第二章射影平面

1、第二章 射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。§1 射影直线与射影平面 1.1 中心射影与无穷远元素 定义1.1 设两条直线a和a在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a于A，如此得到的直线a与a的对应叫做以O为射心的中心射影。A叫做A从O投射到a上的对应点。OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。显然，A也叫A从O投射到a上的对应点。选取射心不同，就会得到不同的中心射影。如果，a和a相交于点C，则C是自对应点（二重点）。 在欧氏平面上，中心射影不是一一的。如果a上点P使

2、OPa，则P没有对应点。同样，在a上也存在一点Q，使OQa，则Q的对应点也不存在。点P和Q叫影消点。类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。于是，我们约定：约定1 在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P。平面上原有的点称为有穷远点。由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远

3、点。另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。约定2 平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l。平面内原有的直线称为有穷远直线。可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。约定3 空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：。空间中原有平面叫有穷远平面。定义1.2 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。例1 证明一组平行平面相交于一条无穷远直线。证 在组中的一个平面内任取一条直线l，设l上的无穷远点为P，过l作一平面与组中其它平面必相交于一组

4、平行直线，此组平行直线有公共的无穷远点P，于是P必在此组平行平面的每一个平面上。由于所取直线l的任意性，所以此组平行平面必有无数多个公共无穷远点，其轨迹为一条无穷远直线，即一组平行平面必相交于一条无穷远直线。例2 在一个中心射影中，O为射影中心，在一平面a的影消线上取定两点P，Q，在a平面上，任取一点R。求证PRQ经中心射影后等于常量。证明 因为P，Q为影消线上两点，O为射心，所以OPb，OQb。若PRQ在平面b内的射影为PRQ，则 OPRP，OQRQ于是POQ=PRQ 而POQ为定值，所以PRQ经射影后为一定值。12 射影直线和射影平面定义1.3 在欧氏直线上添加了一个无穷远点后所得到的直线

5、称为仿射直线。定义1.4 欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。下面我们给出欧氏空间的仿射平面的模型。设有以O为球心的球面，过球心O作平面a交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过O的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。大圆C为无穷远直线。半球面上的大圆弧为普通直线，相交于C上同一点的半大圆弧就是平行直线。定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点等同看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。射影直线是一条封闭直线，通常用圆作为射影直线的模型。定义1.6 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分

6、，即可得到射影平面（二维射影空间）。射影平面也是封闭的。因为射影直线是封闭的，一个点不能把它分成两部分，要两个不同的点才能把射影直线分成两段。射影直线上的三个点，不能排成唯一的顺序。同样，射影平面也与欧氏平面很不相同。在欧氏平面上一条直线可以把平面分成两个区域。在射影平面上，一条直线并不能把该平面分成两个区域。因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交。在欧氏平面上，两条相交直线可以把平面分成四个区域。而在射影平面上，由于直线是封闭的，而二直线有且只有一个交点，所以两直线只能把射影平面分成两个区域。在射影平面上，两个不同的点决定一条直线，两条不同的直线有且只有一个交点。 1.3

7、 图形的射影性质定义1.7 图形经过中心射影（透视对应）后不变的性质（量）称为图形的射影性质（射影不变量）。结合性、同素性都是射影性质。平行性不是射影性质。单比不是射影不变量。二次曲线经过中心射影的象仍为二次曲线，所以二次曲线是射影性质。但是，圆不是射影性质，因为存在一些中心射影会把圆变成不是圆的其它二次曲线。例 证明：（1）相交于影消线的二直线必成平行直线。 （2）单比不是射影不变量。证明 （1）设平面p上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P，经射影对应后，l1与l2的对应直线分别为l1与l2。由于射影对应保持结合性不变，所以P点的对应点是l1与l2的交点，即P点。由于l1与l2相交于无穷

8、远点，所以 l1l2。（2）设三直线a,b,c交于O点，c平分（a,b）。直线l1与l2分别交三直线于A，B，C和A，B，C，并使|AO|<|BO|且|AO|>|BO|,于是 (ABC)= (ABC)= 所以 |（ABC）|<1 , |（ABC）|>1因此单比不是射影不变量。定义1.8 一直线m上所有点A，B，C，D，的集合称为点列，记作：a（A，B，C，D，），直线m叫点列的底。定义1.9 一平面内经过一点O的所有直线a，b，c，的集合称为线束,记作：O（a，b，c，），点O叫线束的中心。显然点列与线束都是射影不变图形。14 德萨格（Desargues）定理定义1.1

9、0 平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两条直线的交点所组成的图形叫做三线形。德萨格定理是射影平面上的重要定理。许多定理以它为依据，利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题。德萨格定理 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。证明 设有三点形 ABC和ABC，它们的对应顶点连线AA，BB，CC交于一点O，其对应边的交点为BCBC=X，CACA=Y，ABAB=Z，下面分两种情况证明X，Y，Z在一直线上。（1） 三点形ABC和ABC分别在两个不同的平面a和a上，因为BBCC=O，所以和B，C， B，C和O共面，二直线BC和

10、 BC必相交，交点X在平面a和a的交线上。同理，CA与CA，AB与AB也相交，且相应的交点Y，Z都在二平面a和a的交线上。因此，X，Y，Z三点共线。（2）三点形ABC和ABC在同一个平面a内。通过O作不在平面a内的直线l，在直线l 上任取两点L，L，且不与O重合。因为AALL=O，所以A，A，L，L共面，LA与LA相交，记为LA LA= 同理LB LB= LC LC= 三点形所在的平面与平面a不同（如不在a内） 由于三点形LBC与LBC不同在一个平面内，LL，BB，CC都通过点O，BCBC=XCLCL= BLBL=由（1）可知X，共线，也就是说，X在平面所决定的平面内，但X在平面a内，则X在两

11、个不同的平面与平面a的交线上。同理可证Y，Z也在平面a与平面的交线上，所以X，Y，Z都在平面a与平面的交线上，于是X，Y，Z共线。德萨格定理的逆定理 如果两个三角形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点。定义1.11 如果两个三角形的对应边交点共线，则这条直线叫做透视轴。如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做透视中心。例1 过三角形ABC的三个顶点，任作三条直线AD，BE，CF，分别与对边交于D，E，F，且AD，BE，CF共点。若EFBC=X，FDCA=Y，DEAB=Z，则X，Y，Z三点共线。证明 在三角形DEF和三角形ABC中，由于AD，BE，CF共点，由萨格逆定理，可知X

12、，Y，Z三点共线。例2 证明三角形的三中线共点。证明 若三角形ABC三边中点分别为D，E，F，则EFBC，DEAB，DFAC。对三角形ABC和三角形DEF，它们的对应边交点共无穷远直线。由德萨格逆定理，可知其对应顶点的连线AD，BE，CF共点O。§2 齐次坐标2.1 齐次点坐标 在欧氏直线上建立了坐标系后，点与实数之间便建立了一一对应关系。但是，对于无穷远点却没有其对应坐标，为了刻画无穷远点，我们引入齐次点坐标。定义2.1 设欧氏直线上普通点P的坐标为x，则满足=x的两个数x1 ，x2（x20）叫做点P的一维齐次坐标，记作P（x1 ，x2）。x称为点P的非齐次坐标。而当x2=0时，即

13、（x1，0）（其中x10）或（1，0）规定为直线上无穷远点的齐次坐标。显然：（1） 不同时为0的两个数x1 ，x2唯一确定一点（x1 ，x2），或记x（x1 ，x2）。而（0，0）不表示任何点。（2） 若0，则（x1 ，x2）与（x1 ，x2）表示同一点，也就是任意一点的一维齐次坐标有无穷多组。（3） 如果x20，则（x1 ，x2）决定轴上的一个普通点。它的非齐次坐标为（4） 如果x2=0，x10，则（x1，0）或（1，0）规定为轴上无穷远点。无穷远点无非齐次坐标。定义2.2 笛氏坐标为（x，y）点的二维齐次坐标（x1，x2，x3）是指任意满足x=，y=的三个数x1，x2，x3（x30），记作

14、P（x1，x2，x3）。x，y称为点P的非齐次坐标。设有直线y=kx+b当k不变动而b变动时，方程表示一组平行线。其上点的非齐次坐标为（ x, kx+b）,其齐次坐标为（x, kx+b，1），或（1，k+b/x,1/x）,当从两个方向趋于无穷远时，得P的齐次坐标的极限为（1，k, 0）,这组数与b无关，只与k有关，所以它决定以k为方向的一组平行直线上的无穷远点的齐次坐标（ ，k，0） 定义2.3 任意三个有序实数x1，x2，0，其中，（x10）决定一个以k所确定的方向上的无穷远点，规定该无穷远点的齐次坐标为（x1，x2，0）或（1，k, 0）。当x1=0时，（0，x2，0）（x20）或（0，1

15、，0）规定为y轴方向上的无穷远点的齐次坐标。注意 没有以（0，0，0）为齐次坐标的点。x轴方向上的无穷远点的齐次坐标为（1，0，0）定理2.1 设一直线的非齐次方程为a1x + a2y + a3 = 0 (a12 +a220)则此直线的齐次方程为a1x1+a2x2+a3x3=0过原点的直线的齐次方程为a1x1+a2x2 =0定理2.2 无穷远直线的齐次方程为x3=0注意 无穷远直线无非齐次坐标方程。例 （1）求（5，6），（0，4），（3，0），（0，0）的齐次坐标。（2）求直线上2x y +1=0，2x13x2+x3=0上的无穷远点的坐标。解 （1）（5，6），（0，4），（3，0），（0，

16、0）的齐次坐标为（5，6，1），（0，4，1），（3，0，1），（0，0，1）。（2）2x y +1=0上的无穷远点为（1，2，0）。2x13x2+x3=0上的无穷远点为（1，0）或（3，2，0）2.2 齐次线坐标平面的点采用齐次坐标后，直线的方程为u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0。其中(x1，x2，x3)是直线上任一点的流动坐标，显然方程u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0。（0）与上方程表示同一直线定义2.4 一直线的齐次坐标方程中的系数u1，u2，u3叫做该直线的齐次线坐标。显然，u1，u2，u3（0）也可以作为直线u的齐次线坐标，因此直线的齐次线坐标有无

17、穷多组。定理2.3 一点x(x1，x2，x3)在一直线uu1，u2，u3上的充要条件是u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0定义2.5 在齐次线坐标中，一点的方程为以u1，u2，u3为流动线坐标所构成的方程，此方程能够且仅能够被过该点的动直线的坐标所适合。定理2.4 在齐次坐标中，一点a(a1，a2，a3)的方程是a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = 0反之，u1，u2，u3所构成的一次齐次方程必表示一点。注意 在线坐标下原点的方程为 u3=0。例1写出直线2x1+3x2x3=0，x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐标。解 直线2x1+3x2x3=0的齐次线坐标为2，3，1。x轴的

18、方程为y=0，即x2=0，所以x轴的齐次线坐标方程为0，1，0。同理 ，y轴的齐次线坐标为1，0，0。无穷远直线方程为x3=0，它的齐次线坐标为0，0，1。例2 写出点（0，1，2），原点，x轴上的无穷远点，y轴上的无穷远点的方程。解 点（0，1，2）的方程为 u2 + 2 u3 = 0。原点（0，0，1）的方程为u3 = 0。x轴上的无穷远点（1，0，0）的方程为u1 = 0。y轴上的无穷远点（0，1，0）的方程为u2 = 0。§3 对偶原理3.1 对偶图形定义3.1 “点”与“直线”叫做射影平面上的对偶元素。定义3.2 “过一点作一直线”与“在一直线上取一点”叫做对偶作图。定义3

19、.3 设有点和直线所组成的图形，将此图形中各元素改为它的对偶元素，各作图改为对偶作图。其结果形成另一图形，这两个图形叫做对偶图形。点列与线束是对偶图形。点场（点域）：属于同一平面的所有点的集合叫点场（点域），所在平面叫点场的底。线场（线域）：点场的对偶图形是属于同一平面的所有直线的集合，叫做线场（线域），所在平面叫做线场的底。例 作出下列图形的对偶图形 · ·解 对偶图形如下： · · · · ·完全四点形由无三点共线的四个点，以及连接其中任意两点的六条直线所构成的图形称为完全四点形 （图2-3）。四个点叫顶点，六条直线叫边

20、。三对对边的交点叫对边点 ，它们构成了对边三点形。 完全四线形由无三线共点的四条直线，以及其中任意两条直线的六个交点所构成的图形称为完全四线形（图2-4）。四条直线叫边，六个交点叫顶点。三对对顶点的连线叫对顶线，它们构成了对顶三线形。3.2 对偶命题与对偶原则定义3.4 在射影平面里设有点，直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中各元素改为它的对偶元素，各做图改为它的对偶做图，其结果形成另一个命题，这两个命题叫做平面对偶命题。对偶原则 在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。命题A的平面对偶命题记为PA。例1 A：通过不同两点必有一直线。PA：两不同直线必有一交点。

21、 例2 A：若两个完全四点形的五对对应边的交点在同一直线上，则其第六对对应边的交点也在此直线上，其四对对应顶点的连线必共点。 PA：若两个完全四线形的五对对应顶点的连线通过同一点，则其第六对对应顶点的连线也通过此点，其四对对应边的交点必共线。注意 对偶原则是射影几何所特有的，它只适用于几何元素的结合与顺序关系的命题，而不能应用于度量关系。3.3 代数对偶定理 3.1 两点a,b重合的条件为的秩为1。定理3.1两直线=0，=0重合的条件为的秩为1。定理3.2 两不同点a,b连线的齐次坐标方程为此直线的线坐标为定理3.2 两不同直线=0，=0的交点的方程为：这点的坐标为定理3.3 三个不同点a,b

22、,c共线的充要条件是：定理3.3 三条不同直线=0，=0,=0共点的充要条件是：定理3.4 以两个不同已知点a,b的连线为底的点列中任一点的齐次坐标能够写做l a+m b，其中 l , m 为不全为零的常数。定理3.4以两条不同直线=0，=0的交点为顶点的线束中任一直线的齐次坐标方程能够写做 l+m=0，其中 l , m 为不全为零的常数。推论1 三相异点a,b,c共线的充要条件是有三个不全为零的常数p,q,r使pai+qbi+rci=0 (i=1,2,3)推论1三相异直线=0，=0,=0共点的充要条件是有三个不全为零的常数p,q,r使p+q+r=0 定理3.4的证明证明 因为=0所以由定理3

23、.3，可知a+b与a,b共线。反过来，若点c为a,b两点连线上一点，则由定理3.3有=0因此，存在不全为0的三个数l，m，n,满足l ai+m bi+n ci=0 ( I = 1 , 2 , 3)但是，n0（否则a,b成为重合点），所以若令=-，=-则有c=a+b，（其中，不全为0）。即点c的坐标可以写成a+b。 例1 求证a(1,2,-1) , b ( -1,1,2) , c(3,0,-5)共线，并求l,m的值，使ci = l ai + m bi (I=1,2,3).解 由可知a,b,c共线，由解得 所以例2 用代数法证明德萨格定理证明设有三点形ABC与ABC的对应顶点连线共点于O，三对对边的交点为X，Y，Z。因为 O，A，A共线，由定理3.4，存在不全为0的常数使O = lA+lA同理，O = mB+mBO = nC+nC于是有 lA+lA-（ mB+mB）即 lA+ - mB=-（ lA-mB）=Z同理mB nC =-（ mB-nC）=XnC lA =-（ nC-lA）=Y上面三个式子相加有 X+Y+Z=0由定理3.4推论知X，Y，Z共线。§4 复元素4.1 二维空间的复元素复点 设有一对有序复数x=x+xi,y=y+yi,如果x,y都是实