艺术生高考数学专题讲义：考点23二元一次不等式(组)与简单的线性规划

1、考点二十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划知识梳理1 .二元一次不等式(组)表示的平面区域直线l: Ax+ By+C=0把直角坐标平面内的所有点分成三类：在直线Ax+By+C= 0上的点；在直线Ax+By+C= 0上方区域内的点；在直线Ax+By+C= 0下方区域内的点.(2)二元一次不等式组表示的平面区域：不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域.2 .确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法基本方法：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.(2)关

2、于边界问题：当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取 原点.3 .线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x、y满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题4.利用线性规划求最值的基本步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值

3、或最小值典例剖析题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 (1)已知点P(3, 1)和A(1,2)在直线ax+2y1 = 0的两侧，则实数 a的取值范围为x-3y+60（2）不等式组5表布的平面区域是.（填序号）|x-y+20答案 (1)(8, 1)U(3, +8)(2)解析 (1).P、A 在直线 ax+2y1=0 的两侧，(3a-3)(- a+3)3 或 a1.（2）把（0,0）代入第一条直线，满足不等式，所以在x- 3y+6 = 0的下方区域（含边界），把（0,0）代入第二条直线，不满足x y+20,所以在直线xy+2=0的上方区域（不含边界），取二者公共区域， 答案为.r2x+

4、y-60,表示的平面区域的面积.y 22x+y-60,表示的平面区域如图所示（阴影部分），4ABC的面积即为所求.2求出点A, B, C的坐标分别为1A(1,2), B(2,2), C(3,0),则 ABC 的面积为 S= 2X(21)X2=1.解题要点 判断在直线哪一侧，一般取特殊点，如果直线不过原点，就取原点判断；若直线过原点, 就另取点（1,0）或（0,1）等判断.题型二 求线性目标函数最值问题-x1,答案 7z= x+ 3y,解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.y=- 1x+ z. 33将直线y=1x向上平行移动，当经过点 C时，z取得最大值，由方程组1y x-1,3X+y=

5、3,x= 1,得 i，C(1,2),y=2.二. z 的最大值为 zmax= 1 +3X2 = 7.x+ y - 2 w 0,变式训练 (2015新课标I文)若x, y满足约束条件x 2y+1W0,则z=3x+y的最大值为12x y+20,答案 4解析 x,y满足条件的可行域如图所示的阴影部分，当z=3x+ y过A(1,1)时有最大值，z=4.解题要点求z= ax+ by(abw 0)的最值方法将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=-7x+7,通过求直线的截距 :的最值间接求出z的 b bb最值.(1)当b0时，截距z取最大彳1时，z也取最大值；截距 后取最小值时，z也取最小值;当b0时

6、，截距z取最大彳1时，z取最小值；截距z取最小值时，z取最大值. bb准确做出可行域，是解决此类问题的关键题型三利用线性规划求解非线性问题最值x-4y+3 1.设z= y,求z的最小值；(2)设z= x2+ y2,求z的取值范围.x-4y+3 0,解析 由约束条件3x+ 5y-25 1,x= 1,F 22 1由:525 0 解得人，5 /r .x= 1,由1解得C(1, 1).|x 4y+3=0,x- 4y+3=0,由f解得B(5, 2).l3x+5y-25= 0,y y 0(1).z=,J x x- 0z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知Zmin=koB = 2.5(2)z

7、= x2+ y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中, dmin=OC|=皿，dmax=OB|=V29.2z- x+ 1,yWx+1,答案1, 5,即为求不等式所表示的平面区域内的点与（0, 1）的连线斜率k解析由题可知y+1 y ( 1)x 0的取值范围，由图可知kC 1, 5.解题要点 解决此类问题，关键是弄清楚目标函数的几何意义，然后利用数形结合思想求解。常见 的目标函数及其几何意义如下:斜率型：y表示点（x, y）与原点（0, 0）连线的斜率值； x匕b表示点（x, y）与点（a, b）连线的斜率值. x a（2）距离型：W+y2表示点

8、（x, y）与原点（0, 0）的距离；N （x a） 2+ （ yb） 2表示点（x, y）与点（a, b）的距离；题型四 利用线性规划求解实际问题例4 （2013湖北高考）某旅行社租用 A, B两种型号的客车安排 900名客人旅行，A, B两种车辆的 载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于 A型车7辆，则租金最少为 .答案 36 800元3 36x+60y900,yxW7,解析 设租用A型车x辆，B型车y辆，则约束条件为,y+x0,1. （2015安徽文）已知x, y满足约束条件 仪+y4W 0, 则z= 2x

9、+ y的最大值是 . yfi,答案 1解析 约束条件下的可行域如图所示，由z= 2x + y可知y=2x + z,当直线y=2x+z过点A（1,1）时,截距最大，此时z最大为1.Zx+ 5y 8,2. （2015广东理）若变量x, y满足约束条件1WxW3,则z= 3x+ 2y的最小值为 10 W y W 2 ,答案23 5解析 不等式组所表示的可行域如下图所示,z取得最小值即由z= 3x+ 2y得y=3x+ z,依题当目标函数直线l: y= x+W经过A* , 4 I 22225c , c 423Zmin=3X1 + 2X5=T.x+ y 4,3. （2015湖北文）设变量x, y满足约束条

10、件x y 0,答案 10解析 作出约束条件表示的可行域如图所示:易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3x+y,求得的值分别为10,6, 6,比较可得(3,1), (1,3), (1, 3),将三个点的坐标依次代入3x+ y的最大值为10.x 一 2 w 0,则目标函数z=3x+y的最大值为4. (2015天津文)设变量x, y满足约束条件 似2yw 0,、x+2y 8Q5. (2015新课标I理)若x, y满足约束条件ix-y 0,1. （2015福建理）若变量x, y满足约束条件彳x y 0,答案-5解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z=2x y可化为y= 2x-z,由图形可知当

11、 y=2xz过点（T，1 M z 最小，zmin=2* （勤1=- 2.x+y 50,则z= 2x+ y的最大值为lx-2y+10,答案 8解析x+ y 50,表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC.作直线I。： 2x+y= 0,2y+ K0x+ y 5=0,平移l0到过点A的直线l时，可使直线z= x+y在y轴上的截距最大，即z最大，解”x- 2y+ 1 = 0x= 3，rr _一 一_ _得； 即 A（3,2）,故 z最大=2X 3+ 2=8.y=24:2*+*口a+X-5-01吨每种产品所需3万元、4万元，3. （2015陕西文）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B两种原料，已知

12、生产原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为则该企业每天可获得最大利润为 甲乙原料限额A（吨）3212B(吨)128答案 18万元3 3x+ 2yw 12,一 、_ ,., 一,1x+2y0,1 y 0,目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点 A处取到最大值.x+ 2y= 8,由 得 A（2,3）.|3x+2y= 12,则 Zmax= 3X2+4X3= 18（万元）.x-y0,4.（2015山东理）已知x,y满足约束条件ix+y0,若z= ax+y的最大值为4,则a=答案 2解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

13、易知A(2,0),x y= 0,由得 B(1,1).由 z= ax+y,得 y= ax+z.y=2,当a=2或a=3时，z= ax+y在O(0,0)处取得最大值，最大值为Zmax=0,当a=2或3时，z= ax+y在A(2,0)处取得最大值，2a = 4,a = 2.x+2y0,则z=2x+ 3y的最大值为 、xW4,答案 5解析 如图，过点（4, 1）时，z有最大值Zmax= 2X4-3= 5.x+y1,6. （2015湖南文）若变量 x, y满足约束条件iy-x1,解析 作出SyxW1,表示的平面区域如图：平移直线y=2x-z知，过点M（0,1）时，x0,7. （2015天津理）设变量x,

14、 y满足约束条件x-y+30,则目标函数z=x+ 6y的最大值为i2x+ y 3W 0,答案 18解析 画出约束条件的可行域如图阴影，作直线 l: x+6y=0,平移直线l可知，直线l过点A时,目标函数z=x+ 6y取得最大值，易得 A（0,3）,所以Zmax= 0+6X 3= 18.x+y0,若z=2x y的最大值为2,则实数m8. （2015福建文）变量x, y满足约束条件ix-2y+20, gx yw 0.等于.答案 1解析 当m=2时，可行域如图（1）,直线y=2xz的截距可以无限小，z不存在最大值.当m= - 1时，mx yW0等同于x+ y 0,可行域如图（2）,直线y=2x z的

15、截距可以无限小，z不 存在最大值.当m= 1时可行域如图（3）,当直线y=2x-z过点A（2,2）时截距最小，z最大为2.当m= 2时，可行域如图（4）,直线y=2x z与直线OB平行，截距最小值为 0, z最大为0.x - y +1 0,9. （2015新课标II理）若x, y满足约束条件ix-2y 0, 则z= x+y的最大值为 x+2y 20,彳x2yW0,表示的可行域为如图所示的阴影三角形ABC.作直线6 x+ y=0,平移1。到过点Ax+2y-2W0x 2y= 0, 的直线l时，可使直线y=-x+z在y轴上的截距最大，即 z最大，解8+ 2y-2=0x= 1,得 1y=2,%.即 A

16、（1, 2）故 z最大= 1 + 1 = |.x+y3,一,一 r 一一、，-y + 1 , 一 , 一、，10.设变量x. y满足约束条件：x-y- 1, 则目标函数z=的取小值为xNxyw 3,答案 1解析 不等式组所表示的平面区域如图中的ABC,目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0,x+ y= 3,1)连线的斜率，显然图中AP的斜率最小.由1解得点A的坐2x-y=3,，,一 一 v+1, 一，-1 + 1标为(2,1),故目标函数z=匕的最小值为 宁 =1.x2x+ yw 10,11 .已知x和y是实数，且满足约束条件 Jx-y 7,答案232 z2解析 做出不等式对应的可仃域如图所

17、不，由z=2x+3y得y=- -x+-,做直线y=-x,平移直线3 33y= ：x,由图象可知当直线经过C点时，直线y= jx+3的截距最小，此时z最小，又eg, 2 !,代入目标函数得z= 2x+ 3y= 2X7+3x3=23.*4二、解答题12 .咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉 4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克，甲种饮料每杯能获利润 0.7元，乙种饮料每杯能获利润 1.2元，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解析 设每天配制甲种饮料 x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润，利润总额为z元.由条件知：z= 0.7x+ 1.2y,9 9x+4y3600,! 4x+5y2000, 变量x、y满足3x+ 10y0, y 0,且x、y均为整数.作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线 l: 0.7x+ 1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过 A点的位置时，z= 0.7x+1.2y取最大值.3