧氏空间的对称变换一定可以对角化;欧氏空间的对称变换属于不同特征值的特征向量不仅线性无关,而且正交。2.7子空间的对比讨论n维线性空间y的任意个子空间甲(维数小于n都有余子空问.但余子空间不唯一。设:维(w习,a。,a:,%是的一个基,将其扩充成y的基啦,啦,E.%,工,%,则肚(。%.地是矿的一个余子空同,而矿名.(%r+q,瑾越,%也是IV的一个余子空问,且W。=W”on维欧氏空间y的任意一个子空问不仅有余子空间,而且余于空间是唯一的。定理2维欧氏空间的每一个子

9、空间w,都有唯一的正交补。2.8同构定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。、即:每个n维线性空问都与P同构。(P是任一数域定理3两个有限维欧氏空问同构的充分必要条件是它们的维数柑同。即:每个n维欧氏空I司都与R“同构。(P是实数域Discussion on the Contrast between Linear Space and Euclid SpaceLi J;andongKey words:Linear space;Euclid space;radix;inproducti上攘第104页比如,在讲解passion一词时,可以用Rus*U(岁索的WhatI

10、 Have“ved for(我为何而生“Three passions,simple but over-wlielmingly strong,h4Ve governed my life:the10n百“g for love,the search for knowledge,%d tmhearable pity forsuffering of mankind.”(三种情感,单纯两强烈的情感支配着我的生活,那就是对爱的渴望,对知识的渴求,以厦对人类苦难深切的同情。又如,讲解aRtonish这个词时,可给出这样一个例句:Thelo-eel history group was as astonished

11、 ta hear of“plan to buiM an office building“ght next to the castle.通过这一例旬传达给学生这一信息:现代城市的建设不应忽略对历史文化遗产的保护。教学中为学生提供与时代和学生自身的发展息息相关的语言内容,必将茸酎爱大地激发学生的学习热情,调动学生的积极性和参与性,使学生提高了语言能力,又优化了知识,增强了人文素养。对于丰富的语言材料,如果教师仅是讲解词义,分析句子结构,翻译文章,那只是完成了教学的一个日标,即语言的实爿j功能,而其教育功能并没有体现,或者说我们大学英语课程的全部作用并设有充分发挥,如果是这样,那是大学英语课的一个极大损失。同时,实践经验表明:思想内涵丰富的语言教学反过来会促进语言形式的掌握,二者相辅相成。语言内容越是能反映学生的知识、智力、情感和个性需求,越是能活跃课堂气氛,促进学生积极思考,自觉参与,从而获得知识,学会语言。当然,人文精神教育不是一朝一夕、几节课就能够完成的,也不是简单的说教就能见效。它贯穿于整个教育活动中,体现在每一个具体环节中,英语教学是其中的一环。Humanism Education in College English TeachingFu FenAbstraCt