现代数字信号处理题解

1、现代数字信号处理复习题一、填空题1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。判断随机信号是否广义平稳的三个条件是:(1) x(t)的均值为与时间无关的常数：mx(t)=C (C为常数)；(2) x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：Rx(ti,tj) = Rx(ti,ti +t)= Rx(i)；(3)信号的瞬时功率有限，即：Dx = Rx(0)<g。高斯白噪声信号是指： 噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数，好象

2、经历了随机过程的所有可能状态，因此，用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均。广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ,其时间自相关函数的定义为： 。时连续信号工加= litnr) = E >x(i + r) = |im 弄J ,(r)工(f + r)山寓敢信号：芯-) - Um i £工(制) *磴(mS jr(rt)jr(n + m )值得注意的是，遍历信号的前提是其必须其信号口2、连续随机信号f(t)在区间卜孙上的能量E定义为： 可心)卜,。|九其功率p定义为：乩©=眄；，：汽研九离散随机信号f(n)在区间S上的能量E定义为：+=&|阿>其

3、功率p定义为：电加卜射击 自外M注意：(1)如果信号的能量0<E<8,则称之为能量有限信号，简称能量信号。(2) 如果信号的功率0<P<8,则称之为功率有限信号，简称功率信号。3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。4、对平稳随机信号，其自相关函数为Rx(W),自协方差函数为Cx(T),(1)当 7 T 0时，有：Rx(T) = Dx , Cx(7)=仃2。(2)当 ET 比 时，有：Rx(T)=m： , Cx(7) = 0。5、高斯-马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表

4、达式可表示为：Rx(7)=g-,、1p(x)=20 二2X2 106、高斯-马尔可夫信号x(t)的自相关函数为Rx(Jt)=10e_4|4 ,其均值mx =A； RXoa) =0，均方值Dx =RX(0) =10 ,方差仃2 =Dx =10。其一阶概率密度函数的表达式为:注意：(1)Dx(t)=Q：(t) +m2(t)(2) 一阶高斯随机信号的概率密度函数为:1p (x) = . exp 士 一2 2jIO-(X-mx)221第11页，共10页式中，:-2 =Rx(0) =Dx227、求MA(1)的功率谱的一般表达式为：Sx(o)=|H(ej|仃2=仃2 1+证?。8、由Wold分解定理推论可

5、知，任何 AR或ARMA序列均可用无限阶的惟一 MA模型MA”)来表示。9、经典功率谱估计的方法主要有周期图法(直接法)和相关图法(间接法)两大类。对经典谱估计方法的改进措施主要有：(1) 经典谱估计性能分析；(2)Bartlett法谱估计；(3)Welch 法谱估计。10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指：在最小均方误差(MMSE准则下，误差 e(n)与每一个输入样本 x(n-k) 者B是正交的。11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越;最小特征值越小，收敛速度越慢。12、谱估计的分辨率是指估计值S?(co)保证真实谱

6、 S(co)中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度。注意：主瓣越宽，分辨率越低。二、问答题1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？答：(1)如果信号的能量 0<E<8,则称之为能量有限信号，简称能量信号。(2)如果信号的功率 0<P<8,则称之为功率有限信号，简称功率信号。2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？答：(1)具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。(2)对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻 的输入无关，则该系统称为因果系统。注意：因果系统是

7、指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应 不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？答：一个线性时不变系统是用I定的充要条件：工|h(n) <gn 二-二(1)充分性：如果Q0Z h(n) <8成立，对 寸有界的输入，输出也是有界的; n =.：qQ(2)必要性：如果系统稳定，X h(n) <°°成立。n =.二4、强平稳随机信号和广义平稳随机信号是如何定义的？答：(1) 定义工-1 (平n陆机侑号)设随机信号丁的有限堆样本随机空族的 联合慨率函数为若对任意时间间隔r中(11*12，

8、*、上.,£ /2,= p(_T| =文1工，力 + T。+ F) (2,2.9) 则称X(F)为平稳随机信号，或强平稳电机信号或产平稳随机信号,(2定义4厅一氯平源信宅目有,怙的通相信蛛/nr=斗物储母更朗平稳信号。从上述定义可见,强平稳随机信号一定是广义平稳的，反之则不一定成立5、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳一辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳-辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系:Sx()=.二艮(%d . = F(Rx( )1 二iRx( ) = . 一Sx( ' )e ' d '

9、2二-(2)离散时间信号相应的维纳一辛欣定理主要内容:离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系:Sx(ej ) = /一 Rx(m)emm 一二二1R(ej )ej M6、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。对称性:对实信号Z。，由于对C)是实偶函数，因此&(w)也是实偶函数，即：SJ-邺)=5<G(2.4.5)(246)对复信号Mf),此是共匏对林的,可知8卬)是实函数.但不是偶函教翡负性始)/(2*4.7)糙限性:当 0时，有tR,(0) = J 8r(2.4.8)由于R(0) = Dr表示瞬时功率，可见对信号功率谱的积分得到信号的功率，如图2-4 所示,这

10、正是“功率9F命名的由来。Ms)KI2-4肘功季谦的粗分得到*时功率滑分解定理:如果导(抽)为8的有理函数，刖S乂皿)可分解为：S<w) = S：U)S；(w) = S： J)【f；(田)(2,4.9)式中，S；(w)为一仅在z的左半平面具有零点和极点的有理函®hS；(G为一仅在w的右 事平面具有零点和摄点的有理函有关诸分第定理的详细论述，可和阅参考文献10 和门7、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计?答：假设彳t计量为a (a可以是均值、方差、自相关函数等)，它的估计值为 ？，如果E(e?) = a,则称3为a的无偏估计，否则称 ？为有偏估计;定义估计的偏差

11、为：b =E(a)a,如果估计值J?不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋近于真实的估计量，即：limE(旬-a =0 ,则称估计值 白为渐近无偏估计。N )8、请写出 ARMAp,q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：(1) ARMA p,q)的数学模型表达式:£ E 7)a (b T)/=)式中，电1$,*,二丫2,品为常数,中0 =尸0 =1(2)该模型的电路框图如下所示:9、请写出 AR(p)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：(1) AR(p)的数学模型表达式(2)该模型的电路框图如下所示:注意：AR(p)模型又称全极点模型。10、请写出 M

12、A(q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：(1) MAq)的数学模型表达式£ 一 了)(2)该模型的电路框图如下所示:注意：MA(q)模型又称全零点模型。11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么?答：谱估计的分辨率是指估计值s?a)保证真实谱s侬)中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度，主瓣越宽，分辨率越低。12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。答：(1)相关图法又称 BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平 滑处理以

13、改善周期图谱估计的方差性能。(2)此方法的具体步骤是：给出观察序列x(0),x(1)，x(N 1),估计出自相关函数：R(m)=一 N 1 < m < N -11 N中 x(n)x(n m),N n对自相关函数在(-M, MD内作Fourier变换，得到功率谱:MS(o)= £ F?(m)eo (m)e-jc<mm -_M式中，一般取 m <N -1, m(m)为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点?答：(1) AR谱估计的基本原理是：pp 阶的 AR模型表

14、示为:x(n) = £ *x(ni)+u(n)i w其自相关函数满足以下 YW方程:m>0m=0取m =0,1,2，p ,可得到如下矩阵方程:Kx(0)Rx(1)aLRx(p)Rx(1)Q(0) a Rx(p-1)Rx(p)1Rx(p-1) Q aaRx(0)*k20i'.0在实际计算中，已知长度为N的序列x(n),可以估计其自相关函数 Rx(m),再利用以上矩阵方程，直接求出参数*,52,Q及。2,于是可求出x(n)的功率谱的估计值。(2)与经典谱估计方法相比，其有以下特点：U)ARig比经典谱平滑由于AR港估计模型是一个有理分式，因此其估计出的谱要比经典的平滑口(2

15、)AR谱的分辨率经典的分辨率为粤,2m对位于采样频率.N为数据长度,AR谱分辨率比经典塔要高.(3)AR谐的匹配性质随着阶数p的增加,AR谱与真实谱就越接近，因此理论上总可以用一个阶数足够大的 AR模型来砧计墙,以达到任意精度,AR谱是在其实谓的上、下波动，而且反映潜峰的性能 比较好.(4)AR谐的方差理论分析程困难，相对地酢,其方岸反比于N和信噪比:(5)AR模地的稳定性可以证明，如果自相关矩阵是正定的，则由Yule-Walker方程求出的AR模理是稔 定的由(6)AR谎牯计的不足与信号的信噪比关系较大，信噪比低，则方差大，分辨率低U如果信号N n )是含噪声的正弦信号，其暹峰易受M G机相

16、位的彩晌,并且可能出 现“谐线分裂"的现象。诺的质量受户的影响大，,取信小，则过于平滑,精度不够,p太大，则可能会产生虚 假的酒*1；14、Burg算法有什么特点？答：(1)不需要估计自相关函数 Rm(n),而是从数据x(n)直接求解；(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列(N较小)，Burg算法的性能不亚于 LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；(4)Burg算法估计的参数满足| <1, i =1,2,，p ,即求出的AR模型总是稳定的；(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感

17、问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。15、试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。答：如果设计的滤波器是线性非时变的，并按照最小均方误差准则来设计，得到的滤波器即是维纳滤波器。16、梯度搜索法的基本原理是什么？Widrow提出的LMS算法与基本梯度法 有何不同？试写出 Widrow提出的LMS算法的基本步骤。答：(1)梯度搜索法的基本原理：课本第 165页(2) Widrow提出的LMS算法与基本梯度法的区别：课本第 168页(3) Widrow提出的LMS算法的基本步骤：课本第 168页22 ,、Dx=0x(。mx(t) &#

18、176;三、证明题 1、均值函数、均方函数及方差函数三者之间满足如下关系: 证明:2、试证明：对于广义平稳随机信号， 其自相关函数、自协方差函数与均值之间如下关系：Rx(t) =Cx&) + m£。xxx证明：3、对平稳随机序列，设x0,xi，Xn是观察到的 N个样本，如果其均值mx已知，对方差的估计为:N 12 I 一29XZ (xn -mx)，请证明，此估计是无偏的，并且是一致的。N n王证明：4、令x(n)是一个平稳白噪声过程，它的均值为零、方差为 仃2。又令y(n)是冲激响应为h(n)的线性非移变 系统在输入为x(n)时的输出。(a) 证明 Ex(n)y(n) =h(

19、0)b2;(b)证明ojCO2 一 一 2 一 .=6 £ h (n)。证明:四、计算题1、对随机初相正弦信号随机相位正弦信号X(t) =Asin(coo +电，As。为常数，是在0, 2n间均匀分布的随机变量，试考察此信号是否是广义遍历的？写出计算过程。(15分)2、对如下AR(1)的随机信号：x(n) =ax(n 1)+u(n),求其的自相关函数及功率谱密度函数。(10分)3、设随机信号x(t) =Ac。阴0t +Bs i n0t,«0为正常数，A, B为相互独立的随机变量，且E(A) =E(B) =0, D(A) =D(B) =o2。试讨论 x(t)的平稳性。4、根据图题 15,写出平稳信号x(t)的自相关函数 x(t)的表达式，并求信号x(t)的均值、均方值、自协方差函数和方差。5、如下AR(1)的随机信号：x(n) =2x(n _1)+u(n) , u(n)是零均值的高斯白噪声，求信号 x(n)的自相关函数及功率谱密度函数。该AR系统是否是稳定的？ (10分)6、已知零均值白噪声信号u(n)的瞬时功率为 1,试计算二阶 MA(2