椭圆知识点和常见题型解析版

1、椭圆知识点和常见题型1、定义：平面内与两个定点尸】，尸2的距离之和等于常数(大于忸1死|)的点的 轨迹称为椭圆.即:| 峥 | + 时|=2/(2。>|瓦。|)。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在3轴上焦点在1y轴上图形xA标准方程W+4=l(以 >b>0) a b4+4二i(以b >。) a b范围-a <x 且一& Jy Wb顶点A(-。，0)、%口)Bj(O-6). B2 (0»阳(0,一)、A2 (0,a)B(F0)、B式瓦0)轴长短轴的长=啰 长轴的长=2a隹占，。八八、月(-4,

2、0)、月(c,0)月(0,-0、/3)焦距内周=2cd 二言)对称性关于X轴、尸轴、原点对称离心率j 77e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁e = = .jl -(0 <e < 1)a 丫 a通径焦半径公式题型一：求椭圆的解析式例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0), (2,0),并且经过 值,一。点P求它的标准方程.方法二:解：因为椭圈的焦点在x轴上，设号 + 由于c=2,所以_/=4"乂点仔T)在美恻上联立方押a弊得a2 = 10,/=6闪此所求加的标准方程为小白IV2b2方法'：F解：因为椭圈的焦点在X轴匕 设,、营=1 - >() 弋由椭圆的定

3、义知 12"超+ 2)+(1J+超-2),«J | 定义法 | 所以。=Vio.又因为 8 = 2 ,所以 b2 =/ -e2 =10-4 = 6因此，所求椭圈的标准方程为9+上=1106例2椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.例2解：(1)当.4(2,0)为长轴端点时，a = 2,b=,椭圆的标准方程为:二+=1 ；41(2)卦(2,0)为短轴端点时，6=2,。=4 , 22椭圆的标准方程为:丁 + TT-二1 14162222综上所述,描图的标准方程是1+4-=1或三+当=1414 16例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过

4、点 P(-3,0)、Q(0z-2)；(2)长轴长等于20,离心率等于4长轴在X94例3解：(1)由题意，a = 3 b = 2 , 轴上，所以，椭圆的标准方程为c 3(2)由己知，2a = 20 , e = -= a 5= 10 ,c = 6 f / = 10" - 6" = 64»所以椭圜的标准方程为总+/1或总+l题型二：求轨迹例1、如图，在圆 *2 + y 2 = 4 上任取一点P作X轴的垂线段PD, D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？例2解：设点M的坐标为（xj）,因为点乂的坐标是（-5,0）,所以，直线3的斜率舄“=上（

5、工-5）x + 5同理，直痴斜率%=三（工壬5）.才一5（“杂点、.（可不要；由己知有上X上=_为=±5）x + 5 x-59/化简，得点M的轨迹方程为二十鲁= l（x#±5）25 10。一 V例3已知B、C是两个定点，WQ = 6,且AABC的周长等于16,求顶点A的轨迹 方程.例3解:如图,以直线BC为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，则 8（3,0）（3,0） 设顶点A的坐标为（x,j，）7，yAB + AC-BC = 16,忸4|十|。| = 10,?,由椭圆定义及标准方程知识可知 匚+/-=1又YA、B、C三点不共线，.”力才 16二所求的点的轨迹方

6、程为二十二二l（j，/0）2516求曲线方程的步骤是什么？（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为 Cv, y）;（2）找出限制条件p（M；（3）把坐标代入限制条件,列出方程/（招）=0;（4）化简方程/（X, y）=0;（5）检验（可以省略,如有特殊情况，适当说明）建、设、限、代、化题型三：求参数的范围例1知椭圆的离心率求k的值例1解：当椭圆的焦看鬲制上时，a2 =k + 8 b? =& 得 c2 = k-z由e2 1得：左=4当椭圆的幅点在V轴上时，a2 =9，b2 =k + 8 ,得。2=1一七.由e = ），得=；，即氏= 2.2944,满足条件的k = 4或左二.4练

7、习1 .方程4/ +野2 =1的曲线是焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围.10解：方程4* +处2=1化为±+ f = 1 4 k曲线是焦点在歹轴上的椭圆，且左> 0k 4即0<女<4.直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲级曲雉位戢喘蠹需罂蠹篇繇）直线与圆锥曲线相交腕长问题利用一般弦长公式（锄）利用两点间距离公式鹤琐）2.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线 只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。（2）.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到

8、以/+也+。= °。 .若也0,当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 .若口=°,设A=/4。口. A>°时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.& 二 °时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.AHO时，直线和圆锥曲线没有公共点, 相离。题型四：直线与椭圆的位置关系例1：直线y=kx+l与椭圆 丁+ - = 1恒有公共点, 求m的取值范围。例解法一，y = fcr +1 解:* /+ =15 m=> (w + 5 必)+ lOfcr + 5- 5m =

9、 0 = (10*y 4(帆 + 5左 ° 乂5 5 工 07M2 +(5V-1)tm 之 0vw>0,. 54221_利恒成立, /. l-/w< 0 /. m>,且"？羊 5解法二,直线> = Ax + l恒过定点（0,1） 且与椭圆总有公共点，.定点必在椭圆上或或者椭圆内.0 < < 1, /. m > 1 且m * 5mX2 y1例2:已知椭 云 +鼠=1圆，直线公-5丁 + 40 = 0,椭圆上是否存在一点，到直线的距离最小?最小距离是多少?例2解：设直线加平行千人则何写成4t-5y+k = O4.t-5><

10、+ =0由方程组，幺y2 1- =1 9消却 得25/ + 8米+产225 = 0由 = （）,得64/-4x25（炉-225） = 0解得匕=25, k,=-25由图可知k=25一直线"为：4x-5y + 25 = 0直线，”与椭圆的交点到直线的距离最近。且="="两斥于41思考：最大的距离是多少?|4。+ 25| 65 r-弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据 根与系数的关系，进行整体代入。即当直线（斜率为k）与圆锥曲线交于点时，则如Ljl + k* ki-L71 + k2 后+叼一 4勺町P-+血2），一 4

11、yl少题型四：弦长公式例1：己知斜率为1的直线L过椭圆 之长.= l的右焦点，交椭圆于A, B两点，求弦AB例1解:由椭圆方程知:a、4/=1,1=3.右焦点F（有,0）直线防程为:y = x-&：.ab=演一5=Ji+mqa+引2_羯5十二例2已知点分、月分别是椭圆七十匕=1的左、右 焦点，过马作倾斜角为f禽直.求耳通的面积.4例2解：.椭画5 + r = 1的两个恁点坐标和（T，0）,生（1，。）:.直线AB的方速为J，=K1设/（X，川,Bg, y2） y-x-i 由小 , 消去并化简整理得43x2 - 4x = 0 Xj + x, = -,x/2以剧=#巧+（员-yj =&qu

12、ot;（巧-xj =M（*i +f）' T巧=点写到直线45的距离"=五 v2二年“：4网4拒我=?答：的面积等于g|A约=2。;例3如图，已知椭圆 ax1 +by2 = 1与直线x+y-l=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是2 试求a、b的值。例3 解:消J-得：(a +-2bx+b-l = 0Va=4Z>2-4(a+/>)(£>-1)>0- ab<a + b物(演,乂)1(0乃)2bb-.,+.r2=_,VX2=_a+b a+b.1，=:.b = &a又W同=jl+必Ja +)，-4x吊 b 2 r-：.2

13、42 =&J(2)纪a =：力=日Y a+b Q+b33题型五：中点弦问题例1：已知椭圆§ +京1（必分0）截直线y=kr+m所得弦的中点坐标为（xoryo ）,求直线的斜率 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法.例1解设椭圆方程为了+7=l(o>»>0),直线片kr+m与椭圆交于4,B(xt , yi),则-尊01+力坐-»）8+4室1-修）由6地2f 2）3（靖_/）=0即号丝=_1 2x - x2 a. G _乂一乂 _ b- N+f bl % ' KAB _2；_2 -七一 W。Ji+Ji a %点评关于中点弦

14、问题，一般采用两种方法解决：（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.利用“点差法”求解，即若椭圆方程为料弦=1,直线与椭圆交于点山）、B(X29 yi)9且弦4B的中点为M的o, yo),则由一得加什彳一式)+。2(工彳丘)=0,.yi-yi _尤 xi+xi _P_ xo*xi-X2- a1 y+yi a2 yo这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.例2：已知椭圆 哥+q=1，过点P(2, 1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.方法1鼾：设所求直线的方程为尸一1 = &(1-2) 代入椭圆方程并整理，得(4公 +

15、 1)/-8(2*2-41 + 4(2* 1好一】6-0.设直线与椭圆的交点为ACn，V).BCx».则n,工是上面的方程的四个根.,力+4=端不产.TP为弦AB的中点，.2=红舁=嗯字,解得£一一：二所求直畿的方程为#+2y-4=0. 韦达定理一*斜率书达定理法：利川历达定理及中点坐标公式来构选箫法二:设直线号椭圆交点为4(工|,»)加(，力)，则,'P 为弦 AB 的中点.q+H2=4.yi+»-2又：A,B 在椭圆上.；H+4y = 16.xi+4W = 16.两式相减，得cd-Y+4(y-/)-o.即(F+才?)5 -4 )+41yi+&

16、gt;»)(»/)=0.KZJX,-<xi+.xt)-± 即 "-十.G -g 4(y)+y? )2Z'所求直线方程为厂一+(£-2),即r+2j-4=0.点方法:利用端点在曲笈I坐标满足方葬,作功构造 出中点坐标和斜率.(点茶法)解法三:设所求直线与蛹圆的一交点为人ao).：另一个交点为B(4才,2则在椭圆上./+4，= 16,(4-t)24-4(2-)»-16 所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y>4=0从而A,B在直线x+2y-4=0 I.而过a,b两点的直线旦只:n'一条

17、工所求直线的方程为x+2y-4=O, 解后反思：中点弦时跪求解关键在于充分利用“中点”这 一条料，火活运用中戊坐标公式及韦达定理，题型六：定值问题1 .与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法(1)结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数 适合的不等式(组)，通过解不等式(组)，得出参数的变化范围；(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为 自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；(5)利用不等式，若能将问题转化为“

18、和为定值”或“积为定值”，则可以用基本 不等式求解；_例L (定点问题)已知椭圆C:£ + * = l(a>b>0)的离心率为乎，M(石,一是椭圆 C上的一点.（1）求椭圆。的方程；（2）过点P（-4,0）作直线/与椭圆C交于不同两点4、B, A点关于x轴的对称点为O,问 直线5。是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.例 1【详解】（1） ； £= N, a2=b2+c2y *,«a2 = 4Z?2» A = 1,a 2心 b2L 1x2将彳)代入椭圆C,.护=1,.C：L+y2=l. 24(2)显然A6斜率存在，设46方程

19、 为：y = k(x+4),X- 2 = 4- =>(l+4k2)x2 + 32k2x+64k2 -4 = 0,J = %(x + 4),， 1 = 16 192/ >0，<.设A(x，yJ, B(x2,y2) ,；.Xl + x2=-32k21 + 4公64/4“ + M (x xj, .=()时 x = % +x2yY -_ 2姐占 + 4k(8 +x2)M + K %(占+占)+ 8%n/64公一4、, 32k2、32F + 8k + 32&32M + 4/)+ 以(彳/)28&3 8A - 128k3&（-岩E +以 l + 4k 直线5。过定点（1,。）.例2 （定值问题）已知直线不一2+ 2 = 0经过椭圆。：+ 三 =1（。人 0）的左顶点 a- b-A和上顶点O,设椭圆。的右顶点为B.（1）求椭圆。的标准方程和离心率。的值;（2）设点S是椭圆上位于x轴上方的动点，求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值.【详解】（1）由己知得，椭圆。的左顶点为A（2,0）,上顶点为0（0,1）,:« = 2 , b = l