求递推数列通项公式和求和的常用方法

1、易读文库易读文库求递推数列通项公式和求和的常用方法求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an = Sn- S1 （n之2）,等差数列或等比数列的通项公式。例一 已知无穷数列 匕的前n项和为& ,并且an +& =1（nw N* ）求an的通项公式

2、？【斛析】：*J Sn = 1 an , J. an 书=Sn +一Sn = an an印，二an书二,烝，又a1 =,an反思:利用相关数列an与&的关系：a1 = G, an = S-Sn（n之2）与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列an的前n项和Sn,满足关系lg（SnH1）=n （n=1,2）.试证数列an是等比数列.二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫 归纳法.例二 已知数列an中，ai=1, an=2an十1nA 2 ）求数列 an 的通项公式.【解析】：7 al = 1, an = 2an,

3、+ 1（n 之 2）,二 a2 = 2a1 +1 = 3 , a3 = 2a2 +1 = 7 1猜测an =2n 1（nw N*）,再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设an是正数组成的数列，其前 n项和为Sn,并且对于所有自然数 n, an与1的等差中项等于 Sn 与1的等比中项，求数列a J的通项公式.三 累加法：利用an=ar a - a十（n，a _na）通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 an书=an + f （n）的递推数列通项公式的基本方法（ f（n）可求前n项和）.例三已知无穷

4、数列an）的的通项公式是ano若数列%满足2,（占），求数列h的通项 公式.1 n1【斛析】:b =1,bmb = - （n 之 1）,，bn =b +也h） +（0 。）=1+1 + f2 2n 1n 1口广=2/1.22反思：用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an幸=an十f (n). 1/1?*,.跟踪训练3.已知a1 = ,an书=an +i- I (nw N )，求数列an通项公式.四累乘法：利用恒等式an =a1 a2-a3- .-an-(an # 0,n之2)求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如:a a2anan+=g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(

5、n)可求前n项积).例四 已知a1 =1, an =n(an书an) (n w N*)，求数列an通项公式.【解析】：丫 an =n(小 书an) ,. a = nil，又有 an = a曳兔一_an_ (4 0 0,n 2 2)=anna1 a2an2 3 n 1 x xx x= n,当 n =1 时 a1 =1,满足 an = n ,an = n .1 2n-1反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an4=g(n)an.跟踪训练4.已知数列an满足a1=1 ,an =&+2a2+3a3 +.+(n1)an/(n之2).则an的通项公式是.五构造新数列：将递推公式an+1 = qa

6、n +d ( q,d为常数，q # 0 , d # 0 )通过(an由+x) = q(an+x)与原递推公式恒等变成an书+ =q(an +)的方法叫构造新数列. q -1q -1例五 已知数列an中，& =1 ,an =2an+1(n之2)，求an的通项公式.【解析】：利用(an + x) =2(an+x)，求得an +1 = 2(an4 +1)an+1是首项为a1 +1 =2，公比为2的等比数列，即an +1 =2n,，an =2n -1反思：.构造新数列的实质是通过(an+x) =q(an+x)来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.跟踪训练5.已知数列中，a =1,an =3n4+an-

7、1 (n22)求数列an的通项公式.ca1 d 11K 倒数变换：将递推数列an+=n(c0d= 0,取倒数变成 =+-的形式的万法叫倒数变换 .an dan 1 C anC例六 已知数列aJ(nWN*)中，a1=1, an4- an，求数列aj的通项公式.2an 1a111111【解析】：将an 4r =/一取倒数得：，=2+，”-=2 ,，1,是以=1为首项，公差为2的等2an1an1 anan 1ananI a11 一1差数列.一 二1 2(n 一1),. an =反思：倒数变换有两个要点需要注意跟踪训练6.已知数列an中,an2n -1是取倒数.二是一定要注意新数列的首项，公差或公比变

8、化了 .n书=-2a，求数列an的通项公式.an 2小结：求递推数列的通项公式的方法很多，以上只是提供了几种常见的方法，如果我们想在求递推数列中游刃有余需要在平时的练习中多观察，多思考，还要不断的总结经验甚至教训.参考答案：1.证明：由已知可得：Sn =10n 1 ,当n之2时ann 1= 9(10)，n = 1 时,ain 1=s =9满足上式.二an的通项公式an =9(10) ,nA2时an =10为常数，所以匕0为等比数列.an2.解：由已知可求& =1声2 =3,a3 =5,猜测an =2n 1.(用数学归纳法证明).3.，,、，/、，,、1 ,门：2an = a1(a2 a)华)-

9、an)=- 2n 11+ .,+- I24.n 22时，an =a +2a? +3a3 + +(nT)an,an由=a +2a2 + +(n1居+ nan作差得：an 1 -an =nan,.冬 ann 1,.”=3,a4 =4,a2a3anan 4an=3 4 5 n ,a2 =1,- ana21 n = 1=n! cn - 225. an3n -1226. an 一八数列一、求递推数列通项公式基础类型an由=an +d及an由=qan类型 1 an 1 van f(n)解法：把原递推公式转化为 an+-an = f (n),利用累加法(逐差相加法)求解。例 1：已知数列 Qn满足 a1=1

10、, an+ =an+21一，求 an。2n n解：由条件知:an 1 - an 2 n n11n(n 1) n n 1分别令n =1,2,3,(n -1),代入上式得(n -1)个等式累加之，即(a2 a1)十(a3 a2)十(a4 a3)+ +(an an)1、 一， 1)所以 an - a1 =1 _111111=(1 一2) (2 一3) (3 一4)11,一,，an = +122类型2 am =f(n)an解法：把原递推公式转化为an 1an=f (n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。2n例2：已知数列 Qn 满足a1 =一，为书=an ,求an。3n 1解：由条件知一二=ann 1分

11、别令n =1,2,3, .，,(n -1),代入上式得(n 1)个等式累乘之，即a2a3a4an12 3n -1 an 1 * = X - X X * * * * * - =a1a2a3an 12 3 4n a1 n-22又丁 a1 =一，J. an =33n3n -1例 3：已知 &=3, an 4=an (n 至1),求 an。3n 2解:3(n -1) -13(n -2) -13 2-13-1an =a13(n -1) 2 3(n -2) 23 2 2 3 23n -43n -13n -7 35 2c 6HI-3 二一3n -483n -1 。变式：(2004,全国 I,理 15 .)已

12、知数列an,满足 ai=i , an = a1 + 2a2 + 3a3 + +(0- 1)an(n 2)则an的通项1 n =1an =Cn -2解：由已知，得an+ =a1 +2a2 +3a3 +-1)an4 +nan ,用此式减去已知式，得当 n 之2 时，an+an = nan,即 an + = (n * 1)an,又 a2 = a1 = 1,a2a3- a4 an!- ai =1,- =1, =3, =4, ；j- = n ,将以上 n 个式子相乘，得 an =-(n-2)a1a2a3an 42易读文库类型 3 anj1 = pan +q （其中 p, q均为常数，（pq（ p 一1）

13、 # 0）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an平-t = p（an _t）,其中t = q ,再利用换元法转化为等比数列求解。1 - P例4：已知数列 中，a1 =1 , an中=2an+3,求an.解：设递推公式an+ =2an +3可以转化为an. t =2（an -t）即an+ = 2an t= t = 3 .故递推公式为I I 1nIIInI I Inan+3=2（an +3），令bn =an +3,则 口 =a +3=4,且bn卡=an+ +3 = 2 .所以bn是以b1 =4为首项，2为公比的 bnan 3等比数列，则 bn = 4 2n 1 = 2n 1，所以 an =

14、 2n 1 - 3.变式：（2006,重庆，文,14）在数列an中，若& =1,an+=2an +3（n之1）,则该数列的通项an =（key： an =2n+ 3）类型4an噂=pan+qn（其中p,q 均为常数，（pq（ p1）（q1）= 0）。 （或an=pan+ rqn 淇中p,q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn由，得： 耳 =p 包+1引入辅助数列.bn（其中bn =包），得：qnq qn qqnbn + = bn + 再待定系数法解决。 q q例5：已知数列右/中，a1 =5,an书=1an+（1）n*,求an。 632解：在an中J an +（1

15、）n*两边乘以2n*得：2n*an由= 2（2n an）+1 323，n22 n令 bn =2n ,an,则 bn+= bn +1，解之得：bn =3 2（一）n33bn c,1、n c,1、n所以 an- =3（-） -2（-）2n 23类型5递推公式为ant = pan由+qan （其中p, q均为常数）。解（特征根法）：对于由递推公式 an+= pan由+qan, 4=,22=给出的数列（aj,方程x2 px-q = 0 ,叫做数列an 的特征方程。若X1,X2是特征方程的两个根，当 x1# x2时，数列an ）的通项为an= Ax1n+Bxn口，其中 a, b 由a1= a, a2=

16、P 决定（即把a1,a2, x1,x2和 n = 1,2 ,易读文库代入an = Ax1n- +Bx；,，得到关于a、b的方程组）；当 x1 =x2时，数列 bn 的通项为 an =(A + Bn)x1nJ1,其中 a, b 由 a1 =口e2 = P 决定(即把 a1，a2,x1，x2和 n = 1,2,代入an =（A + Bn）x1nJL,得到关于a、b的方程组）。例 6: 数列an ： 3an书一5an平 +2an =0(n 2 0,n w N), a1 =a,a2 =b，求 an22斛（特征根法）：的特征方程是：3x 5x+2 = 0。丫 x1 =1 x2 =, 33 5+睨0十-（

17、|尸。又由,是a = A +B2 =b =A+ BI3A=3b -2a故anB = 3(a b)=3b - 2a 3(a -b)(1)nJ练习：已知数列 Q中，a1 =1,a2=2,an_221-= -an + 二an，求 an。33key: an =4变式：（2006,福建，文,22）已知数列an满足a1 =1,a2 =3,an_2 =3an书2an（nw N ）.求数列an的通项公式;(I)解：an =(an -&)+(an二一&/)+(a2a1)+ai= 2n12n 工. 2 1 =2n -1(n N*).类型6递推公式为Sn与an的关系式。（或Sn = f （an）解法：利用anSi

18、Sn -Sn(n =1):、与an=Sn Sn= f(an) f(an)消去& (n至2)或与(n - 2)Sn =f (Sn -Sn) (n 2)消去 an 进行求解。例7：数列（an ）前1n项和Sn =4 an一一. （1）求an由与an的关系；（2）求通项公式an. 2 n -*一 ，一1 一1斛：（1）由 Sn =4 -an 2T 得：Sn+ =4 一2口十 一于是 Sni -Sn =-ani) .(一2-1所以 an 1 =an -an 1 - 277=an 1 =-an2A2n（2）应用类型 4（ an书=pan +qn （其中p, q均为常数，（pq（p-1）（q1） #0）的

19、方法，上式两边同乘以 2 得:2n1ani =2nan 2由a1 = S1 =4 a1 13= a1 =1 .于是数列 dnan是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2-nn2 an =2 2(n -1) =2n =- an =*类型 7 an 1 = pan (p 0,an 0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an4, = pan + q ,再利用待定系数法求解。n 1n1例8：已知数列 an中，a1 =1,an4 = ,an (a 0),求数列tanM通项公式.a,11斛：由an4 =- -an两边取对数后lg an书=2lg an+lg ，aa令bn =lgan，则bn4=2b

20、n + lg 1，再利用待定系数法解得：an =2(1)21。aa类型8 an 1f (n)ang(n)an h(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an 1 = pan q例9：已知数列 an满足：an =一an一一 ,a1 =1,求数列 an1的通项公式3 an1解：取倒数：工=3_3, ananam彳工 是等差数列, an111二(n -1) 3 = 1 (n 7) 3= an =an a13n - 2变式：(2006,江西，理,22)已知数列an满足：a1= 3，且an=-3nan1一(n 2,n= N*)求数列an的通项公式;22an1+ n1n1n1解：(1)将条件变

21、为：1= (1),因此an3an 11-为一个等比数列，其首项为 an1公比L从而1a133annn *3n3 -1(n_1)1,据此得an=3n类型9周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。一 - 12an,(0Man 1)6例10：若数列Qn满足an4r =，若a1 =一，则a20的值为1 -72an -1,(-羯 1)L2变式：(2005,湖南，文,5)an - 3已知数列an满足 ai =0, an. =-(nwN)JUa20=()3an 1八八、3A. 0B. -3C. J3D.2二、数列的求和na1q = 1：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和Sn =n(a1 +an)

22、=na1 +n(r|_1)d ； Sn=a(l_qn)22q / 1i -q10.(辽宁卷)已知等差数列 母的前n项和为Sn = pn2 2a+q(p,qw R),nw N(i)求q的值；(n)若ai与a5的等差中项为18, bn满足an =2logzbn,求数列的bn前n项和.(i)解法一：当 n=1 时，a1=S1 = p_2 + q ,当 n 上2 时,an =Sn _Sn_1 = pn2 -2n +q - p(n -1)2 +2(n -1) - q =2pn - p - 2.an是等差数列,p-2 q=2p-p-2 ,: q = 0 4 分解法二：当 n=1 时,a=S1 = p2+q

23、 ,当 n 22 时,an =Sn Sn=pn2 一2n + q p(n -1)2 + 2(n -1) -q = 2 pm - p-2.当 n 之3时,a1 -an_1 =2pn p 2 2 p(n 1) p 2 = 2P.a2 = p -2 q 2P =3p -2 q .又 a2 =2p 2 - p -2 =3p-2,所以 3P2+q=3p2，得 q=0. 4 分a a5(n)解：，4=-2一，a3 = 18.又 a3 =6p - p -2,6p -p -2 =18,p =4.an =8n -6又 an =2log2bn 得 bn =24n/b?4(n 6 1b=2,bn= J=24=16，即0是等比数列. bn24nn所以数列bn的前 n项和 Tn =2(1 16 ) =_2_(16n _1)1 -1615(2)分组求和:,，、一 一 1如：求