空间角与距离和空间向量_图文

1、空间角与距离和空间向量直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角:通过平移的变换手段化归,具体途径有:中位线、补形法等。直线和平面所成的角:通过作直线射影的作图法得到。化归为平面角的度量,化归途径有:定义法,三垂线定理法,棱的垂面法及面积射影法。距离:异面直线的距离,点面距离,线面距离及面面距离。异面直线的距离:除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离和面面距离。ABC所成的角的距离为(2 (B2(C142 (C2 3 所成角为 ;所成的角的正切值为 ;BB D D 为 。和a 2则此二面角的度数是 .为60的周长的最小值为 .A 1B 1D 1C 1A

2、BCDEO在空间,具有大小和方向的量叫做向量.长度相等且方向相同的有向线段表示同一空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广.(=3是单位向量;a b利用法向量可求二面角的平面角定理:设,m n 分别是二面角l -中平面则,m n所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.cos |m n m n (m ,n 为平面例70. 如图直角梯形,O A =AB =1,SO 平轴建立直角坐标系O-xyz .数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体答案例51. A 例52.B 例53B 例54.B 例55.C 例56.A 例57. (1450(222(3300 例58. 75

3、0或1650 例59. 作点A 关于、的对称点A 1,A 2,A 1A 2的长度即为所求最短距离. 例60. 解:以11B A 为x 轴,11D A 为y 轴,A A 1为z 轴建立空间直角坐标系(1设E 是BD 的中点, P ABCD 是正四棱锥,ABCD PE 又2,A B P A = 2=PE 4,1,1(P 11(2,2,0,(1,1,2B D AP =-= 110B D AP =即11PA B D (2设平面P AD 的法向量是(,m x y z = ,(0,2,0,(1,1,2AD AP = 02,0=+=z x y , 取 z = 1 得 m = (2, 0,1 ， 又 平 面

4、BDD1 B1 的 法 向 量 是 n = (1,1, 0 , = arccos cos < m, n >= mn m n = 10 , 5 10 （3） B A = (2, 0, 2 , B 到平面 PAD 的距离 B1 A m 6 . 1 1 d= = 5 5 5 m 例 61.B 例 62.A 例 63.B 例 64.D 例 65.C 例 66.C 例 67. 16 或11 3 例 68.10 例 69. 是 ，S（0,0,1） ，O（0,0,0） ，B（1,1,0） 例 70. 解：如图所示：C（2,0,0） 2 10 10 SC = (2, 0, 1, OB = (1,1, 0 cos < SC , OB >= = , = arccos 5 5 5 2 SB = (1,1, 1, CB = (1,1, 0 n SBC n SB, n CB,n SB =1+ p q = 0nCB =1+ p = 0,解 : p =1, q = 2,n = (1,1,2 得 过O作OE BC于E , 则BC 面SOE , SOE SAB 又两面交于SE , 过O作OH SE于H , 则OH SBC , 延长OA与CB交于F , 则OF = 2连FH , 则OFH 为所求, 6 SO OE 1 2 6 3 = 6 = arcsin