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1、解析几何中的面积问题（第20题）1、如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为（I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最大值（）解：由得， 设到的距离为，则，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或2、在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足（）求点P的轨迹的方程；（）若Q 是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，问：是否存在点P使得和的面积满

2、足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：（）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，整理得轨迹的方程为（且）. （）设由可知直线，则，故，即， 6分直线OP方程为： ； 8分直线QA的斜率为：， 直线QA方程为：，即， 10分联立，得，点M的横坐标为定值 12分由，得到，因为，所以，由，得，的坐标为 14分3、已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点(，)（）求椭圆的方程；（）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围解：（）由题意可设椭圆方程为 (ab0)，xyOPQ则 故 ，所以，椭圆方程为 （）由题意可

3、知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 ykxm (m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，则64 k2b216(14k2b2)(b21)16(4k2m21)0，且，故 y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，k2，即，m20，又m0，所以 k2，即 k由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22 且 m21设d为点O到直线l的距离，则 SOPQd | PQ | x1x2 | | m |，所以 SOPQ的取值范围为 (0，1) 4、过点M（4，2）作x轴的平行线被抛物线截得的弦长为。 （I）求p的值； （II）过抛物线C上两点A，B分别作抛物线C的切线（i）若交于点M，求直线AB的方程；（ii）若直线AB经过点M，记的交点为N，当时，求点N的坐标。解：（I）由已知得点在抛物线上，代入得8=4p，故p=2. （II）设直线AB方程为则故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为故在A，B点处的切线方程分别为于是8分 （i

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