西电工程数值方法下

1、Chapter5 常微分方程边值问题的数值解法§5.1 数学模型二阶常微分方程的边值问题如下：控制方程：其边界条件（Bounding Condition, B.C）可分为如下三类：（1）第一边值条件: （2）第二边值条件： （3）第三边值条件： 其中:第一边值条件给定了在边界处的函数值；第二边值条件给定了在边界处的导数值；第三边值条件为混合边界条件，给出了边界处的函数值和导数值之间的关系。当方程为线性方程时，其一般形式为：设其系数、及自由项均为区间内的连续已知函数，故方程为变系数的线性方程，为消除其中的一阶项，处理方法如下：将式两端乘以，即得：由求导公式，则上式可改写为： (1.3a

2、)令：，则方程（1.3a）可以新变量表为如下形式：此形式仍为二阶变系数线性常微分方程，但其中已不显含一阶导数项，而边值条件的形式不变。这表明，对于一般形式的二阶常微分方程，总可以通过上述变量变换的处理将其转化成不含一阶导数项的形式。为此，在下面考虑线性方程的情况时，可以假设方程中不再显含项。对于方程在多数情况下，无法求得其解析解，故只能采用数值方法求解。关于边值问题的数值解法有多种，本章只介绍其中比较常用的两种方法：差分法和试射法。§5.2 解线性边值问题的差分方法§5.2.1差分方程的建立现对线性方程的情况来讨论之，设方程的形式为：1. 将区间离散化：取等间距将区间划分为

3、等分，诸结点为：如此，我们将原在上求解方程解的问题转化为求各结点上近似解值问题。为此，我们首先应将方程中的变量进行离散化处理，其具体作法是：2. 构造差分方程对内部结点，利用二阶中心差商来近似原二阶微商，由二阶中心差商的关系式： 其中，将它代入方程中，得在结点处所满足的关系式：其中，在上式中，若略去截断误差项（它是间距的二阶小量），则可得原微分方程的近似差分方程为：这是含有共个未知数的线性方程组，而方程的个数为个，欲使此方程组有唯一解，还需由两个边值条件补充两个方程。对于第一边值条件，可直接由给定的边值条件给出两个补充方程，即：将方程与联立即构成了第一边值问题完整的差分方程组。对于第二和第三边

4、值条件，由于两者均给出了边界处的一阶导数信息，相应于差分方程的形式，对于边界的导数值或表达式，我们亦须用差商来近似表示之。因为我们无法利用区间之外结点的信息，所以在引进两个边界导数的差分近似表达式时，就不能再利用中心差商公式。若要求的截断误差为一阶的，即，则我们可利用简单的前、后差商表达式来近似原导数边值条件，即有：若要求的截断误差为二阶的，即，则原导数边值条件的差商近似表示需利用Newton等距插值公式（补图）：前插公式： 后插公式： (2.6b)其中为向前差分符号。将方程、（2.6b）与方程组联立，即构成了第二边值问题完整的差分方程组。和(2.6b)式，其边值条件可以差分方程近似表为： (

5、2.7b) 将方程、(2.7b)与方程组联立，即构成了第三边值问题完整的差分方程组。至此，我们通过离散化的处理，将原微分方程的边值问题近似转化成为一个差分方程组（线性方程组）的边值问题了。§5.2.2 差分方程组的解法追赶法由上述建立的差分方程组，其系数矩阵为三对角形的，故通常利用求解线性方程组的追赶方法求解。现以第一边值问题的差分方程组求解为例：分别将代入内部结点和的差分方程中，消去未知数，则上差分方程组可表为： 此方程组的系数矩阵是三对角形，且（即主对角元素均为主元素），故可按自然顺序利用追赶法求解，其计算步骤如下：先从方程将上式代入方程一般可设有下列递推关系式：为了求得为：从而

6、有的递推关系式为： 即由上式，从开始，可逐次求出之值，首先需要之值。时，由B.C，则有：从而应有： 这样便可利用递推公式按下标从小到大的顺序逐个求得系数，此过程称为追的过程。而求的过程正好相反。因为已知，即：，依次往上逐次求解，即可求得。求的过程中下标由大到小，故此过程称为赶的过程。对于系数矩阵呈三对角形式的线性方程组，追赶法是一种十分有效的方法，它在微分方程边值问题的数值解法中有着广泛的应用。例1 （计算方法武大版）解:取步长,则结点,按(2.8)式,其差分方程为:其解为:例2 (常微分方程数值解法南大)解：取，结点其差分方程为： （a） （b）其中： （c）由于，由（b）式得，由递推式（c

7、）逐次解得：再由和（b）式逐次求得：§5.3 差分算法的稳定性与解的收敛性稳定性和收敛性是反映某一算法好坏的两个重要的概念，两者是不同的两个概念。本节将对差分算法的稳定性和解的收敛性进行简单的讨论。 算法的稳定性所谓算法的稳定性简单地讲就是指在计算过程中的某一扰动误差不会在后续的计算中被逐渐放大传播。稳定性是反映某一计算步骤中出现的误差对计算结果的影响。追赶法在解上述差分方程的过程中，具有其计算误差在传播中不增长的优点，即：在第i个节点上对的计算误差，在左右相邻的两节点上该误差不会增长。下面对此进行定量的分析证明：设：在计算系数中产生一误差，由此影响到计算中产生了误差。现证：事实上，

8、由于和均满足递推关系式中的第一式，即有：将与中第一式相减，则有：我们用归纳法可证设：由式，可知：再由式可知：再看求的过程，从，同上类似推导，可得如下关系式：于是，由和可知：，。此结果表明：追赶法在计算过程中某一计算误差不会在计算过程中被放大传播，即该算法是稳定的。差分方程解的收敛性所谓收敛性是反映所用计算格式（公式）自身的截断误差对计算结果的影响。设：是边值问题的精确解在结点上的数值，是差分方程在结点上的数值解，则两者误差：利用极值原理和推论以及数学上的推导处理（可参见计算方法武大版）.可最终获得误差的上限估计式为:其中，为的四阶导数。从此估计式可见，误差的上限是与三项因子成正比的，当边值问题

9、给定之后，因子均为定值，在计算中是不变的。从而易见，当步长，误差。这表明：当步长逐渐缩短时，差分方程的解将逐渐收敛于原微分方程边值问题的精确解。§5.4 试射法（Shooting Method）基本作法：将边值问题转化为初值问题，并通过给定和修正初始斜率来求解。现仅以第一边值问题为例介绍试射方法。设二阶方程的第一边值问题： 试射法的出发点就是设法确定初值点处的斜率之值，使方程满足初值问题的解亦能满足边值问题，即。也即意味着要从微分方程的解曲线经过点而具有不同初值斜率的积分曲线中，去寻找一条经过点的曲线。问题的关键是如何选取一个能够满足上述要求的初值斜率值。试射法顾名思义就是：根据经验

10、，或对方程进行定性分析，或按照实际问题中存在的运动规律，选取一个初值斜率，以这个斜率进行试算，即解如下初值问题：获得相应的一个解曲线。若，或（允许误差），则即为原边值问题和的解。否则，我们可依据与的差距来适当地将初值斜率值进行修正，修正公式：再以作为初始斜率，解如下初值问题：解上方程可得另一解，同前，若，或满足，则即为所求之解，否则再对初始斜率值进行适当修正，最简单的修正办法是同时利用和的信息，通过线性插值方法来求出新的初始斜率值，即：以新的初始斜率重复上述求解过程，直到获得满足精度要求的解为止。可见，试射法就类似于射击校正问题，它是通过不断调整修正初射的角度（斜率），使弹着点最终能落在给定的

11、目标点或该点邻近处（补图）。从理论上讲，试射法对于高阶的微分方程或方程组也是适用的，然而在实际使用中，可能遇到不只一个未知初值需做选择，此时尝试的工作量将会大大的增加。因此，该法通常仅适用于只有一个未知初值的情况。例 用试射法解边值问题：给定精度解：取步长，取在初始点处的初始斜率，解如下初值问题：用龙格-库塔法解得相应解的终点值，它与给定值相差尚远，故应对初始斜率进行修正，由修正公式得：以作为初射斜率，再重新解如下初值问题：得故再应对初射斜率值进行修正，由修正公式，则得：以为初射斜率，解初始问题：得，显然它离目标点值又近了一些。重复上述过程，当以为初射斜率时，解得，此时有。则近似解即为原边值问

12、题的满足精度要求的数值解。有关计算结果见下表：0000000000.10.10.155-0.441-0.4820.20.20.309-0.869-0.9480.90.6670.7260.2560.4971.00.6460.6100.6850.999§5.5 非线性差分方程及迭代解法 非线性差分方程设二阶非线性第一类边值问题为：其中为的非线性函数。（1） 将积分区间离散化：取步长为，结点为（2） 在诸内点处以一阶和二阶中心差商近似方程中的一阶微商和二阶微商，即有：（3） 由边条列补充方程：将和联立组成了一个关于的完整的方程组，但由于中的右端项为变量的非线性函数，故完整方程组为非线性的方

13、程，所以不能直接求解，通常须利用迭代法求其近似解。在此我们介绍两种迭代方法：Jacobi法和Newton-Raphson法。Jacobi法最简单的迭代方法即为Jacobi法，其具体实施方法如下：先将初始值（人为给定）近似解代入方程组的右端项，即有中使之成为已知量，此时完整方程组、便成为关于未知量的线性方程组，可利用通常的求解线性方程组的各种方法直接求解。设求得的新解为，然后再以为初始解，重复上述迭代过程求出更好的近似解。其具体迭代求解格式为： 可以证明：在一定条件下，此种迭代过程是收敛的，且当步长，其数值（差分）解收敛于原边值问题、的精确解。§5.5.3 Newton-Raphson

14、法设所考虑的边值问题的控制方程中不含一阶导数项，即为 其中为的非线性函数，且满足：1. 在中，为的连续函数；2. 对于，任意两个函数值，存在着一个常数，使得：成立；3. 偏导数连续，且。在此情况下，我们可利用Newton-Raphson法迭代方法求解边值问题的数值解。首先，同前处理，将积分区间离散化为（n+1）个结点，在每一内点构造一个差分方程： Chapter6椭圆型偏微分方程的数值解法§6.1概述方程椭圆型偏微分方程是数学、物理及传热学、电磁学、弹性力学、流体力学等工程科学技术问题中常遇到的一类重要的方程。在平面域G上，椭圆型二阶偏微分方程的一般形式为：式中：为方程待求的解函数，

15、而均为平面域G上自变量的连续已知函数，且与解函数U无关。若.，则方程可表为：若 其中 此方程称为Laplace（拉普拉斯）方程，它描述的是平面域G内无源的静电磁场或稳定温度场的分布规律，或等截面直杆的扭转时杆截面的翘曲分布。引进Laplace算子符号：§6.1.2 边界条件（B.C）(补图)在实际应用中，通常需要求解函数在区间G内满足椭圆型偏微分方程，并在G的边界上满足给定的边界条件的解，即所谓的边值问题。如同常微分方程的边值问题，椭圆型二阶偏微分方程的边界条件（B.C）通常有以下三类：（1） 第一类B.C： 其中为定义在上的已知函数，即在平面域G的全部边界上给出了函数U的分布规律。

16、在数理方程中，将寻求满足控制方程和B.C的定解问题称为Dirichlet（狄利赫莱）问题。（2） 第二类B.C： 其中n表示边界曲线的“外法线”方向。此B.C给出了函数U在所有边界点上其外法线方向上的梯度（导数）分布规律。在数理方程中，将寻求满足控制方程和B.C的定解问题称为Neumann（牛曼）问题。（3） 第三类B.C： 其中、均为定义在上的已知函数，且。此B.C给出在所有边界上函数U之值与其外法线方向导数之间的关系式。在数理方程中，将寻求满足控制方程和B.C的定解问题称为Robin（诺宾）问题。偏微分方程边值问题的求解是一个较为复杂的问题，除少数经典问题外，要求得问题的精确解一般是十分困

17、难的。因此，人们不得不着眼于各种近似的数值解法，其中工程上最常用的数值解法有两种：有限差分法和有限单元法。本章将着重介绍前者。§6.2 差分方程构建现以平面域G上的二阶泊松方程为例，讨论其差分方程的构建及三种差分格式。控制方程：其差分方程的构建主要由三部分步骤组成：1）将求解区域G离散化；2）将控制微分方程以数值差商的形式表出；3）由B.C构造补充方程（将在下一节讨论）。（1） 区域G离散化如图（补图），我们用平行于和轴的两组平行线族，将问题的平面域G离散化：两族相交直线的任一交点（网格）（）的坐标为：其中分别为网格沿轴的步长。显然，若时，为矩形网格；当时，为正方形网格。所有属于平面

18、域G的网格点称为内结点，如图中所有划“o”之点。（2） 微分方程的差分逼近取正方形网格。设：是区域G的内结点，简记为（），写出控制方程在点（）处的表达式，即有：现我们用二阶中心差商近似代替方程中的二阶微商，即：将式代入方程中，则得到的近似解所满足的差分组为：由于方程中只有结点及其四个菱形端点上的值出现（补图），故通常称为“五点菱形格式”。仿照拉氏算子的定义，将此种格式定义为一种差分算子，用符号表示，即：从而差分方程亦可用五点菱形差分算子简写为： （2.4a）它与原微分方程的逼近误差为： 其中：；，分别表示U对和的四阶偏导数。若以表示在区域G内所有四阶偏导数绝对值的上确界，则可得逼近误差的上限估

19、计式为：此时表明：“五点菱形差分格式”的截断误差为二阶的，记为。式表明：差分逼近是网格点及其四个邻点上的U值的线性组合。由此产生这样的想法：能否可用网格点及其另外四个矩形结点的U值去作线性组合呢？这一问题的回答是肯定的，事实上，我们只要简单地将网格旋转，即可得式的另一种差分逼近格式的方程为：同前，我们可定义“五点矩形格式”的差分算子为：则差分方程可简记为： （2.8a）其逼近误差为： 式中：；点均在闭正方形域：之中。令为所有四阶偏导数绝对值在G内的上确界。则逼近误差的上限估计式可表为：此式表明：“五点矩形差分格式”的截断误差亦为二阶的，记为。欲提高差分逼近的精确度，则须引入更多的结点信息。下面

20、直接给出逼近拉氏算子的“九点格式”的差分算子，它是“五点菱形差分算子”和“五点矩形差分算子”的线性组合算子，其具体表达式为： 该差分算子的逼近误差的上限估计为：式中：是在区域G上的所有8阶偏导数绝对值的上确界。这表明“九点格式”的差分算子其截断误差为六阶的，即，其逼近精度将大大地提高。§6.3 边界条件的处理由前构造的差分方程是针对区域G内各结点的，在靠近边界的各点的方程中，将需要边界之外有关结点的函数U之信息，如前图中的“”点。而这些点上的U值亦是未知的。这样，由内结点列出的差分方程的数目将少于未知数的个数，这些均须根据给定的边界条件建立补充的差分方程，使差分方程组中方程的数目与未

21、知数个数一致。§6.3.1第一类B.C的处理 （1） 若区域G的边界恰为规则的矩形，则我们进行网格划分时，就将边界结点设置在边界线上，如下图中的A、B点。此时，对于任何五点格式或九点格式，我们都可以根据给定的第一B.C之值，简单地给出边界上各个节点的函数值：，这即为补充方程。（2） 对于一般情形，区域G的边界是由一般曲线组成，它们难得包含网格的一个结点，如下图所示（补图）。为了保证计算的精确度，就需根据边界曲线与网格节点之间所处的位置以及问题的精确度要求，采用不同的近似处理方法。通常有以下三种处理方法。1） 零次插值（简单迁移）即对每一靠近边界曲线的内结点，如图中的点，选定一个与之最

22、近的边界上点，使：其中Q为上离P的某一最近点，为简单起见亦可取： x方向上最近点或 y方向上最近点上式即为补充方程。由于将用之值代替，可以看成是在y方向、在P点处用处之值的零次多项式插值的结果。同理可视为是在x方向用处之值的零次多项式插值的结果，故此近似处理方法称为零次插值方法。对于为光滑函数的情况，由微分学的中值定理可知：当步长时，这种插值产生的局部误差为一阶的，即。2） 一次插值这是一种比较准确的处理方法。它不是直接取定靠近边界之P点的之值，而是沿着水平或铅垂网格线，利用线性插值方法确定P点之值。参见下图（补图），设U沿x方向呈线性分布，则由比例关系：从而线性插值公式为： （x方向）同理：

23、 （y方向） 上式即为补充方程。其中，和为定值；、为未知数，即将未知数用一定值和一未知数的线性插值形式表出，并没有增加任何新的未知数。若函数为充分光滑的，则这种线性插值产生的局部误差为二阶的，。3） 二次内插即在节点P上列不等距的差分方程。在点P处用以下二阶差商公式近似代替方程中二阶微商，即有：代入方程中，由此导出在P点的差分方程为： 上式即为补充方程。这种二次内插处理相对较为复杂，但精确度并不高，由它产生的局部误差为。此外，它还有一个很大的缺点：破坏了差分方程组的对称正定性。§6.3.2 第二、三B.C的处理这两种边值条件可统一写成如下形式：当时，式即为第二B.C；当时，即为第三B

24、.C。由于其边界条件中含有U的法向导数，故它的近似处理要比第一B.C复杂些，下面分两种情况讨论之。（1）矩形网格的节点P刚好落在边界曲线上此时，就在P点直接由B.C列出一个差分方程，实现这个问题的关键是如何用差分近似代替法向导数。边界上P点的外法向与坐标轴平行（补图）此时，显然有：代入B.C中，则得到U在P点应近似满足的差分方程，即补充方程为：边界上P点的外法向与坐标轴不平行（补图）此时，显然有： 代入B.C中，则得U在P点应近似满足的差分方程，即补充方程为： （3.6b）（2）网格的边界点P不在边界曲线上（补图）此时仍按（1）中的情况在P点列差分方程，但需将上与P点相近的某点的外法向作为P点

25、的外法向，并近似令（3.6b）中的。至此，我们对正方形网格的情况其各种边界条件进行了近似处理，从而获得了补充方程，将原泊松方程的边值问题转化为一个完整的线性代数方程组求解。数学上可以证明：该差分方程组的解存在且唯一，并当步长，其解收敛于原微分方程的精确解。证明可参见武大、山大编计算方法。例 （高应才编数学物理方程及其数值解法）求解拉氏方程的第一B.C问题：无源稳定的温度场的分布。其中的取值如图所示（补图）。解：用方形网格，取，共有6个内结点，14个边界结点，所有内结点的函数U值是未知的，所有边界结点的函数U之值均已给定。计算结果如下：Chapter7 加权残值方法简介本章参考文献：1.徐次达，

26、加权残值法和有限元混合法，应用数学和力学第32期讲义2.徐文焕，陈虬，加权余量法在结构分析中的应用，铁道版，19853.邱吉宝，加权残值法的理论与应用，宇航版，19914.徐次达，固体力学加权残值法，同济版，1987§7.1 方法的基本概念大量的应用科学和工程学问题最终都归结为求解微分方程（组）的边值问题或初值问题，这个微分方程（组）可以是常微分方程（组）或偏微分方程（组），方程（组）可以是线性的，亦可以是非线性的。众所周知，对于微分方程（组）的边值问题或初值问题，除极少数经典问题之外，解析方法是无能为力的，只能依赖于各种数值方法，如前几章学习的常微分方程初值问题的数值解法，常微分方

27、程边值问题的数值解法和椭圆型偏微分方程边值问题的数值解法等等。本章介绍的加权残值法（Method of Weighted Residuals，简称MWR）亦是一种可以直接从微分方程（组）中求解问题近似解答的数学方法。该方法求解问题的基本作法如下：首先假设一个试解函数（trial function）作为微分方程边值问题或初值问题的近似解，在此试函数中含有待定的参数或待定的函数式。这一试函数的假设取决于对问题解答的初步了解或经验。将试解函数分别代入问题的微分控制方程和边界条件或初始条件中，一般不能完全满足，从而分别在方程的域内和边界S上产生了内部和边界的残值（residuals），这些残值均为试解

28、函数中待定参数或待定函数的函数，即残值的大小取决于试解函数中的待定参数和待定函数的选择。按某种平均加权意义将上述内部和边界的残值加以消除或使它们极小化，从中确定使残值为零或极小化的试解函数中待定参数的取值或待定函数的具体表达式。再将以上所确定的待定参数值或待定函数的表达式回代到试解函数中，即获得了原微分方程边值或初值问题的近似解，该解答相对于精确解的残值（误差）在加权平均意义下为零或最小。以下以二维微分方程边值问题为例，阐述加权残值方法的求解过程：设微分控制方程为：边界条件为：式中：为待求的解答函数，分别为微分算子，均为不含u的已知函数。现假设边值问题和式的试解函数为：式中，为待定的参数；为试

29、函数项（已知函数）。将式分别代入和式之中，一般是不会完全满足的，从而在域内和边界S上分别产生了残值为：为消除这些残值，选择内部权函数和边界权函数，使和分别与残值和加权平均为零，即有：据此，即可得到以待定参数为未知量的代数方程组，从中解得参数。再将回代到式中，则式即成为满足微分方程和边界条件的近似解答，且该解答就是在加权平均意义下残值最小或为零的解答。§7.2 加权残值法的方法类型加权残值法是一大类求解方法，包括许多种方法类型，通常关于各种方法的类型有两种分类方式。分类方式一按所选试解函数的情况进行分类，可分为如下三类基本方法：内部法若试解函数已满足了B.C式，但不满足微分方程式，此种

30、试解函数称为边界型。对于边界型试函数，显然有：，此时，我们只需利用式消除微分方程在V域内的残值。外部法若试解函数项已满足了微分方程式，但不满足B.C式，此种试解函数称为外部型。对于外部型试函数，显然有：，此时，我们只需利用式消除边界条件在S边界面上的残值。混合法若试解函数项既不满足微分方程式，也不满足B.C式，此种试函数称为混合型。对于混合型试函数，显然有，此时，我们须同时利用和式消除V域内和边界面S上的残值和。分类方式二按所取的权函数的形式进行分类，可分为如下五类基本方法：最小二乘法（Least Squares Method）配点法（Collocation Method）子域法（Subdom

31、ain Method）伽辽金法（Galerkin Method）矩量法（Method of Moment）这五种基本方法的原理将在下节介绍。§7.3 五种基本方法的基本原理最小二乘法该法是在最小二乘意义下，使问题的试解函数与其精确解之间的残值最小化的方法。取问题的试解函数为： ，从而在域内V和边界S上的残值分别为：。从而总残值的平方和函数为：当试解函数中的各试函数项给定之后，总残值的平方和仅为其中待定系数的函数。欲使为最小，应用函数极值的必要条件，即有：将式代入上式，则有：将此式与式和式对比可见，分别为内部V和边界S上的权函数，即有：显而易见，方程是具有个方程的代数方程组，其中恰含有

32、2n个待定系数，从中可联立解得，回代到式中，即可得残值最小二乘意义下的问题的近似解。配点法在配点法中，令残值在一些指定的点上为零。若试解函数中含有n个待定的参数，则可以在求解域内和边界S上共选定n个点，令残值在这n个点处为零，这样便可以得n个条件方程，从中可解出n个待定的参数。这些被选定的点即称为配点。在配点法中，我们是以笛拉克函数（Dirac function）作为权函数。笛拉克函数又称为单位脉冲函数，它具有如下性质：（1）一维单位脉冲函数基本性质：（2）二维单位脉冲函数基本性质现以函数作为权函数，在原问题的域内或边界S上对残值进行配点处理如下：一维问题的配点公式：设残值R表达式中含有个待定

33、的参数，则在第点处的配点为：二维问题的配点公式：设残值R表达式中含有个待定的参数，则在处的配点为：现使残值R在所有配点之处均为零，从而有式即为关于试函数，或中待定参数，（）为未知量的代数方程组，从中解得，（），即得问题的近似解，这一近似解在所有配点之处与精确解的误差均为零。配点法的计算只是在若干个离散点上进行，不需做繁难的积分，故此法是加权残值法中最为简单的一种方法。子域法（Subdomain Method）若试解函数中包含n个待定参数，则我们首先将问题的求解域V划分为n个子域（单元），并取各子域上的权函数为：使内部残差以为权在各子域上为零，即可列出各子域消除残值方程式为：式的含义为：在每一子

34、域内，使残值的加权积分为零。从中可解出试解函数中待定的参数。随着试解函数中待定参数数目n的增加，子域的数目n亦增加，从而使控制方程在更多更小的子域范围内得以满足，从而所求得的解答将越趋于精确。可见，这一方法与有限单元方法的概念有相似之处，但并无结点的设立。如果在各个子域（单元）里分别选取试函数，那么，它的求解在形式上将类似于有限元法。此外，在此法中，若试解函数适用于全域V，则再无须列出跨子域的连续性条件。若对每一子域构造一个试解函数，则须考虑跨子域的连续性条件。伽辽金法（Galerkin Method）伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出并以其名命名的方法，这一方法是里兹变分法的推广，但从它的计算形

35、式上来看，可以把它作为加权残值方法的一种，这种方法是将试解函数中的基函数作为权函数。设：试解函数若取中的基函数作为权函数，即：并使残值的加权积分为零，即有：上式与伽辽金法的积分公式完全相同，故可将伽辽金法作为加权残值法中的一种。式的数学含义是：残值函数R与试解函数中的每一基函数均是正交的。从数学角度来分析，如果一个函数R与一个完备的函数集中的每一项均正交，则该函数R必为零。若，显然试解函数必为原问题的精确解答。从这一点出发，可作为论证加权残值法收敛性的基础。矩量法（Method of Moment）矩量法和伽辽金法相类似，它也是采用一个完备的函数集作为权函数，但在伽辽金法中权函数和试函数均采用

36、同一函数集，而在矩量法中，采用的是坐标幂函数完备基作为权函数。在一维问题中，权函数可取为:，即从而残值的加权积分为零的表达式为上式分别为残差R的零次矩，一次矩，n-1次矩。所取权函数的总数应等于试解函数中待定参数的总数。在一次近似中，权函数为“1”，其结果与子域法相同。在二维问题中，权函数可取为：则加权积分为零的表达式为：式和式为矩量法求解试解函数中待定参数的代数方程组，根据待定参数的总数，选取相应数目的权函数，导出同样数目的矩量法方程来求解。以上，简要地介绍了以不同权函数形式分类的五种经典的加权残值法。随着计算机的应用，加权残值法也得到了发展，特别适合于使用计算机的现代加权残值法的发展更为迅

37、速，出现了许多由五种经典加权残值法相互嫁接的新方法，如：最小二乘配点法，伽辽金配点法，最小二乘子域法，矩量配点法等等。§7.4 加权残值法解固体力学问题固端均载梁（超静定结构）求梁的挠曲线。梁的挠度控制微分方程：边界条件：处，处，a)内部法取梁挠度的试解函数为：其中C是待求的参数。当，当，这个试解函数已全部满足两端固定的边界条件，将代入控制方程中，从而内部残值为：（1）最小二乘法消除残值的方程式为：由此解得：从而得梁的挠度曲线的解答为：此解即为材料力学中的精确解。梁中点的挠度为：，误差为零。（2）配点法因试解函数中只含有一个待定参数，故只需在问题求解域内配置一个点，相应在配点处的消除

38、残值方程式为：配点解得（结果同前）b)混合法取，x的4次多项式函数，其中待定参数共五个。取的依据：（1）梁的挠度微分方程，为常量，则中变量x的最高次幂只能为4；（2）梁的控制微分方程式有一个，B.C有4个，共有五个方程式可确定五个待定的参数。将代入方程和B.C，则有：从中解得：于是求得的梁的挠度曲线方程为：结果同前。简支梁受不等集度载荷（补图）求梁的挠曲线。控制方程：B.C：处，处，子域法将梁分为两个子域：。取试解函数可见可以满足简支梁的所有B.C。将分别代入两个子域的内部控制方程中，则有内部残值分别为：则消除残值的积分表达式为：可得：从中解得：从而梁的挠曲线方程为：梁中心点处的挠度为：，残值

39、为零（准确解答）。压杆的临界力两端铰支压杆，受轴向力P作用（补图），求杆不发生屈曲（失稳）的临界压力。梁纵向弯曲的微分方程：式中：x截面处的弯矩；x截面处的挠度B.C：取试解函数，待定参数已满足所有B.C。将代入控制方程中，则有内部残差：上式中由于待定参数，从中解得杆的临界压力为：（准确解）矩形等直杆的扭转问题（补图）杆扭转薄膜比拟方程：式中：待求的薄膜曲面方程，即翘曲面方程（平截面假设此时不再成立）；作用于薄膜上的横向压力集度，为常量；薄膜中的张力，为常量。B.C：在矩形截面的周边上，由于杆横截面关于轴呈对称，故取试解函数为：其中c为待定系数。显见已满足B.C，将代入方程中，则有内部残值为：

40、（c待定）利用最小二乘法求解，其消除残值的方程式为：积分为：上式为待定参数C的一元二次方程。从中解得：（舍去零解）令：其中：剪切弹性模量，单位长度的扭转角。将C代入中，则得薄膜的曲面方程为：对正方形截面等直扭杆，即，则截面扭转的翘曲方程为：由此可计算出最大剪切应力在边的中点处，其值为：在S. Timoshenko的弹性力学中，其解答，与相对误差。§7.5 加权残值法解场问题§7.5.1一维热传导问题（邱吉宝）平板两表面温度分别为，求沿板厚x方向的温度场分布。控制微分方程： （二阶变系数线性常微分方程） （a）B.C： （第一类B.C.） （b）式中：热传导系数，其值与温度之

41、关系为如下线性形式，即：其中，均为常量。现引入无量纲变量，令：并令：，则原热传导方程和B.C可以无量纲变量表为：方程： （）B.C： （）本问题的精确解为：现取（）的试解函数为： （c）其中c为待定参数。显然，此试解函数已满足所有B.C（）式，将其代入方程（）中，得内部残差为： （d）下面分别采用五种基本方法求解。1. 配点法选为配点，令残差在配点之处为零，即：求得参数（舍去一个不合适的解）从而得近似解为2子域法取整个区域为子域，令内部残差在区域内积分为零，即：解得从而得近似解为：3. 矩量法因试解函数中只含一个待定参数，故只需使残差的零阶矩为零，从而有：解得，结果完全同子域法。4. 伽辽金法

42、取试解函数中的基函数为权函数，即：代入伽辽金消除残差的积分方程中，有：从中解得： （舍去一个不合适的解）从而得近似解为5. 最小二乘法其权函数为：代入最小二乘法的消残积分方程中，得：解得：（舍去一个不合适的解）从而得近似解为五种方法结果的对比见下表：方法配点法子域法（矩量法）伽辽金法最小二乘法精确解误差（%）误差（%）误差（%）误差（%）0.10.1297.90.1307.10.1297.90.12212.90.1400.250.3094.30.3133.10.3113.70.29688.10.3230.500.5790.30.5830.30.5880.20.56233.20.5810.750.8090.70.8131.20.8111.00.79680.80.8030.900.9250.10.9300.650.9290.50.92250.10.924§7.5.2 二维静电磁场问题静电场、磁场以及恒定电流场问题的数学描述均为椭圆型偏微分方程的边值问题。为不失一般性，现考虑一内部具有电荷源，同时具有三类B.C的二维静电场问题。控制方程：（Possion方程）边界条件：（第一类