第04讲相似模型(二)(学生版)A4

1、初中数学相似模型（二） 1 c平行线类相似模型“ A”型如图，5/3。，则有些=，更=二，些=空 BE CF AB AC AB AC BCEFBCAE AFEC BF二.“ 8”字型如图，EF / BC ,则有AE a AC ABB(1初中数学三.常见的一些变形注意：构造平行的方法实质是为了构造出“ A”型和“ 8”字型.点剖析- 2 C考点：平行线类相似模型 二.重难点：在常见的一些变形图形中，前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对 于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间 的倍、分关系等.三.易错点：平行类相似模型虽然是平行线分线段

2、成比例的一种衍生，但是不同与后者的是平行线 类相似模型更多的情况是利用相似图形的性质去证明一些结论，可能会用到一些其他的模型，方法 比较综合.题模精讲题模一：“ A”字型例 1.1.1 如图所示： ABC中，DE/ BC, AD=5 BD=1Q AE=3.则 CE 的值为（C. 3D. 4例1.1.2如图，在 ABC中，点D E分别是AR AC的中点，则下列结论不正确的是（）初中数学A.C.BC=2DE AD = AB AE ACB.AADE ABCD.Sa abc=3Sa ADE例1.1.3如图，在平行四边形ABC邛，对角线 AC, BD相交于点。，点E, F分别是边 AD AB的中点，EF

3、交AC于点H,则空的值为HCD.：ABC. DEF例 1.1.4 如图所示，D, E, F 分别在 OA, OB, OC 上，DF/AC, EF/BC,求证: 7 C例1.1.5如图，AB_LBD, CD_LBD,垂足分别为 B、D, AC和BD相交于点E, EF _L BD , 111I =垂足为F.证明：AB CD EF .例1.1.6 如图所示，在 AABC, BC=6, E, F分别是AB AC的中点，点 P在射线EF上，BP交CE于D,点Q在CE上且BQ平分/CBP设BP =y , PE =x .当CQ =CE时，y与x之间的函数 21 关系式是 ；当CQ=、CE （n为不小于 2的

4、常数）时，y与x之间的函数关系式是12s4题模二：“ 8”字型例1.1.7如图，D E、F分别为 ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（B.Sa abf=Sa AFCD. DF=EF例1.2.1 如图，梯形ABCD中AD/BC,对角线AGBD相交于点O,若 AO CO=2 3, AD=4,贝U BC等于（）A.12B.8C.7D.6例1.2.2如图，在平行四边形 ABCD中，AE: EB=1:2 ,若S&ef =6,则SDF为例1.2.3如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 形的面积是（）A.C.222 P2q22q pqB.D.2p q2 222 p qp

5、q-22p q例1.2.4 如图，在矩形 ABCD43, AB=6, BC=8点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则 DF的长为B E CA.1B.2C.3D.4AF EF 例 1.2.5 如图，已知 AABC 中，AE:EB=1:3, BC:CD=2:1, AD 与 CE 相交于 F ,则百 FD 的值为多少？BEAF AB例 1.2.6证：AB、已知四边形ABCD , E、F分别为一组对边 BC、AD的两点，若EC DC与EF成等角.FD圈随堂练习随练1.1如图，？ABCD, E是AD延长线上一点，BE交AC于点F,交DC于点G,则下列结论中 错误的是()EA.

6、 AABEE DGE C. ABCI EAFB. ACGB ADGED. AACIDo GCF随练1.2 如图，在 ABC中，点 D, E分别在AB, 则DE的长为()AC上，DE/ BC, AD=CE 若 AB: AC=3: 2, BC=1QA.3B. 4C. 5D.6随练1.3如图，直角三角形纸片 ABC43, /ACB=90。AC =8 , BC =6 .折叠该纸片使点 B点C 重合，折痕与 AB BC的交点分别为 H E.(1) DE的长为;(2)将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于初中数学B2随练 1.4 如图，已知 DE/AB, OA =OC OE

7、 ,求证：MBCiEDA . 10 C随练1.5 己知：如图，在菱形 ABCD4点E、F分别在边 BG CD / BAF DAE AE与BD交于点G.(1)求证：BE=DF(2)当DF = AD_时，求证：四边形 BEFG平行四边形.FC DF角平分线相似模型识精讲角平分线类相似模型: i.常见题模型如下：方法点播：角平分线类相似问题基本就这样的四种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学 习这部分知识时，涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决.点剖析一 .考点：角平分线类相似模型二.重难点：角平分线类相似模型三.易错点：注意对应线段比例关系题模一：角平分线相似模型

8、AB _ BD例2.1.1如图，AD是MBC的角平分线，求证：AC -CD .111例 2.1.2 在 MBC 中，/BAC=120 1 AD 平分/BAC 交 BC 于点 D ,求证：AD - AB AC例2.1.3 如图（1）（3）,已知/ AOB的平分线于点C D,连接CD交。叶点G设/ AOB=4 （0OM上有一点 P, / CPD的两边与射线 OA OB交 V a V 180 ) , / CPD=3 .(2)(3)（1）如图（1）,当a =3=90时，试猜想 PC与PD, / PDC与/ AOB的数量关系（不用说明理 由）；（2）如图（2）,当a =60。， 3=120。时，（1）中

9、的两个猜想还成立吗？请说明理由.（3）如图（3）,当 a +3 =180 时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由.若PD=2,求PD的值.园随堂练习随练2.1已知MBC中，/BAC的外角平分线交对边AB _ BD随练2.2如图，已知 A是/XOY的平分线上的定点，过点A任作一条直线分别交 OX、OY于P、Q.证明:0P OQ是定值.随练2.3 如图，已知 CD是ABC中/ ACB的角平分线，E是 AC上的一点，且 CD2=BC CE , AD =6 , AE =4 .初中数学(1)求证： BC DCE(2)求证： ADZ ACD射影定理一.射影定理

10、：1 .定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影定理模型如图（1）所示：由图(1)得，由 MBDsicad,可得：ad2=bd|_Cd 由 MBD s iCBA，可得：AB2 = BdUbO 由 MCD s 加CA ,可得：AC2 =CDJbC2 .射影定理推广：若 MBC不为直角三角形，当点 D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立.如下图，ABC CDE如上图，当 /BAD=/C 时， MBCsADBA,则有： 当=匹，即：AB2=BDl_BC .BD AB三点剖析考点：射影定理.重难点：射影定理三.易错点：注意线段

11、的对应关系画题模精讲题模一：射影定理C2 _A.BC =BD AB2C.AC2 =AD AB例3.1.1已知CD是RtABC斗边上的高，则下列各式中不正确的是（_2 _8. CD =BD ADD.BC AD = AC BD例 3.1.2在 RtAABC,ZBAC=90%ADL BC于点D,BD=1 ,AC=2五,则 AD等于(D3八A.1B.-C. 2D.3例 3.1.3 如图，ABC 中，AD_LBC 于 D, BE_LAC 于 E, DF_LAB 于 F,交 BE 于 G , FD、2AC的延长线交于点H ,求证：DF =FG FH . 13 15 19 (1)图1中是否存在与/ BDE相

12、等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)求证：BE=EC(3)若将“点D在BA的延长线上，点 E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且 DF=FE分别 改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点 F是ED的延长线与 AC的交点，且 DF=kFE, 其他条件不变(如图 2).当AB=1, / ABC=a时，求BE的长(用含k、a的式子表示).拓展6 如图，。O的直径 AB为10cm,弦AC为6cm, NACB的平分线交 AB于E,交。于D.求 弦AD CD的长及CE的值.DE拓展7如图，在 MBC中，AD平分/BAC , AD的垂直平分线交 AD于E ,交BC的延长

13、线于2F ,求证：FD =FB FC .拓展8如图1, SBC中，AI,BI分别平分/BAC/ABC. CE是MBC的外角/ACD的平分线, 交BI延长线于E ,连接CI .(1) MBC变化时，设NBAC =2a .若用口表示NBIC和/E ,那么2BIC =，/ E=(2)若AB =1 ,且MBC与AICE相似，求相应AC长；(3)如图2,延长AI交EC延长线于F .当MBC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与；AIB相似？写出这些三角形，并选其中之一证明.拓展9 已知/MON =60：射线OT是/MON勺平分线，点 P是射线 OT上的一个动点，射线 PB交 射线ONF点B.(1)如图

14、，若射线 PB绕点P顺时针旋转120后与射线 O帜于A求证：PA=PB;3(2)在(1)的条件下，若点 C是AB与OP的交点，且满足PC PB ,求： POBf PBC勺面2积之比；（3）当OB=2时，射线PB绕点P顺时针旋转120。后与直线 OM交于点A （点A不与点O重合）， 直线PA交射线ON点D,且满足ZPBD =/ABO .请求出OP勺长.0B N拓展10 如图， ABC中，CD!AB,垂足为 D,下列条件中，能证明 ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）./ A+/ B=90 AB2=AC+BC2 AC=CDAB BD CD2=AD?BD.拓展11已知：如图，在半径为 4的。O中，AB为直径，以弦 AC （非直径）为对称轴弧 AC折叠 后与AB相交于点D ,如果AD =3