数学建模中综合评价模型(改进)

1、综合评价方法及其应用综合评价方法及其应用一、什么是综合评价问题一、什么是综合评价问题近年竞赛题近年竞赛题全国研究生数学建模竞赛题目：全国研究生数学建模竞赛题目：（1 1）2011-C2011-C题：对小麦发育后期茎秆抗倒性问题的研究题：对小麦发育后期茎秆抗倒性问题的研究（2 2）2011-D2011-D题：房地产行业的数学模型题：房地产行业的数学模型（3 3）2013-D2013-D题：空气中题：空气中 PM2.5 PM2.5 问题的研究问题的研究（4 4）2013-E2013-E题：中等收入定位与人口度量模型研究题：中等收入定位与人口度量模型研究（5 5）2014-D2014-D题：人体营养

2、健康角度的中国果蔬发展战略研究题：人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究全国大学生数学建模竞赛题目：全国大学生数学建模竞赛题目：（6 6）20122012年年-A-A题题: :葡萄酒质量的评价葡萄酒质量的评价（7 7）20122012年年-B-B题题: :碎纸片拼接复原问题碎纸片拼接复原问题（8 8）20132013年年-A-A题：车道被占用对城市道路通行能力的影响题：车道被占用对城市道路通行能力的影响1 1、综合评价的目的、综合评价的目的 综合评价一般表现为以下几类问题：综合评价一般表现为以下几类问题： 。分类。分类对所研究对象的全部个体进行分类，但不同对所研究对象的全部个体进行分类，但不同

3、于复合分组（重叠分组）；于复合分组（重叠分组）； 。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；础上对各小类按优劣排序）； 。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。当然必须有参考系。当然必须有参考系。 构成综合评价问题的五个要素分别为构成综合评价问题的五个要素分别为: :被评价对象、评价被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。指标、权重系数、综合评

4、价模型和评价者。2 2、 构成综合评价问题的五个要素构成综合评价问题的五个要素 （2 2）评价指标）评价指标 评价指标是反映被评价对象评价指标是反映被评价对象( (或系统或系统) )的运行的运行( (或发展或发展) )状况的状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的

5、每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。指标体系。 注意到注意到: :当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。响到最后决策的正确性。 （4 4）综合评价模型）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题对于多指标（或多因素）的综合评价问题, ,就是要通过就是要通过建立合适的综合评价数学

6、模型将多个评价指标综合成为一个建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。的评价结果。 （5 5）评价者）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。者有关。 3 3、综合评价的一般步骤、综合评价的一般步骤 1 1确定综合评价的目的确定

7、综合评价的目的 （分类？排序？实现（分类？排序？实现程度？）程度？） 2 2建立评价指标体系建立评价指标体系 3. 3. 对指标数据做预处理对指标数据做预处理 （1 1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如何使指标一致化的问题；如何使指标一致化的问题； （2 2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理理

8、计算单项评价值。计算单项评价值。 4 4确定各个评价指标的权重确定各个评价指标的权重 5 5求综合评价值求综合评价值将单项评价值综合而成。将单项评价值综合而成。 1. 1. 评价指标类型的一致化评价指标类型的一致化 极大型指标极大型指标: :总是期望指标的取值越大越好；总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标极小型指标: :总是期望指标的取值越小越好；总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标中间型指标: :总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好为好，即取适当的中间值为最好; ; 区间型指标区间型指标: :总是期望指标的取值最

9、好是落在某一个确定的总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。区间内为最好。 - - 定性指标定性指标二、评价指标的规范化处理二、评价指标的规范化处理 1.1 1.1 将极小型化为极大型将极小型化为极大型 倒数法：倒数法： 平移变换法平移变换法 其中其中 jjxx1jjjxMx ijnijxM1max 1.2 1.2 将居中型化为极大型将居中型化为极大型 对于居中型指标对于居中型指标)min(),max(其中2,)(22,)(2大型指标，令为最好，要将其化为极2取中间值ijjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxmxMMxmMmMxMmMxmmMmxxmMxjx1.3 将

10、区间型化为极大型将区间型化为极大型1.4 定性指标的量化处理方法定性指标的量化处理方法 在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。标的定量处理问题。 诸如诸如: :教学质量、科研水平、工作政绩、人员素教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。 如何对有关问题给出定量分析呢？如何对有关问题给出定量分析呢？按国家的评价标准按国家的评价标准, ,评价因素一般分为五个等级，如评价因素一

11、般分为五个等级，如A A，B B，C C，D D，E E。 如何将其量化？若如何将其量化？若A A- -，B B+ +，C C- -，D D+ +等又如何合理量化？等又如何合理量化？ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。行有效的方法。 2. 2. 评价指标的无量纲化评价指标的无量纲化 如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出程中就会出“大数吃小数大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。误的评价结论。 无量纲

12、化处理又称为指标数据的标准化无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。或规范化处理。 常用方法常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。 三、近年建模题目中涉及的指标构三、近年建模题目中涉及的指标构建问题举例建问题举例1 1、20132013年数学建模年数学建模B B题中题中 碎纸片拼接中的纸片匹配指标碎纸片拼接中的纸片匹配指标2 2、20132013研究生数学建模研究生数学建模E E题中题中 贫富两极分化衡量指标贫富两极分化衡量指标3 3、20132013年数学建模年数学建模A A题中事故处横断面实际通行能力影响题中事故处横断面实际通行

13、能力影响差异差异1 1、 20132013数学建模数学建模B B题中碎纸片拼接中题中碎纸片拼接中的纸片匹配指标的纸片匹配指标 运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘灰度运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘灰度值与剩下碎片的左侧边缘灰度值进行比对，将相似度最值与剩下碎片的左侧边缘灰度值进行比对，将相似度最高即（高即（MatchMatch值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。 19802min(_)imijiMatchRightcolLeftcol方法一：方法一：方法二：方法二：22

14、1112min()()jMxyxy19792221112()()()kkkkkkkxyxyxy221980197919801980()()xyxy 为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化程度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化程度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化的大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越的大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越高，该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。高，该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。该指标需要满足的经济规律方面的要求概括为：该指标需要满足的经济规律方面的要求

15、概括为： 在其他情况不变的条件下，当在其他情况不变的条件下，当 扩大时，扩大时， 减减增大，这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化增大，这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具有增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当程度具有增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当p p增大时，增大时， 减小，这说明随着中等收入区间人口比例的减小，这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，增加，两极分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，当当 增大时，增大时， 减小，这说明随着人均收入水平减小，这说明随着人均收入水平的提高，若贫富收入离散程度没有改变，则两极分化程的

16、提高，若贫富收入离散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据该指标的性质，将其定义为：度减轻了。根据该指标的性质，将其定义为：2 2、20132013研究生数学建模研究生数学建模E E题中题中 贫富两贫富两极分化衡量指标极分化衡量指标12p 是一个在区间是一个在区间 上变动的指标，当收入分配完上变动的指标，当收入分配完全是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时全是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时 ；而当中间收入人群为零时，即形成完全的两极分化时，而当中间收入人群为零时，即形成完全的两极分化时， ，为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人

17、口所占比例为例为50%，变异系数为，变异系数为 0.5 时，时， 。自此，本文界定。自此，本文界定 时，两极分化程度比较轻，而当时，两极分化程度比较轻，而当 时，两极分化程度比较高。时，两极分化程度比较高。(,11(,0.5 (0.5,10.5其中其中 为收入均值，为收入均值， 为收入的标准差，为收入的标准差，P为基于收入的人为基于收入的人口分布，口分布， 为两极分化衡量指标。为两极分化衡量指标。 从视频从视频1 1和视频和视频2 2的图像，可以看出交通事故期间，交通事的图像，可以看出交通事故期间，交通事故横截面出实际通行能力波动明显，且没有明显的线性或者其故横截面出实际通行能力波动明显，且没

18、有明显的线性或者其他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的实际通行能力数据，作正态检验。利用实际通行能力数据，作正态检验。利用spssspss软件作正态检验，软件作正态检验，发现正态性明显。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际发现正态性明显。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际交通能力服从正态分布。交通能力服从正态分布。实际交通能力差异度：实际交通能力差异度： 以正态拟合得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立：以正态拟合得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立： 实际交通能力的差异程度定义如下：实际交通能力的差异

19、程度定义如下：P值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大。),(:(),(:(2222211111NCNC2121CCCCP3 3、20132013数学建模数学建模A A题中事故处横断面实际题中事故处横断面实际通行能力影响差异通行能力影响差异稳定性差异度：稳定性差异度： 由于视频由于视频1 1和视频和视频2 2的交通事故横截面实际交通能力具有波的交通事故横截面实际交通能力具有波动性，则应该具有稳定程度，用稳定性动性，则应该具有稳定程度，用稳定性这一量来反映，显然，这一量来反映，显然，稳定性越高越有利于车辆的通行。定义稳定性如下所示

20、：稳定性越高越有利于车辆的通行。定义稳定性如下所示：则稳定性的差异程度如下：则稳定性的差异程度如下：22111,12121T差异度：差异度： 为了说明事故处横断面实际交通能力总的影响差异，定为了说明事故处横断面实际交通能力总的影响差异，定义差异度义差异度B B，如下所示：，如下所示：式中的式中的21, 为实际交通能力和稳定性的偏好系数。为实际交通能力和稳定性的偏好系数。综上所述，得到如下事故处横断面实际通行能力影响差异模型综上所述，得到如下事故处横断面实际通行能力影响差异模型：TPB212221212121wwwwTCCCCPTPB问题问题:如何来构造合适的综合评价模型？如何来构造合适的综合评

21、价模型？ 四、综合评价模型的建立方法四、综合评价模型的建立方法 线性加权综合法的适用条件线性加权综合法的适用条件: :各评价指标之间相互独各评价指标之间相互独立。立。 对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。 1. 线性加权综合法线性加权综合法 线性加权综合法的特点：线性加权综合法的特点： （1 1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；证综合评价指标的公平性； （2

22、2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；重较大指标值对综合指标作用较大； （3 3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；备选方案之间的差异表现不敏感； （4 4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。 2. 非非线性加权综合法线性加权综合法 主要特点主要特点:（1）对数据要求较高，指标数值不能为）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，、负数，（2）乘除法容易拉开评价档次，对较小

23、数值的变动更敏）乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感。感。适用条件：适用条件： 各指标间有较强关联性各指标间有较强关联性 。 3. 逼近理想点（逼近理想点（TOPSISTOPSIS）方法）方法 模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较广泛的一种方法，对一些具有模糊概念的系统广泛的一种方法，对一些具有模糊概念的系统（评价对象），在进行评价时很难给出确切的表（评价对象），在进行评价时很难给出确切的表达，对受多种因素影响的事物做出全面评价的一达，对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结种十分有效的多因素决策方法，其

24、特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。来表示。4 4、模糊综合评价法、模糊综合评价法5 5、层次分析模型、层次分析模型 层次分析法是将与决策总是有关的元素分解成层次分析法是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。和定量分析的决策方法。6、动态加权综合评价方法、动态加权综合评价方法 20052005年中国大学生数学建模竞赛的年中国大学生数学建模竞赛的A A题：题：“长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测”问题的第一部份给出了问题的第

25、一部份给出了1717个观测站（城市）的最个观测站（城市）的最近近2828个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（主要的四项指标：溶解氧（DODO）、高锰酸盐指数（）、高锰酸盐指数（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求综合这四种污染指标的值，要求综合这四种污染指标的2828个月的个月的检测数据对检测数据对1717个城市的水质情况做出综合评价。个城市的水质情况做出综合评价。 6.1 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 根据国标（根据国标（GB 383

26、8GB 383820022002）的规定，关于地表水的水）的规定，关于地表水的水质可分为质可分为类、类、类、类、类、类、类、类、类、劣类、劣类共六个类类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。在污染物的含量上也有一定的差别。 在对在对1717个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指个城

27、市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别水的标值不同类别水的“质的差异质的差异”和同类别水的和同类别水的“量的差异量的差异”, ,在此简称为在此简称为“质差质差”和和“量差量差”。因此，这是一个较复。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。杂的多因素多属性的综合评价问题。 根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的主要过程分三步完成：问题的主要过程分三步完成：将各评价指标作标准化处理；将各评价指标作标准化处理；根据各属性的特性构造动态加权函数；根据各属性的特性构造动态加权函数；构建问题的综合评价模型，并做出评价。构

28、建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。标变换成统一的、无量纲的标准化指标。 6.2 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 6.2.1 评价指标的标准化处理评价指标的标准化处理 考虑到评价指标的考虑到评价指标的“质差质差”与与“量差量差”的关系，在

29、确的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。的权函数。 6.2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 6.3 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 表表（1）: 地地表表水水环环境境质质量量标标准准 （G GB

30、B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4个个主主要要项项目目标标准准限限值值 单单位位：mg/L 指指 标标 类类 类类 类类 类类 类类 劣劣类类 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高锰锰酸酸盐盐指指数数( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（无无量量纲纲） 6 , 9 五、长江水质的综合评价模型五、长江水质的综合评价模型 1. 1. 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理 2. 动态加权函数的确定动态加权函数的确定 3.综合评价指标函数的确定综合评价指标函数的确定 4.各城市水