数学与创新思维

1、数学与创新思维数学与创新思维 引言引言 全国科技大会指出：全国科技大会指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。兴旺发达的不竭动力。一个没有创新一个没有创新能力的能力的民族难于屹立于世界民族之林。民族难于屹立于世界民族之林。”“建立创新型国家。建立创新型国家。” 教育部的一个报告指出：教育部的一个报告指出： “ “实施素质教育重点是改变实施素质教育重点是改变教育观念，教育观念，尤其是要以培养尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为学生的创新意识和创造精神为主。主。” 恩格斯指出：恩格斯指出： “ “一个民族要想站在科学的最高峰，就一一个民族要想

2、站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。刻也不能没有理论思维。”HG格拉斯曼格拉斯曼说：说：“数学除了锻炼数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还敏锐的理解力，发现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。头脑的开发功能。”赫巴特赫巴特说：说：“数学一般通过直接激数学一般通过直接激发创造精神和活跃思维的方式来提发创造精神和活跃思维的方式来提供最佳服务。供最佳服务。” 因此我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。 讲四个问题讲四个问题一、归纳思维一、归纳思维二、类比思维二、类比思维三、发散思维三、发散思维四、逆（反）向思

3、维四、逆（反）向思维 我将结合高等数学和数学史上一些著名问我将结合高等数学和数学史上一些著名问题来讲题来讲一、归纳思维一、归纳思维 归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。的思维方法。 著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法归功于归纳方法牛顿二项式定理和万有引牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。力原理，就是归纳方法的成果。”“在数在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。类比。” 著名数学家高斯曾说：

4、著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是靠归纳取得的。” ” 著名数学家沃利斯著名数学家沃利斯说：说：“我把（不完全的）我把（不完全的）归纳和类比当作一种很归纳和类比当作一种很好的考察方法，因为这好的考察方法，因为这种方法的确使我很容易种方法的确使我很容易发现一般规律发现一般规律” 归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、计算计算）对许多个别事物的经验认识的基础上，）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出到

5、一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。本质的东西的抽象化思维。也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。别中发现一般。 从数学的发展可以看出，许多新的数学从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、概念、定理、法则、的形式，都经历过的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算积累经验的过程，从大量观察、计算,然后归纳出其共性和本质的东西，例如：

6、哥然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。归纳的方法这是显然的。但是（逆向思维）这是显然的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？和吗？ 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 60=3+57 （57=193，不是素数），不是素数） 60=5+55 （55=115，不是素数，不是素数) ？！？！60=7+53（7和和53都是素数）都是素数） . 哥德巴赫猜想。起源，演变哥德巴赫猜想。起源，演变 哥德巴赫观察到一些

7、具体例子， 然后归纳出：“任何大于2的数都是三个素数的和”。（1742.6.7写信给欧拉，并附上一些他观察到的例子） 欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为：“每一偶数是两个素数的和”(*)（并说：“我认为它正确，但给不出证明） 1770（英）华林将(*)发表出来。现代的标准陈述是（*） 这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景润，（1+2）。 这是数学向人类智慧的挑战！ 但对此猜想的证明过程中，极大的推动了解析数论的发展（特别是筛法，圆法）二项式系数二项式系数 (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)

8、4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5=. (u+v)n=1 1 1 1 2 11 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 宋朝数学家杨辉宋朝数学家杨辉1261年写的详解九章算法年写的详解九章算法*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形. )(, )1ln()(1)(xfxxfn：例.,)1 (! 3) 1()(,)1 (! 2) 1()(43)4(32xxfxxf 科尔莫哥洛夫在我科尔莫哥洛夫在我是如何成为数学家中说：是如何成为数学家中说：

9、我在我在6、7岁时我已经感受岁时我已经感受到数学归纳发现的乐趣，到数学归纳发现的乐趣，例如，我注意到下边的等例如，我注意到下边的等式：式：.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的这个发现，后来被刊登在春燕杂志上。他的这个发现，后来被刊登在春燕杂志上。.2nn 个奇数的和等于前问题：考察表问题：考察表 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。数学式子表示出来，而且试证明它。，三边形内角和)23( )24( 四边形内角和问题：下述结论是否成立？问题：下述结论是否成立？?)2(nn边形内角

10、和等于二二、类比思维类比思维 著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。类比是一种创造性思维的形式。”著著名哲学家康德指出：名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 类比是根据两个（或多个）对象内部属性、类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。可能相似的推理。简单地说，类比就是由简单地说，类比就是由此此去发现去发现

11、彼彼（或由（或由彼彼去发现去发现此此）。）。 类比为人们思维过程提供了更广阔的类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造自由创造”的天地，使它成为科学研究的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。例如：很多著名科学家的重视与青睐。例如： 著名天文学、数学家开普勒著名天文学、数学家开普勒说：说： “我珍视类比胜于任何我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的别的东西，它是我最可信赖的老 师 它 能 揭 示 自 然 的 奥老 师 它 能 揭 示 自 然 的 奥秘秘。” ” 著名数学家、教育学家波利亚著名数学家、教育

12、学家波利亚说：说：“类比是一个伟大的引路人，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题几何中的类比问题。”在平面解析几何中直线的截距式是：在平面解析几何中直线的截距式是：1xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz 在平面解析几何中圆的方程是：在平面解析几何中圆的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面的方程是在空间解析几何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。等等。将他们比较可以看出将他们比较可以看出:把中右端把中右端K次幂

13、换成次幂换成K阶导数阶导数(零阶导数理解为函数本身零阶导数理解为函数本身),把中把中u+v换成换成uv,n次幂换成次幂换成n阶导数既为阶导数既为. (拉格朗日拉格朗日17岁岁) 费马猜想费马猜想： X2+Y2=Z2的解：的解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整数，是任一整数，n2是否有正整数解？是否有正整数解？ Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994)欧拉猜想：欧拉猜想：下述方程没有整数解：下述方程没有整数解：4444wzyx没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是在1998

14、年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：44442061567318796760153656392682440后来人们又发现了一个更简单的例子：444442248141456021751995800 特别应该将牛顿特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。 若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f f( (x) )在一个区间的在一个区间的定积分与其原函数定积分与其原函数F F( (x) )在区间边界的值之间的在区间边界的值之间的联系；联系；

15、通过类比，就可将格林公式通过类比，就可将格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上的二重积分与其上的二重积分与其“原函数原函数”在区域边界在区域边界L L的的曲线积分之间的联系；曲线积分之间的联系； 实践证明：在学习过程中，将新内容实践证明：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉的知识。进行与自己已经熟悉的知识。进行类比类比，不但，不但易于接受、理解、掌握新知识，更重要的易于接受、理解、掌握新知识，更重要的是：培养、锻炼了自己的是：培养、锻炼了自己的类比思维类比思维，有利，有利于开发自己的于开发自己的创造力创造力。（费马

16、猜想）。（费马猜想） 三、发散思维三、发散思维 所谓具有发散特性的思维是指信息处理所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用用“一题多解”，“一题多变”

17、等方式，等方式，发散式地思考问题。发散式地思考问题。 高 斯 被 誉 为 ：高 斯 被 誉 为 ：“能从九霄云外的高能从九霄云外的高度按某种观点掌握星度按某种观点掌握星空和深奥数学的天才空和深奥数学的天才”和和“数学王子数学王子”。 特别是高斯非常重视培养自己的发散特别是高斯非常重视培养自己的发散思维，并且善于运用发散思维。他非常思维，并且善于运用发散思维。他非常重视重视“一题多解一题多解”、“一题多变一题多变”。例。例如：他对如：他对代数基本定理代数基本定理，先，先 后给出后给出了了4 4种不同的证明；他对数论中的种不同的证明；他对数论中的二次二次互反律互反律，先后给出了，先后给出了8 8种

18、不同的证明种不同的证明（高斯称（高斯称二次互反律二次互反律是数论中的一是数论中的一块宝石，数论的酵母，是黄金定理）。块宝石，数论的酵母，是黄金定理）。欧拉勒让德欧拉勒让德第一个证明是用归纳法；第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯引理；第三个和第五个证明是用高斯引理；第四个证明是用高斯和；第四个证明是用高斯和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高次幂剩余理论。第八个证明是用高次幂剩余理论。他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其后后19世纪多位数论大

19、家如狄里克雷、雅可比、世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新的证明并发展了该理论。出了新的证明并发展了该理论。 有人曾问高斯：有人曾问高斯：“你为什么能对数学作你为什么能对数学作出那样多的发现？出那样多的发现？”高斯答道：高斯答道：“假如别假如别人和我一样深刻和持久地思考数学真理，人和我一样深刻和持久地思考数学真理，他也会作出同样的发现。他也会作出同样的发现。”高斯还说：高斯还说：“绝对不能以为获得一个证绝对不能以为获得一个证明以后，研究便告结束，或把另外的证明明以后，研究便告结束，或把另外的证明当作多余的奢侈

20、品当作多余的奢侈品。”“有时候一开始你没有得到最简和最美有时候一开始你没有得到最简和最美妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸引我去继续研究的主动力，并且最能使我引我去继续研究的主动力，并且最能使我们有所发现们有所发现。”高斯这些言行，很值得我高斯这些言行，很值得我们学习和深思。们学习和深思。 因此，我们在高等数学教学中，应利因此，我们在高等数学教学中，应利用一题多解、一题多变来培养训练发散思用一题多解、一题多变来培养训练发散思维，下边我们举几个例子：维，下边我们举几个例子： 一题多解一题

21、多解：计算：计算dxxx231)(121122223xdxxdxxxI)1 (11121222xdxx22221)1 (21)1 (121xxdxdx212232)1 ()1 (31xxCxx)2(13122第一类换元积分法dxxx231 dxxxxxdxxxI232311 dxxxxx221)1( dxxxdxxx2211Cxx )2(13122第一类换元积分法 dxxx231 dxxxI231 22221) 11(1xdxxdx 22211) 1(xdxdxCxx )2(13122第一类换元积分法 dxxx23121tx dtttdtttdxxxxI) 1(112222Ctt 331Cxx

22、 )2(13122第一类换元积分法 dxxx231txtan dttttdtttI4323cossinsecsectan Ctttdtt342cos131cos1)(coscos1cosCxx 2322)1(311Cxx )2(13122第二类换元积分法 dxxx231shtx )() 1()()(233chtdtchdtshtchtdtchtshtICchttch 331Cxx )2(13122第二类换元积分法 dxxx231 )1(12223xdxdxxxI )1 (112222xdxxxCxxx 23222)1 (321Cxx )2(13122分部积分法和第一类换元积分法 dxxx231

23、 dxxxxdxxxI42323111 )1(12142xdx )1(111212422xdxxx )1 (1211)1(212222xdxxx分部积分法和第一类换元积分法Cxx )2(13122 dxxx231xtx 21CttttdtttI 3343224183832418)1(Cxxxxxxxx322232)1(241)1( 83)1(83)1(241 dxxx231112 xtx CttdtttI3222423) 1( 38) 1(4) 1(16Cxxxx 326224)11(3)11(又如：求极限又如：求极限可以用极限可以用极限用三角公式变形；用三角公式变形；用洛必达法则；用洛必达法

24、则；用无究小量的代换；用无究小量的代换； 用泰勒公式；用泰勒公式；等等。等等。xxxxsincos1lim320 1sinlim0 xxx可以用函数单调性；可以用函数单调性；用中值定理；用中值定理； 用泰勒公式；用泰勒公式； 等等。等等。0,)1ln(1 xxxxx 一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨雨伞伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁

25、。怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。 后来有一位聪明的人劝她：后来有一位聪明的人劝她：老太太，你老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。这么一说，老太太生活的色这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。彩竟焕然一新。一则小一则小故事故事: : 逆向思维逆向思维（又称（又称反向思维反向思维）是相对于）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对

26、解放思想、开阔思路、解决问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。积极的作用。（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。虑逆推。（2）如果遇到某些问题直接解决困难，想）如果遇到某些问题直接解决困难，想法间接法间接 解决。解决。（3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨可能性发生困难时，转而探讨不）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。可能性。 下面举几个高等数学中的例子下面举几个高等数学中的例子:若直接解决困难，若直接解决困难，想法间接解决。想法间接解

27、决。解法解法: :利用夹逼定理利用夹逼定理!1!11!1 , ,nnnnnnnnnnnnnnnQQ即即11! lim0, lim0, lim0.nnnnnnnnn而故而故例3：将y=xarctanx展成x的幂级数。 若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。 若用间接方法，就很简便。1,121) 1( ) 1() 1( 11)arctan(arctan , 1,) 1(11 0120200020200 xxndxxdxxdxxdxxxxxxnnnnnxnxnnnxxnnn故由于。从而得1,121) 1(arctan 022xxnxxynnn 探讨可能性发生困难时，转而探讨

28、不可能性。探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。 下面我们例举数学史上两个最有名的问题：下面我们例举数学史上两个最有名的问题： 欧几里得几何原本第一卷中给出欧几里得几何原本第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是三个是作图的规定，第四个是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亚里士多德公理），符合亚里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字的要求，唯独第五公设不仅文字啰啰嗦，而嗦，而且所肯定的事实也不明显。且所肯定的事实也不明显。 而且只有第而且只有第5 5公设涉及到无限公设涉及到无限, ,这是人们经验之外的东

29、西这是人们经验之外的东西. . 此公设是此公设是“若若一直线和两条直线一直线和两条直线相交，所构成的两相交，所构成的两同旁内角之和小于同旁内角之和小于两直角，那么把这两直角，那么把这两直线延长，它们两直线延长，它们一定在两内角的一一定在两内角的一侧相交侧相交”。 m0180 这公设等价于：这公设等价于：“在平面上，过在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与这条直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行直线平行”。 欧欧 当两条直线相交于非常遥远的地方时，当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。因此没有得到公认，具

30、有直观的明显性。因此没有得到公认，于是就有人提出来把它作为定理来证明。于是就有人提出来把它作为定理来证明。但是许多数学家经历了但是许多数学家经历了2000多年都以失败多年都以失败告终，他们不是证明有错误，就是用另一告终，他们不是证明有错误，就是用另一条等价的公理代替了第五公设。条等价的公理代替了第五公设。达朗贝尔曾把第五公设的证明称为达朗贝尔曾把第五公设的证明称为“几何原理中的几何原理中的家丑家丑”。 直到直到19世纪初，数学家们着手研究它的世纪初，数学家们着手研究它的反问题反问题欧几里得第五公设不可证。特别欧几里得第五公设不可证。特别是德国的高斯、匈牙利的鲍耶、俄国的罗巴是德国的高斯、匈牙利

31、的鲍耶、俄国的罗巴切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第五公设的失败教训。五公设的失败教训。高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829) 鲍耶鲍耶 （18321832） 罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分：依赖于第五公设（平行公设）分为两部分： 不依赖于第五不依赖于第五公设得到证明的命公设得到证明的命题（绝对几何）。题（绝对几何）。 依赖于第五依赖于第五公设才能证明的公设才能证明的命题。命题。 他们首先肯定了欧

32、几里得第五公设是不他们首先肯定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证明，然后用一个与能用其它公理作出证明，然后用一个与它相反的命题来代替它。即它相反的命题来代替它。即“在平面上，在平面上，过直线外一点过直线外一点至少可引两条直线至少可引两条直线与已知与已知直线平行。直线平行。”l罗罗 从而建立了一种与欧几里得不同的新从而建立了一种与欧几里得不同的新的几何体系。的几何体系。 高斯称之为高斯称之为“反欧几里得几何反欧几里得几何” 罗巴切夫斯基称之为罗巴切夫斯基称之为“想象的几何想象的几何” 后他又称之为后他又称之为“泛几何泛几何” 今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双今天称之为罗巴切夫斯基几何（又

33、称双曲几何）。曲几何）。 后来德国数学家黎曼用一个既与欧后来德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设的命题相反又与罗巴切几里德第五公设的命题相反又与罗巴切夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，即即“在平面上，过直线外一点在平面上，过直线外一点不可能引不可能引一直线一直线与已知直线平行与已知直线平行”。l黎黎 从而建立了一种与欧从而建立了一种与欧几里得几何、罗巴切夫斯几里得几何、罗巴切夫斯基几何都不同的新的几何基几何都不同的新的几何体系，现称为体系，现称为“黎曼几何黎曼几何”（又称椭圆几何）。（又称椭圆几何）。 现在人们把现在人们把“罗巴切夫斯基几何与黎曼罗巴切

34、夫斯基几何与黎曼几何统称为几何统称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。 黎曼黎曼(1854)(1854)“19世纪最富启世纪最富启发性和最值得注意的成就是发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现非欧几里得几何的发现”。 非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数学分支的产生，它的重要意义还在于使数学学分支的产生，它的重要意义还在于使数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如，人们对空间的认识更深刻，更完全了

35、。例如，它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙的几何模型。的几何模型。( (太平洋太平洋) ) 欧几里得：欧几里得： 三角形内角和三角形内角和 = = 两直角两直角 , , 2r=c ， a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角 , , 2rc ， a2+b2 两直角两直角 , , 2rc ，a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：里得几何概念的基础之上。例如：18441844年格拉年格拉斯曼建立的斯曼建立的n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。18711871年克来因年克来因 在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24, 022, 12 那么，一般五次及五次以上的代数方程是那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？ 这个问题吸引着众多的数学家，他们相这个问题吸引着众多的数学