第十一章 Euclid空间上的极限和连续

1、第十一章 Euclid空间上的极限和连续下册P113114 习题解答 1.证 正定性: | x y | = .对称性: | x y | = | y x | .三角不等式: 设x, y, z,则有| x y | | x z | +| z y |.注意到实数的三角不等式以及H. Minkowski不等式: 设,则对R , 时有 .( 证明可参阅裴礼文编数学分析中的典型问题与方法P287 定理11 )，就有 | x y |= | x z | +| z y |，即| x y | | x z | +| z y |. 2 证明 ：若R中的点列x收敛 ， 则其极限唯一 .证明 : 设 x , x ,现证 .

2、 对, 由于x, x ; 由于x, x .取, 则当时, 就有 x x . , 即极限唯一 .3. 设R中的点列x和y收敛 .证明对于任何实数, , 成立等式x+y)=x+y.证 设x , y.当时 , 显然有 x+y)和x+y, x+y)=x+y.当和不同时为零时,对,由于x, x ;由于y, y .取, 则当时, 就有 , (x+y)x y.此即 x+y)x+y.4. 求下列R中子集的内部、边界与闭包 : ;解 ; ;. ; 解 ; . . . 解 ; ; . 5. 求下列点集的全部聚点 : ; 解 的聚点共有两个 : 和. ; 解 的聚点共有五个 : , , , , . . 解 由于 .

3、集中,除点是孤立点外,其余均为其聚点 .即 .6. 证明定理x是集的聚点的充分必要条件是 : 存在点列x满足条件x, xx , ,且 x= x . 证 设点x是集的聚点 , 即在点x的任何邻域内含有集的无穷多个点 .则在x , 内有集的无穷多个点 ,取异于x的x且xx , ,有 xx;在x , 内有的无穷多个点,取异于x的点x且xx , ,有xx; 在x , 内有的无穷多个点, 取异于x的点x且xx , ,有xx;.我们这就得到点列x, x, xx . 由式xx,可见x= x . 对任意的, 由x= x , , 有xx , . 由xx ,x , 中的x彼此不同的有无穷多项 ; 又由x,可见在x

4、 , 内有的无穷多个点,由的任意性 ,即得在点x的任何邻域内含有集的无穷多个点 ,即x是集的聚点.7. 设U是R中的开集 . U中的每个点是否都是其聚点 ? 对于R中的闭集情况又是如何呢?解答 若U是R中的开集 , 则U中的每个点都是U的聚点 . 这是因为U的每个点都是U的内点 , 而内点必为聚点 . 若U是R中的闭集 , 则U中的点未必是U的聚点 . 例如单点集是闭集 , 但元素并不是集的聚点 .8. 证明 R的所有内点组成的点集必是开集 .证 x, 由于x是集的内点 ,使x,.现证x,内的每个点都是的内点.事实上 ,xx,有x- x.取x- x,则. xx, 有 x- x x -xx- x

5、<x- x+x- x=x- x,即x，x, ，可见x是集的内点 .由点x的任意性 , x,.是开集 .9. 证明 R的闭包必是闭集 .证 设x是集的聚点 , 现证x, 即证或有x,或有x.事实上 ,若有x,则有x; 若x, 则由x是集的聚点 , 在点x的任邻域x,内有集的无穷多个点 . 由于这无穷多个点中的每一个或者是集的点 ,否则就是的聚点 , 即在其任邻域内有集的无穷多个点, 可见在x,内有集的无穷多个点 , 即x是集的聚点 , 亦即x,仍有x综上 ,若x是集的聚点 , 总有x . 因此必是闭集 .10. 证明Cantor闭区域套定理 .Cantor闭区域套定理 : 设是非空集序列

6、, 满足条件 , 以及, 则存在唯一的点, 使对任何 , 有.证 由, 充分大时有界 . 为叙述简便计 , 可设每个有界 .现以 R为例施证 .设 , , , .并设闭矩形. 易见有 , .因此 , 闭矩形列满足条件和. 据闭矩形套定理 , 存在唯一的点, 使对任何 , 有. 由, 对任何 , 有. 倘又有对任何成立 ,则有 . 由,对,有 , 因此就有.综上 ,存在唯一的点, 使对任何 , 有.11 举例说明 ：满足条件x x的点列x不一定收敛 . 解答 设 . 虽有, 但是. 即数列不收敛 .12. 设E 、F R为紧集 . 证明E F和E F为紧集 .证 E 和F是紧集 , 则它们是有界

7、闭集 . 于是E F和E F均为有界闭集 , 因此它们都是紧集 .13. 用定义证明点集是R中的紧集 .证 设本, 为的开覆盖 .现证存在中的有限子族覆盖. 事实上 , 设中的开区间覆盖单点集, 即 . 则由于, ,时 , ，即不仅覆盖单点集，且覆盖了中的点集. 又设中的开区间、 、分别覆盖中的点 、 、 ，则,， ，是中的有限子族 ，且该有限子族覆盖. 因此 , 的每个开覆盖存在有限子覆盖 , 是R中的紧集 .14. 应用HeineBorel定理直接证明：R中有界无限点集必有聚点 .证 设是R中的有界无限点集 , 可设. 易见的补集中的点必不是的聚点 . 反设集没有聚点 , 则有界闭集中的每个点都不是的聚点 . 于是 , 对,由于点不是集的聚点 , 存在点的邻域, 使在内仅有集的有限个点 .现设M, 在内仅有集的有限个点 .则M是的一个开覆盖 .由是有界闭集,据HeineBorel有限覆盖定理 , 必为紧集 ,因此存在M的有限子族M 覆盖.由于M 中仅有有限