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文档简介

1、第五节平面及其方程Plain and Equation教学目的: 理解平面方程的概念;熟练掌握平面的点法式方程、一般方程;会判断两平面间的位置关系,并会建立平面方程.课题: 平面的点法式方程;平面的一般方程;两平面的夹角、平行与垂直的条件.教学重点: 空间平面的图形及其方程教学难点: 平面方程的求解及两平面关系的判定教学方法: 精讲平面的点法式方程,精炼用点法式求平面方程及两平面平行与垂直的条件.教学内容:一、平面的点法式方程垂直与平面的任何非零向量称为该平面的法向量。易知，平面内任一向量都与其法向量垂直.设在空间直角坐标系中,一平面经过点且有法向量,如教材图7-18所示.下面讨论平面上的点的

2、坐标对应的方程,即求平面的方程.在平面上任取一点,设其坐标为,作向量.则在平面内.因为向量垂直于平面,因此于是又,故(1)这就是平面的方程.这种形式的方程是由平面上的一个点的坐标和平面的法向量确定的,因此称之为平面的点法式方程.【例1】已知平面过点,法向量,求平面的方程.解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为即【例2】已知一平面过三点,求此平面的方程.解由于都在平面内,因此也在平面内,设为的法向量,则故可取而所以于是所求的平面方程为即【例3】求过点且平行于已知平面的平面的方程.解由已知平面方程可知其法向量由于所求平面与已知平面平行,故也可作为所求平面的法向量,代入点法式方程得所求平面方程为即

3、二、平面的一般方程将(1)式展开得令,则方程(1)可化为(2)其中不全为零.方程(2)称为平面的一般方程,向量为平面的法向量.【例4】求过点的平面方程,其中不全为零.解设所求平面方程为(3)由于点在平面上,故它们的坐标满足方程(3),即解之得将其代入(3),得所求的方程为即(4)其中依次称为该平面在轴上的截距,方程(4)称为平面的截距式方程.【例5】求通过轴和点的平面方程.解由于平面过轴,设其方程为,又平面过点,则即,取,于是所求平面方程为.三、两平面的夹角、平行与垂直的条件两相交平面的夹角就是它们的法向量的夹角.一般说来,两个平面的夹角有两个,它们互补,我们规定两平面的夹角是其中较小者.设平

4、面,其法向量;,其中向量;那么平面和的夹角应是或中的较小者,因此,且如果两平面平行,则它们的法向量平行,反之亦然.由此可得两平面和平行的充要条件是同理，如果两平面垂直，则其法向量互相垂直，反之亦然.由此可得两平面和垂直得充要条件是设平面,点,点到平面的距离为【例6】求两平面和的夹角.解设两平面的夹角为,则故【例7】一平面通过点和点,且垂直于平面,求其方程.解设所求平面的法向量为因为在平面内,所以在平面上,因此,故有又所求平面与已知平面垂直,因此其法向量互相垂直,故有由以上两式得,取,得所求平面的方程为即课堂练习:1. 求满足下列条件的平面方程:(1) 过原点且法向量;(2) 在轴上的截距分别是.小结:学习了平面的点法式和一般方程,两平面的夹角、平行与垂直的充要条

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