随机信号的相关函数和谱分析

1、随机信号的相关函数和谱分析凡不能用数学或图表关系式来描述，无法预测其未来时刻准确值的信号称为随机信号。随机信号常以时间t为自变量，又称随机过程，其幅值是随机数。对于离散时间系统，自变量t变为序列号n, 随机过程变为随机序列，可以认为随机序列是随机过程的抽样值。通常，随机信号是功率信号，而且多半受到偶然性因素的支配，不能期待某个被观测信号会重复出现。如果截取随机序列的一段用FFT作频谱分析，那么一段的频谱与另一段频谱大不相同，可见观测随机信号的本身并没有多大意义。处理随机信号最重要的方法是从统计的角度出发对被观测信号实行某些平均运算。这样做与其说是在研究信号本身，不如说是在研究信号源。借用统计学

2、的用语可以这样来描述：处理随机信号时，我们需要经常想到被测数据所属的统计母体。从这个观点出发，被测数据不外乎是从母体中取出的一个样本。从同一个母体取出的样本一定具有某种共同的统计规律性，正是这些规律性才是说明母体的固有参数，才是我们的研究目标。4.3.1 随机信号的数字特征和分类我们设想有一对正在通话是电话线，在某时刻我们去测话音电压幅度的瞬时值，发现这是不确定的，我们就说幅度是随机变量,它所有可能的取值的集合称作样本空间，而每一次测出的具体值只是一个样本。如果我们记录一段时间内的电压幅度，发现在每个时间观测点上幅度的都是随机变量，从而整个时间段上幅度的变化曲线也是随机的曲线，这些曲线的采样是

3、对应的随机序列。我们把实测到的那条曲线（或序列）称为是随机过程的一个样本，所有样本的集合称为随机过程的样本空间。把上述概念从电话线推向一般，我们说如果对于每个（T是时间段），x(t)是随机变量，则x(t)扩展为时间函数后的随机变量族 x(t), 称为随机过程（见图4.3），其采样是离散的随机过程。图中,点分别是随机变量的样本，曲线a,b,c,分别是随机过程x(t)的样本。如果的样本空间是实数集，那么随机过程x(t)的样本空间一定落在图中y轴，x 轴的二维空间内。研究随机变量的统计规律有两种方法。一种是研究其概率分布函数以及概率密度函数(pdf）这是关于随机变量的完全的描述。然而在很多情况下，分

4、布函数难以获得，或者我们没有必要知道得那样完全，只须知道它的一些特征数字就够了。这就是第二种研究方法-随机变量的数字特征。我们用矩(monment)来描写随机变量的数字特征。对于一个随机变量x(n)，用各阶原点矩来表示它与原点0（即自身值）差值的各次方的平均：一阶原点矩，均值 （4.36）二阶原点矩，均方值 （4.37）。k阶原点矩 （4.38）用各阶中心矩来表示它相对于自身均值而言偏差值的各次方的平均，其中最常用的是二次方：二阶中心矩，方差 （4.39）这里专门用作表示方差，表示求方差。定义为均方差，标准偏差。（4.40）称作k 阶中心矩。（4.41）以上最常用的均值，均方值，方差和均方差，

5、以及两个算符（求均值），（求方差），对于信号而言，均方值就是它的平均功率。对于两个随机变量x(n),y(n)，我们除了仍用原点，中心来注明是相对原点还是相对均值的偏差外，又加上联合两字用以表示两者的关系：（j+k）阶联合（原点）矩 （4.42）（j+k）阶联合中心矩 （4.43）从本课程需要出发，我们只考虑j=k=1时的二阶联合矩。如果所研究的两个随机变量来自同一随机序列的不同位置x(n),x(n+m)，我们定义自相关函数(autocorrelation)和自协方差函数(autocovariance)它们分别是二阶联合原点矩形、和联合中心矩。由式（4.45）可推出如果研究对象是两个不同随机序列

6、不同位置上的随机变量x(n),x(n+m)，我们定义互相关函数(cross-correlation)和互协方差函数（也叫相关矩，协方差）(covariance)我们将上面四项简称为自相关，互相关，自协方差，协方差（或相关矩）。命名的规律是：凡涉及同一序列称斪詳，否则称:敾：凡带斝瓟字就必定与均值有关。从式（4.46）和式（4.49）看，协方差是去除均值后的相关。随机过程按其特征可分类如下：平稳随机过程的统计特性与时间无关。非平稳随机过程的统计特性随时间而变化，对这类过程目前尚无完整的分析方法。随机过程处于过度阶段时往往是非平稳的，我们在作统计分析时要避开这段时间。平稳随机过程又分广义（弱、宽）

7、和狭义（强、严）平稳两类。狭义平稳指所有是各阶统计特性均于时间无关，具体体现在分布函数与时间无关。广义平稳的条件则要宽松得多，它只要求：1. 一阶矩（均值）与时间t无关： 2. 二阶矩与t无关，仅与 有关。 3. 广义平稳未必狭义平稳，这是显见的：狭义平稳也未必广义平稳，这主要取决于二 阶矩 时 是否成立。如果这条件成立，那么狭义平稳就一定是广义平稳了。不过当x(t)的幅度为高斯分布时，广义平稳和狭义平稳是一致的。随机过程的统计特征可以由两种方法求得1. 集合平均（ensemble average）.在某一固定时刻对所有样本过程在该时刻的值进行统计分析（比如图4.3中对时刻各样本过程a,b,c

8、,的值 , 进行统计）。 2. 时间平均（time average）。这是以随机过程的平稳性为前提的。对同一个样本过程进行长时间观察，并对它取平均及统计分析，比如对图4 .3中样本过程a 的各点, ,作统计。 如果集合平均和时间平均的结果是一致的，则称这随机过程是遍历的(ergodic)，否则就是非遍历的。通信中常用的高斯白噪声是广义平稳各态遍历的。遍历性为统计的工程实现带来了极大便利，因为对一个样本过程进行长时间统计比同时对许多样本进行统计要容易实现。本书以下部分如不另外说明，我们所讨论的随机信号均是指广义平稳的和各态遍历的。在有些情况下，一个非平稳随机过程可以看作是广义平稳的，但在20?0

9、ms内可看作是广义平稳的。雷达和声纳接收的信号，由于多普勒效应、介质传播特性的时变性以及多径的叠加效应，也是非平均的，但在短时间范围内可认为是广义平稳的。对于像噪声中衰减的指数信号等瞬态过程的谱估计，则在本书范围之外。2. 随机信号的相关函数 我们在式（4.44）式（4.47）中已定义了随机信号的自相关和互相关函数。与式（4.20）式（4.19）确定性信号的自相关、互相关函数定义相比，两者是不同的，差异在于一个是求平均，一个是求和。我们进一步把求平均的概念定义如下：自相关函数连续：离散：互相关函数连续：离散：随机序列的自相关函数反映该序列在相隔m 点时波形的相似程度。波形变化越快，随m增大下降

10、得越快。式（4.45）（4.48）协方差定义中的平均，除了各项要扣除平均值外与相关中平均的含义一样。在实际的信号分析中，往往先求出信号平均值。于是从数学角度看，协方差和相关仅差一个常数项（式（4.46）（4.49）,只要讨论其中一个就具有代表性了。自相关函数具有以下性质：1. 自相关函数是偶函数 2. m=0时，相关性最大，且等于序列的平均功率 3. 一个非周期平稳随机序列，当m增大时相关性减弱，当时，可认为前后不相关。这时 证 根据以上性质，可推出自协方差函数性质：其中最重要的是式（4.60），它给出了方差、均值、均方值的关系：方差等于均方值减均值平方。对于均值为零的信号而言，方差就等于平均

11、功率。即所以我们可以用相关函数来表示这三个重要的统计特性：均方值 均值 方差 互相关函数具有以下性质：123（互）协方差的性质：互相关函数和互协方差函数反映了两个随机序列间的相关程度，它们不一定在m=0处取得最大值（没有类似式（4.56）的性质），也不一定是m 的偶函数（）。几种常用模拟信号的自相关函数见表4.1，它们可以被看作是同类离散时间信号自相关函数序列的包络。相关函数可用于很多方面，下面是用于信号检测的二个例子。例4.2 跳频扩谱通信或者ASK调制中，欲传递的信息用若干频率正弦波的有无来代表，发送的序列属于随机序列。在传输过程中由于受到强烈的加性白噪声的干扰使信号被噪声淹没，从时域波形

12、已完全不能区分哪是信号哪是噪声。此时，一般幅度检测已失效。试用相关函数从噪声中提取有用信号。解 设发送序列为x(n)，噪声序列为，实际接收到的解调后的序列是y(n)，三者关系是在接收端求y(n)的自相关函数信号和白噪声不相关，白噪声的自相关函数是一个线脉冲（表4.1）：而的值，当发送某个频率的正弦波时它也是同频率的正弦波，当发送零（无信号）时它也是零。计算适当长度M的自相关函数，m=0，1，。，M扣除白噪声的冲激项，就可以判断信号的有无以及正弦波频率的大小。3. 某信号波形x(n)属于M个可能的模式（信号集）之一，信号受加性白噪声干扰，用时域的方法已经不能识别。试用互相关函数来进行模式识别。

13、解 被干扰后的信号波形,M 个模式样本应是已知的，设为。分别计算y(n)与M个的互相关函数（共M个）比较M个互相关函数，如果y(n)与其中第j个模式样本的互相关最大，即相似度最大：则可判断。以上互相关函数中m的取值如不考虑迟延可取m=0,M个模式应有相同的功率，如不同，在计算时要加权。例4.4 码分多址（CDMA）移动通信系统中，9600b/s的双极性-1，1数据序列D被一个1.2288Mb/s的高速伪随机码p(n)（地址码，视为白噪声序列）调制（相乘）后，再由载频调制发射出去。电波传输过程中，受到各种强烈的、与数据和PN码均不相关的加性噪声的干扰，总的噪声和为N(n)。在接收地有甲、乙两台接

14、收机，甲台拥有关于p(n)的完整知识（知道p(n)的码型和相位），乙台仅拥有另一个与p(n)不相关的伪随机码的知识。试说明：用相关检测法，甲能收到数据序列D而不能。解 接收机先对载波进行解调抽样，可以得到接收序列甲用p(n)作为相关器的本地输入，与接收序列作互相关运算其中。p(n)速率是数据速率的1228800/9600=128倍，这就是说，数据序列以p(n)速率抽样后，所得的d(n)序列每隔128个样点才变化一次，因此在一个不长的时间段内可以被看作是常数-1或1，或者说它们的短时平均值是。于是所以，从相关器输出的符号中可以恢复出原数据信号。乙用作为相关器中本地输入，通过类似的运算，得互相关函

15、数与p(n)不相关而恒为0，数据信号不能被恢复。4.3.3随机信号的功率谱平稳随机序列是无限能量的序列，在z平面单位圆上不满足绝对可和的条件，不能用序列傅式变换来求频谱。平稳随机序列x(n)的自相关函数也是一个序列，只是序号不代表时间而是代表时差而已。自相关函数序列来自随机序列，它反映的是随机序列的统计特性。统计特性是确定性的，因此自相关函数序列也是确定性序列。自相关函数又是一个能量有限的序列，这可以从式（4.57）反映出来，因为一般工程上作为谱分析对象的随机信号在预处理中都要去除均值，这样，即序列值趋于0，一般能满足序列傅式变换绝对可和的条件。自相关函数与功率谱，对于确定性功率信号，它们是一

16、对傅式变换对（式4.35），这种关系同样存在于随机信号。维纳椥燎?Wiener-Khinchine)定理指出：一个随机序列x(n)的自相关函数与该序列的自功率谱密度函数也是一个傅式变换对（证明略）当m=0时，由式(4.55)(4.70)这正是帕塞伐定理：时域平均功率正比于频域总功率。式中，频域总功率是的积分，这样的物理意义就很明显了：它是序列平均功率在频域的谱密度分布函数，反映了频谱的分布形状，这就是我们把称为自功率谱的原因。从变换域的观点看，相关函数是一座桥梁：时域（序列） 相关域（自相关函数） 频域（自功率谱）。自相关函数将无限能量序列转变为有限能量序列，将随机序列转变为确定性序列，从而为

17、谱分析铺平了道路。但是，在这过程中失去了相位信息。所以，从频谱可以恢复、出原时域信号，但从自功率谱不能恢复出原随机序列，只能得出序列的统计特性。自功率谱有以下性质：1. 实信号的 是实偶的、非负的。 2. 是周期的，周期为。 3.是连续的。 以上性质来自相关函数和序列傅式变换的性质。显然，如果对实行离散傅式变换DFT，可得到离散自功率谱，它可看作是等距离的采样值。将上述概念推广到两个随机序列x(n)、y(n)，它们的互相关函数的傅式变换称为互功率谱，定义如下：自功率谱是实偶的，互功率谱却是复函数。因为既不是偶函数，也不是奇函数，不像是实偶的。互功率谱有以下性质：1. 2.相关函数和功率谱函数分

18、别从相关域和频域这两个侧面去描述随机序列，它们反映的都是随机序列的统计特性，可用于信号检测、时延分析、数字系统设计和分析、故障诊断、信号谱分析等。几种最简单又最常用的信号的自相关函数和自功率谱如表4.1.4.3.4随机信号通过线性系统我们已经讨论过确定性信号通过离散线性系统。用来描述线性系统的单位抽样响应h(n)总是确定性的，因此确定性信号通过系统是两个确定性序列的时域卷积或频谱乘积。然而随机信号通过系统是随机序列和确定性序列的运算，时域仍是两者卷积，频域却不存在频谱乘积。本节要讨论的是如何通过相关域俩确定输入输出功率谱的关系。随机序列通过线性系统的关系如下：这些输入输出关系可以从以下几个定理得到：1. 相关椌砘?/LI> 若 ,分别是y(n)、x(n)、h(n)的自相关函数。则 用语言描述是：卷积的相关等于相关的卷积。证 求y(n)的相关就是求x(n)，h(n)卷积的相关。利用卷积的定义式（2.8）、确定性序列相关函数定义式（4.20）和随机序列相关函数定义式（4.44），有变量置换，令r=l+k或l=-(k-r) 上式注意，这里笼统地说相关的卷积。细分起