清华大学暑期学校测试真题

1、清华大学2016年暑期学校测试真题-CAL-FENGHAI-(2O2OYEAR-YICAI)JINGBIAN清华大学2016年暑期学校测试真题21 .已知Ovlog。一<1且awl,则。的取值范围是2、 【答案】0,-2【解析】根据题意，有log2“>l,于是。的取值范围是0,二.< 3）2 .在锐角A4BC中，a = J7/= 3,sinA +J7sin8 = 2jT,则A43C的而积是. 中 3也【答案】二一 2【解析】解法一：由正弦定理可得其中斤为dABC外接圆半径，于是sin A =2R 2从而根据余弦定理b2 +c2 -2 = 2bccosA,解得c = l （此时

2、B为钝角，舍去）或c = 2 因此A48c的面积解法二：根据正弦定理yjl sin B = asinB = bsin A = 3sin A ,于是其余同解法一.3 .已知椭圆C：g + ；=1的左、右焦点分别为"，尸厂过点尸工作直线（与椭圆交于A, C两点，直线4的斜率为1，过点G作直线与椭圆交于8,。两点，且AC_L8Q,则四边形AC8O的面枳是.【答案】25【解析】由焦点弦长公式，可得四边形AC83的面积° ACBD= -ACBD 2_ 12 加2ab22 a2-c2 cos2. a2 -c2 cos21 96259其中 = 0,/? = V5,c = i,q =?，a

3、 =4 .在正方体 的底而AC42内有一点M ,且8M 平面ARC,则tan/2M。的最大值是【答案】V2【解析】作平面84G，如下页图，根据题意，点例在线段A】G上运动.于是tan NO幽。=< 四=衣1 。也”(A，4G)当例位于4G的中点时取得等号，因此所求的最大值为JI.5 .已知集合4 = #/-21一3>0,8 = 1|丁+内 + /?«0,408 =凡4口8=(3,5,则 a + b=.【答案】-9【解析】根据题意A = (yo,-4)U(3,X>),于是析=-1,5,从而由韦达定理得一。=-1 + 5 = 4,。= 一1乂5 = 5 ,于是。+ /?

4、 = 9./ X6 .圆心为点(0,1)的单位圆沿x轴正向滚动，初始时刻点P的坐标为0(0,0),当圆心运动到-J时,1 2 )点尸的坐标为.【答案】(一1,1【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了一， 2于是点(0,0)旋转到点(一1,1)：Z再考虑平移，可得尸-1,1 (2)7 .已知等差数列%的前项和为5“，且5|05 =2016, S刈6=105,贝.【答案】-2121【解析】根据题意，关于的方程S“+ = 2121有两个实数根 =105和 =2016,考虑到/()=+形如a" + .，因此由/(105)= 2016)可得，/(2121) =/(105 + 2016) =

5、/(0)= 0.备注：一般地，若等差数列的前项和S“满足Sp=g且Sg=，则=_( + “).8 .数列也满足角=1一-1,4=2,已知m的通项可以表示成Asin(? + c) + 8的形式，则数列&通项的一个表达试为.【答案】&S叫与+ J【解析】根据题意，有于是考虑周期为3,对应刃=三3由 4 =2,a? =一得 2AsinQ + 8 = -1,2)Asin 7T +(p +8 = 2,13)解得8 = ；, A2=3,取4 =有，于是夕可取一二9定义/h(x) = <-1, xe Af,/、/、xM，且".=""""

6、)/3 = 一|.集合 A = xlx = Z,ZwN,lkW2016,集合3 = xlx = 2太攵 eNWk42016.(1)求4(2016), 4(2016).(2) 设csd(X)为集合X的元素个数，求"7 = wd(XA4)+ ca2(XM)的最小值.【解析】根据"(X)的定义,有人(2016) = -1,力(2016) = 1.设集合X中有/个元素既不在A中也不在3中，引个元素只在集合A中，9个元素只在集合8中,七个元素同时在集合A，8中，如图.in = card (XAA)+ card (X AB)=+ x2 + card(A)-xx -x3 j + x0 +

7、x)+ card(B)-x2 一.=card (A) + card (8) + 2x0 - 2x3> card (A) + card(B)- 2card(AQ B)= 2016 + 2016-2x1008= 2016当/=0,退=csd(An3)时等号成立，即ADBqX,且X三(AU8)时可取到最小值，也可以直 接取X=AC|8,因此所求的最小值为2016.10 .已知/(x) = Asin(s+0)+ 8,自变量、相位、函数值的部分取值如下表X7tT7tt 12cox +(p0n2nTn13(1)求/(x)的解析式；(2)求“X)的单调递增区间； 求在(0,2句内的所有零点.【解析】(

8、1)根据题意/函数/(x)的单调递增区间为3k汽(3)函数/(x)的零点形如f(x)=2sin(gx +寺 +1.一仁33决eZ).2 44 74A +2k 7T +,QOA也即2-x +34/r 1 n=2a+,k eZ 9解得其在(0,2句内的所有零点为x =13乃1211 .己知圆O:/ + y2=i6,为圆。与X轴的两个不同的交点，412是圆。在点48处的切线，户为圆上不与4,8重合的点，过点尸的切线交/于CO两点，A。与8c交于点何(?,).(1)求?与之间的数量关系；(2)存在一点Q(,0)且。0,使得叫的最小值是斗，求。的值.【解析】(1)如图，设尸在x轴上的投影为H,则由梯形的性质可得其对角线的交点”为线段尸的中 点.22=1(工0).因此加与之间的数量关系为:+ 21164根据题意QM =(ni a) +n2 =(m a) +4(/ =由于WO, -4 < m < 4 ,因此只有12 .已知直线/为曲线C:)，=”出在点(1m)处的切线.X(1)求直线/的方程(2)求证：当。<1时，直线/除切点外恒在。的上方.【解析】记“力二”史,则“X)的导函数AX 于是切线/方程为y = (a)x + 2a l.(2)只需要证明当时，有Tx>0,xW 1,忆"一' <(a)x + 2a ,