质点力学 (2)

1、关于质点力学 (2)第一页，共73页幻灯片研究物体的机械运动运动与作用力力之间的关系动力学的主要内容动力学所涉及的研究内容包括：1. 1. 动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力。2. 2. 动力学第二类问题已知作用在系统上的力,求系统的运动。第二页，共73页幻灯片 Issac Newton（1643164317271727）杰出的英国物理学家,经典物理学的奠基人.他的不朽巨著自然哲学的数学原理总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果. 他在光学、热学和天文学等学科都有重大发现. 牛顿第三页，共73页幻灯片导导 读读 牛顿三定律、惯性、力牛顿三定律、惯性、力 惯性系、非惯

2、性系、惯性力惯性系、非惯性系、惯性力 力学相对性原理、伽利略变换力学相对性原理、伽利略变换1.4 质点运动定理质点运动定理第四页，共73页幻灯片 物体保持其运动状态不变的性质物体保持其运动状态不变的性质力：力： 物体间相互作用物体间相互作用任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态. 惯性定律它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系选定了一类特殊的参考系惯性参考系惯性参考系 第五页，共73页幻灯片mgFT牛顿定律成立的参考系牛顿定律成立的参考系相对于惯性系作加速运动的参考系相对于惯性系作加

3、速运动的参考系ay x 惯性系与非惯性系惯性系与非惯性系第六页，共73页幻灯片动量：动量：vmP注意注意: :质点质点 惯性系惯性系 瞬时性瞬时性 矢量性矢量性dtpdFiiFF注意注意: :二力同时存在二力同时存在, , 分别作用于两个物体上，属同一性质的力分别作用于两个物体上，属同一性质的力baabFF第七页，共73页幻灯片小小 结结任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态. 惯性定律动量：动量：vmp注意注意: :质点质点 惯性系惯性系 瞬时性瞬时性 矢量性矢量性dtpdFiiFF注意注意: :二力同时存在二力同时存在, , 分别作用于两个物体上，属同一性质

4、的力分别作用于两个物体上，属同一性质的力baabFF第八页，共73页幻灯片1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程导导 读读运动微分方程建立运动微分方程建立运动微分方程求解运动微分方程求解第九页，共73页幻灯片)(trF22dd( , )ddrrmF rttt建立运动微分方程 1. 1. 自由质点自由质点解方程解方程1） 分析受力分析受力重力一定有，重力一定有，弹力查四周，弹力查四周，分析摩擦力，分析摩擦力，莫忘电磁浮莫忘电磁浮第十页，共73页幻灯片（2）化为标量方程 直角坐标系),(),(),(tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx ),()2(),()(trrF

5、rrmtrrFrrmr 2dd0nbvmFtvmFF 平面极坐标 自然坐标第十一页，共73页幻灯片（3）初始条件000vvrrt，)(trr )()()(tzztyytxx（4）求解 运动方程第十二页，共73页幻灯片2. 2. 非自由质点非自由质点 解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替22dd( , )ddrrmF rtRtt 运动微分方程 解方程与自由质点一样 注意（1） 一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便R第十三页，共73页幻灯片 1) 光滑约束，约束力光滑约束，约束力在轨道的法平面内在轨道的法平面内(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.2d (1)d (2 )0

6、(3)tnnbbvmFtvmFRFRRFtebe ne第十四页，共73页幻灯片2d (1)d (2)0 (3)ttnnbbvmFRtvmFRFR22222 tNnbtnbRRRRRRRR4个方程4个未知数,可解2) 非光滑约束非光滑约束 第十五页，共73页幻灯片例题1 力仅是时间的函数自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：)cos(0tEEx)cos(0teEeEFxx22ddxxmFt202dcos()dxmeEtt 0dcos()dvmeEtt 电子受力：由第十六页，共73页幻灯片积分得000dcos()dvtveEvttm)sin(sin000tmeEmeEvv000dsinsin()deE

7、eExvttmm00000dsinsin()dxtxteEeExvttmm)cos()sin(cos2000200tmeEtmeEvmeExx第十七页，共73页幻灯片例题2 力是速度的函数在具有阻力的媒质中运动的抛射体 分析：受力 mg R 运动微分方程Rgmrm 2d( )sindcosvmR vmgtvmmg 用自然坐标系分解（运动方向为正）第十八页，共73页幻灯片dds ddddddddvvsvvtsts2d( )sindcosddvmvR vmgsvmmgs 2d( )sindcosvmR vmgtvmmg 第十九页，共73页幻灯片两式相比可解出1 d( )sindcosvR vmgv

8、mg)(fv 第二十页，共73页幻灯片22ddd ( )cos( )dd dxxsvfxxsgg 22ddd ( )sin( )dd dyysv tgftgyysgg dd dsec( )sec( )dd dttsvfttsvgg 消去参量 可得运动方程因此：第二十一页，共73页幻灯片ddddxxyyvmxmbvtvmymmgbvt 通解通解+特解特解btmAe0yymgbvmgvb +第二十二页，共73页幻灯片23111ln(1).23nxxxxxn第二十三页，共73页幻灯片例题3 力是坐标的函数原子在晶体点阵中的运动kzkj yki xkzyxFzyx),(),(zyxFrm zkzmyk

9、ymxkxmzyx mkxx2xxAxxt，00)cos()cos()cos(zzzyyyxxxtAztAytAx可解得初始条件：令直角坐标分解：运动微分方程：第二十四页，共73页幻灯片受迫振动LRC电路)(tFkxxbxm )(1tEqCqRqL 第二十五页，共73页幻灯片例题4 质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落，如阻力与速度成正比（mkv），试求运动方程。解：受力Rgm、Rgmrm Rmgxm xmkmgxm xkgdtxd建一维直角坐标系，分解运动微分方程APxmkvmgOh第二十六页，共73页幻灯片积分速度xtdtxkgxd00)1 (ktekgxtk

10、thdtekgdx00)1 (tkgekghxkt)1 (2kgx 匀速直线运动 讨论：t 增加，运动方程第二十七页，共73页幻灯片例题5 小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为 .试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。ayx42Rgm、Rgmrm 2dsindcosvmmgtvmmgR mgR2解微分方程组可得自然坐标，运动方向为正运动微分方程解：受力：mgRxyo第二十八页，共73页幻灯片dsindysdxdydsmgRxyodd dddd dtdvv svvtss21dd()2v vg yvg ya 第二十九页，共73页幻灯片小小

11、结结 自由质点 非自由质点 受力分析 写出运动微分方程矢量式 建立适当的坐标系分解标量方程 解微分方程)(trF第三十页，共73页幻灯片1.6 非惯性系动力学非惯性系动力学a惯性系惯性系牛顿定律成立的参考系。牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系非惯性系相对于惯性系做加速运动的参考系。在非相对于惯性系做加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。惯性系内牛顿定律不成立。gmTFF第三十一页，共73页幻灯片 S系： 静系oaaaamFoamamF()omaFma 移项于是S系：动系mgTamQa第三十二

12、页，共73页幻灯片物理意义 惯性力不是物体间的相互作用，没有施力者，也不存在反作用力惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。amQF非惯性系的加速度非惯性系的加速度惯性力惯性力合外力合外力()oFmama 第三十三页，共73页幻灯片1.7 功与能功与能 功、能量定义功、能量定义 势能、动能势能、动能 保守力系保守力系导导 读读第三十四页，共73页幻灯片1 1 什么是能量？什么是功？什么是能量？什么是功？所以必须先给出其中一个物理量确切的定义所以必须先给出其中一个物理量确切的定义!(本教材定义本教材定义)功功: 凡是作用在物体上的力凡是作用在物体上的力, 使得物体沿力使得物体沿力的方向上移动

13、了位置的方向上移动了位置, 就说力对物体做了功就说力对物体做了功. 一般来说一般来说, 功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移.第三十五页，共73页幻灯片dcosddWFrFrFdr Jdr Fab质点沿曲线质点沿曲线 L 从从 a 运动到运动到 b力力 F 所做的功所做的功：dWdFrd () (ddd) dddLxyzLxyzLWFrF iF jF kxiyjzkF xF yF z第三十六页，共73页幻灯片rrMmGF3003dbarrMmWGrrrddcosdrrrrr r002d11barrabrWG MmG Mmrrr abarbrrrdrrd

14、dr万有引力、电磁力等万有引力、电磁力等第三十七页，共73页幻灯片合力的功合力的功：12ddnLLWFrFFFr12dddnLLLFrFrFr合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和. .功率：功率：ddddwFrpF vtt第三十八页，共73页幻灯片2 2 能能 物体处在某一状态所具有的能量 能是状态量，功是过程量，是能量变化的量度 机械能 势能动能221mvT 物体相对位置发生变化 V第三十九页，共73页幻灯片力场力场: 假如力仅是坐标假如力仅是坐标x x、y y、z z的的单单值、有限值、有限和和可微可微的函数，则在空间区的函数，则在空间区域每一点上，都将有一定的力作

15、用着域每一点上，都将有一定的力作用着，这个空间区域叫做力场，这个空间区域叫做力场. .第四十页，共73页幻灯片保守力做功与路径无关保守力做功与路径无关例例子子2112dyyAmgymgymgy 22212121kxkxA002d11barrabrAG MmG Mmrrr 第四十一页，共73页幻灯片第四十二页，共73页幻灯片ddddVVVWxyzxyz ( , , )VVVFV x y zijkxyz 则则如果力做功与中间路径无关，则必存在单值、有限、可如果力做功与中间路径无关，则必存在单值、有限、可微的函数微的函数V(x,y,z)V(x,y,z) d0Fr第四十三页，共73页幻灯片FV Nab

16、la, 拉普拉斯拉普拉斯The name comes from the Greek word for a Hebrew harp, which had a similar shapeijkxyz第四十四页，共73页幻灯片在物体从位置在物体从位置a a移动到移动到b b时，保守力做功为势能时，保守力做功为势能V(x,y,z)V(x,y,z)的的减少值减少值，即，即 dbarabrWFr例子例子:重力势能、弹性势能、引力势能重力势能、弹性势能、引力势能质点在位置质点在位置 处的处的势能势能br ( )( )baV rV r第四十五页，共73页幻灯片 取取 r0 点为势能零点，则任意一点点为势能零点

17、，则任意一点 r 的势能为：的势能为：( )dorrV rFr关于势能的几点说明关于势能的几点说明请推导：请推导：第四十六页，共73页幻灯片mghEp221kxEprMmGEp0推导推导第四十七页，共73页幻灯片保守力充要条件0F000yzxzyxFFyzFFzxFFyx xyzijkFxyzFFF第四十八页，共73页幻灯片例题1设作用在质点上的力是6252zyxFzyxFzyxFzyx7sincoszyx20011022011xFyFxFzFzFyFyxzxyz求此质点沿螺旋线运行自时，力对质点所做的功.解：解：力是否保守力？力是保守力，做功与路径无关第四十九页，共73页幻灯片dddBxyz

18、AWF xF yF z2221,0,141,0,0d(256 )222xyzxyxzyzxz70982zxzyxyzxzxyV652222222势函数第五十页，共73页幻灯片例题2 接上题条件, 若1285432zyxFxzFzyxFzyx0FdddBxyzAWF xF yF z226982可以证明做功与路径有关不存在势函数第五十一页，共73页幻灯片小结小结 功、能量定义功、能量定义 势能、动能势能、动能 保守力系保守力系kzVjyVixVFvFdtrdFdtdwprdFdrFdAcos势能动能221mvT 物体相对位置 V0rdF第五十二页，共73页幻灯片1.8 质点动力学的基本定理与基本守

19、恒律质点动力学的基本定理与基本守恒律导导 读读 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律 力矩与动量矩力矩与动量矩(角动量角动量) 动量矩定理与动量矩守恒律动量矩定理与动量矩守恒律 动能定理与机械能守恒律动能定理与机械能守恒律 势能曲线势能曲线第五十三页，共73页幻灯片牛顿运动定律：牛顿运动定律：amFd()dmvpFdtdtddpF t如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ddooptptpF t第五十四页，共73页幻灯片1 1 质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量

20、的增量量00ottIF dtppmvmv冲量：冲量：dd()ddpFmvtt 微分形式微分形式积分形式积分形式dd(mv)dtpF 第五十五页，共73页幻灯片质点所受合外力为零时质点所受合外力为零时, 质点的动量保持不变质点的动量保持不变条件：条件： 0iF 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域0Fcvmp0F0 xFcxmpx则但分量形式：若意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.则若第五十六页，共73页幻灯片（1 1） 对定点的力矩对定点的力矩设作用力设作

21、用力 作用于矢作用于矢径为径为 的某一点上的某一点上FrFrM单位：单位：Nm作用力作用力 对参考原点对参考原点O 的力矩定义为：的力矩定义为：FFrOdM第五十七页，共73页幻灯片FrMsinMFr 位矢位矢 与作用力与作用力 的矢积方向的矢积方向Fr作用力线到参考点作用力线到参考点O 的垂直距离的垂直距离( (d d = =r rsin sin ) ) FrOdM第五十八页，共73页幻灯片zFrFdMrF力矩逆时针方向力矩逆时针方向 为正为正. .M力矩顺时针方向力矩顺时针方向 为负为负. .MMF（2 2） 对定轴的力矩对定轴的力矩第五十九页，共73页幻灯片求作用力求作用力 对空间某轴的

22、力矩对空间某轴的力矩, ,考虑分量考虑分量, ,力对原点的力矩为力对原点的力矩为FrFxyz(L)FyFzOkyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrMxyzxyzzyx上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量, 也就是力分也就是力分别对三坐标轴的力矩别对三坐标轴的力矩. 所以求力对轴的力矩所以求力对轴的力矩, 可以先求可以先求对轴上一点的力矩对轴上一点的力矩, 再投影到轴的方向再投影到轴的方向.第六十页，共73页幻灯片已知力已知力 平行于平行于Z Z轴，求它对轴，求它对Z Z轴的力矩轴的力矩Fyrz(L)FO 0000zzyxzyxzzijkMr

23、FxyzFyFzFizFxFjxFyFkyFixFjk力和轴线平行，力矩为0第六十一页，共73页幻灯片orvmL质点对质点对O点的点的动量矩动量矩kg m2s-1sinsinLrpmvrvmrprL质点对轴的质点对轴的动量矩动量矩xyyxmLzxxzmLyzzymLxyx,第六十二页，共73页幻灯片vmrLdtvmdrvmdtrddtLd)(其中：其中：vdtrd所以：所以：0vmdtrd又又Fdtvmd)(dtLdFrM 质点所受的合外力矩就等于角动量对质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率时间的变化率.动量矩定理：动量矩定理：3 质点的动量矩定理质点的动量矩定理第六十三页，共73页幻

24、灯片若质点不受力的作用若质点不受力的作用,或者虽然受或者虽然受力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。const. , 0 , 0LdtLdM 合外力矩的冲量矩等于质点系动量合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。矩的增量。2112ttLLdtM第六十四页，共73页幻灯片例例2 2、一质点所受的力、一质点所受的力, ,如通过某一个定点如通过某一个定点, , 则质点必在一则质点必在一平面上运动平面上运动, ,试证明之试证明之. .解解: 力所通过的那个定点叫做力心如取这个定点为坐标系力所通过的那个定点叫做力心如取这个定点为坐标系的原点的原点, 则质点的位矢

25、则质点的位矢 r 与与F 共线，二者的矢量乘积为零共线，二者的矢量乘积为零, 故故L 为一恒矢量所以为一恒矢量所以:321)()()(CxyyxmCzxxzmCyzzym(1)(2)(3)用用x乘乘(1)，y乘乘(2)，z乘乘(3)，并相加得，并相加得0321zCyCxC由解析几何由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在这个平知上式代表一个平面方程，故质点只能在这个平面上运动面上运动第六十五页，共73页幻灯片221mvEk单位：单位：JFtrm22dd牛顿方程牛顿方程经过数学运算得到经过数学运算得到rFmvdd221质点动能定理质点动能定理:akbkabEEmvmvA222121第六十

26、六页，共73页幻灯片(2) (2) 机械能守恒定律机械能守恒定律 如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持不变不变. 这个系统也常称为保守系这个系统也常称为保守系.VF),(),(2121000202zyxVzyxVmvmv20000221),(),(21mvzyxVzyxVmv力是保守力第六十七页，共73页幻灯片第一积分或初积分如果方程ctzyxzyxGx),(对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分. 数学上：二阶微分方程降为一阶 物理上：力学量 G 是一个守恒量 物理意义明显的初积分： 动量守恒、动量矩守恒、能量守恒 由初积分出发问题的求解简化了一步 优先使用守恒律第六十八页，共